fccjxxw.com
非常超级学习网 学习超级帮手
当前位置:首页 >> >>

2011中科院研究生院考研的数学分析高等代数


中国科学院研究生院
2011 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题

科目名称:数学分析
1. 本试卷满分为 150 分, 全部考试时间总计 180 分钟; 2. 所有答案必须写在答题纸上, 写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 1. (30 分)

3. (15 分) 设函数 f (x) 满足, f ′′ (x) < 0(当 x > 0) , f (0) = 0.证明对于所有 x1 > 0, x2 > 0, 有 f (x1 + x2 ) < f (x1 ) + f (x2 ).

4. (20 分) 设函数 f (x) 在 [0 ∞) 内有界可微, 试问下列命题中哪个必定成立 (要说明理

由) , 哪个不成立 (可由反例说明) :
x →∞ x →∞

(1) lim f (x) = 0 蕴涵 lim f ′ (x) = 0;



(2) lim f ′ (x) 存在蕴涵 lim f ′ (x) = 0.
x →∞ x →∞

5. (20 分) 过抛物线 y = x 2 上的一点 (a a2 ) 作切线, 确定 a 使得该切线与另一抛物线 6. (15 分) 计算曲线积分

{ } 而且对每个 n 0, fn (x) 在 I 上有 7. (15 分) 设函数列 fn (x) n 0 在区间 I 上一致收敛, { } 界.证明函数列 fn (x) n 0 在 I 上一致有界, 即存在常数 M > 0, 使得对所有 n 0 及 x ∈ I

有 fn (x)

M.

8. (15 分) 设 {ak }k (
2 ξi

?博
{bk }k 0 0,

其中 C 表示曲面 x 2 + y 2 + z2 = 1 与 x + y + z = 1 的交线.

§



(
C

y = ?x 2 + 4x ? 1 所围成的图形面积最小, 并求出最小面积的值. ) (x + 1)2 + (y ? 2)2 ds

和 {ξk }k 0 为非负数列, 而且对任意 k
2 (ak + bk )2 ? ξk .

(1) 证明

k ∑ i=1

a1 +

k ∑ i =0 ∞ ∑ k=0

a2 k+ 1 )2 bi


k 1∑ 2 ξi = 0. k→∞ k i=1

(2) 若数列 {bk } 还满足

2 bk < +∞, 则 lim

?

∫1 )x 1 1 ln(1 + x n ) dx ; (2) 计算 lim + 2x ; n→∞ 0 x →∞ x 1 ( ) 2 ? ex x (3) 证明极限 lim + 存在, 并求其值. 2 x →0 1 + e x |x | √ √ √ 3 2. (20 分) 求数列 1 2 3 . . . n n 中最大的一项.
( (1) 计算 lim

园 ¤

0, 有

中国科学院研究生院
2011 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题

科目名称:高等代数
考生须知:
1. 本试卷满分为 150 分, 全部考试时间总计 180 分钟; 2. 所有答案必须写在答题纸上, 写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 p 1. (20 分) 设 是既约分数, f (x) = an x n + an?1 x n?1 + · · · + a1 x + a0 是整系数多项 q ( ) 式, 而且 f p = 0. 证明 q (1) p

其行列式记为 Dn .试证明 i j n,

Dn + 4Dn?1 + 4Dn?2 = 0.

并由此求出行列式 Dn .
3. (16 分) 已知二阶矩阵 A =

(

a c

b d

)

的特征多项式为 (λ ? 1)2 , 试求

试求 A 在基 α 2β + γ γ 下的矩阵.
? 2 ? 5. (24 分) 已知矩阵 A = ? 2 ? ?2

§

?

(1) 求 A 的特征多项式, 并确定其是否有重根; (2) 求一个正交矩阵 P , 使得 P AP ?1 为对角矩阵; (3) 令 V 是所有与 A 可交换的实矩阵全体, 证明 V 是一个实数域上的线性空间, 并确定 V

的维数.
6. (20 分) 设 A B 是两个 n 阶复方阵, n > 1. (1) 如果 AB = BA, 证明 A B 有公共的特征向量; (2) 如果 AB ? BA = ?B , 其中 ? 是一个非零复数, 那么 A B 是否会有公共的特征向量? 回

答 “是” 请给出证明; 回答 “否” 请给出反例.
7. (15 分) 设 A 是 n 阶实方阵, 其特征多项式有如下分解 p(λ) = det(λE ? A) = (λ ? λ1 )r1 (λ ? λ2 )r2 · · · (λ ? λs )rs

其中 E 为 n 阶单位方阵, 诸 λi 两两不相等.试证明 A 的 Jordan 标准形中以 λi 为特征值的
Jordan 块的个数等于特征子空间 Vλi 的维数. 8. (15 分) 设 A 是 n 阶实方阵. 证明 A 为实对称矩阵当且仅当 AAT = A2 , 其中 AT 表示矩

阵 A 的转置.

?博



4. (20 分) 设 α β γ 是 3 维线性空间 V 的一组基, 线性变换 A 满足 ? ? ? ? A (α + 2β + γ) = α ? A (3β + 4γ) = β ? ? ? ? A (4β + 5γ) = γ . 2 5 ? ?2? ? ?4?. ? 5

?4



A2011 ? 2011A.

?

) 2. (20 分) 设 n 阶方阵 An = |i ? j | 1

a0 , 而q

an ;

园 ¤

(

(2) 对任意整数 m, 有 (p ? mq)

f (m).


更多相关文章:

非常超级学习网 fccjxxw.com

copyright ©right 2010-2021。
非常超级学习网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图