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湖北省宜昌市第一中学2017_2018学年高一数学下学期期末考试试题理(含解析)

拼十年寒 窗挑灯 苦读不 畏难; 携双亲 期盼背 水勇战 定夺魁 。如果 你希望 成功, 以恒心 为良友 ,以经 验为参 谋,以 小心为 兄弟, 以希望 为哨兵 。

宜昌市第一中学 2018 年春季学期高一年级期末考试 数学试题(理科)
一、选择题: (本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. A. 【答案】D 【解析】试题分析:因为 ,根据任意角的定义可知 的值是( ) B. C. D.

,由三角函数的诱导公式可知 故本题的正确选项为 D. 考点:任意角的三角函数. 2. 不等式 A. 【答案】B 【解析】试题分析:由题意得 ,故选 A. 考点:分式不等式的解集. 3. 下列命题正确的是( ) ,即 ,所以不等式的解集为 的解集为( B. ) C. D.



A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B. 若一个平面内 有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C. 若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D. 若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 【答案】C 【解析】试题分析:A 中两直线平行,相交或异面;B 中两平面可能平行可能相交;C 中命题 正确;D 中两个平面可能相交可能平行 考点:空间线面位置关系

-1-

视频 4. 在 中,若 B. 直角三角形; D. 直角三角形或钝角三角形 ,则 是( )

A. 锐角三角形; C. 钝角三角形; 【答案】B 【解析】分析:由

利用两角和的正弦公式,得到

,可得

,从而可得结果. 详解: 则 , 中,若 , ,故三角形是直角三角形,故选 B. ,

点睛:判断三角形状的常见方法是: (1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变 换得出三角形内角之间的关系进行判断;(2)利用正弦定理、余弦定理,化角为边,通过代数 恒等变换,求出边与边之间的关系进行判断; (3)根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知 其为钝角三角形. 5. 已知 A. 64 【答案】B 【解析】解:设公差为 d, 则由已知得 2a1+d="4" 2a1+13d=28 ? a1="1" d=2 ? S10=10×1+10×9 =100, 故选 B. 6. 已知非零向量 A. A、B、D 【答案】A 【解析】分析:由向量加法的“三角形”法则,可得 详解:由向量的加法法则可得 ,从而可得结果. ,且 C. B、C、D D. A、C、D 则一定共线的三点是( ) 是等差数列, B. 100 C. 110 D. 120 ,则该数列前 10 项和 等于( )

B. A、B、C

, 所以, 故三点 与 共线,又两线段过同点 , 一定共线,故选 A.
-2-

点睛:本题考查平面向量基本定理的应用,向量的加法法则,考查利用向量的共线来证明三 点共线,意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力. 7. 在正项等比数列 A. 10000 【答案】C 【解析】试题分析:因为 得, ,所以 ,所以 ,同底对数相加得 . ,用等比数列的性质 B. 1000 中, C. 100 D. 10 ,则 的值是( )

考点:1.对数的运算;2.等比数列的性质. 8. 若 是 A. 【答案】D 【解析】试题分析: 是 的一个内角, ,又 B. 的一个内角,且 C. D. 则 的值为( )

,所以有 正确选项为 D. 考点:三角函数诱导公式的运用. 9. 同时具有以下性质:“①最小正周期实 ;②图象关于直线 一个函数是( ) A. 【答案】C B. C. D. ③在

,故本题的

上是增函数”的

考点:三角函数的周期,单调性,对称性. 10. 若 A. 【答案】B B. , C. ,则 与 的夹角为() D.

-3-

【解析】试题分析:设 与 的夹角为 ,由 ,求得 考点:向量的运算即向量的夹角.

可知

,即 ,故本题的正确选项为 B.

【方法点睛】本题主要考察向量的运算及夹角.首先要清楚向量垂直的性质即两向量数量积为 零,而向量的数量积即可以表示为对应组标的乘积,也可以表示为两向量模长与夹角余弦三 者的乘积,因此可通过求家教的余弦的方法来求得向量的夹角,即利用 夹角的余弦,进而求得夹角.其次要注意同一向量的数量积等于模长的平方. 11. 某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为( ) 来求得

A.

B. 1

C.

D.

【答案】C 【解析】该几何体为三棱锥,其直观图如图所示,体积 .故选 .

-4-

12. 将函数 的图象,若 A. 【答案】A B.

的图象向左平移 个单位长度, 再向上平移 1 个单位长度, 得到 ,且 C. D. ,则 的最大值为( )

【解析】分析:利用三角函数的图象变换,可得 ,取 详解: ,取 即可得结果.

,由

可得

的图象向左平移 个单位长度,

再向上平移 1 个单位长度, 得到 , , 且 , , 因为 所以 时,取 , 为最小值; 为最大值 ,故选 A. ,

时,取 最大值为

点睛:本题主要考查三角函数图象的变换以及三角函数的性质,属于中档题. 能否正确处理 先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题,反映学生对所学知识理解的深度. 二、填空题: (本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和为同一个常数,那么 这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和,已知数列 和为 5 那么 ______;
-5-

是等和数列,且

,公

【答案】3 【解析】由题意得 14. 已知实数 满足不等式组 ,所以 则关于 的方程 两根之和的

最大值是______; 【答案】7 【解析】分析:作出不等式组表示的平面区域,列出目标函数 得 ,利用直线 在 轴上的截距求出 最大. ,根据

详解:作出不等式组

,表示的平面区域如图所示:

则关于 的方程为 由 ,可得 ,

的两根之和



则 表示直线 作出直线

在 轴上的截距,截距越大, 越大, ,向可行域方向平移直线,结合图形可知,

当直线经过 时, 最大, 由 ,可得 ,此时 ,故答案为 .

点睛:本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函数最值的 一般步骤是“一画、二移、三求”: (1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线) ; (2)找 到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过 的定点就是最优解) ; (3)将最优解坐标代入目标函数求出最值. 15. 如右图,在空间四边形 中, , 分别是 的中点
-6-

,则异面直线?

与?

?所成角的大小为______;

【答案】 【解析】取 BD 的中点 M,连接 EM,FM,由于 AD//EM,FM//BC,所以 BC 所成的角或其补角. , 就是异面直线 AD 与

所以

,所以异面直线 AD 与 BC 所成的角为

16. 两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩 上画点或用小石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,图中的实心点的 个数 1、5、12、22、?,被称为五角形数,其中第 1 个五角形数记作 数记作 续下去,若 ,第 3 个五角形数记作 ,则 ______. ,第 4 个五角形数记作 ,第 2 个五角形 ,?,若按此规律继

【答案】10 【解析】 试题分析: 由于 所以 ,由 考点:累加法求通项公式. 三、解答题: (共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 已知函数 别为 和 在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分 ,得 或 (舍). , 类比得

(1)求 和 的值

-7-

(2)已知

,且

,求

的值

【答案】 (1)2; (2) 【解析】分析: (1)函数 为 的图象的最高点的坐标为 ,可得 ,依题意得 的周期

从而可得

; (2)根据同角的三角函数关系和三角恒等变换,结合 . , ,

二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式可求出 详解: (1)∵函数 依题意,得 的图象的最高点的坐标为

的周期为

(2)由(2)得 ∵ ,且 ,

点睛:三角函数求值有三类,(1)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面上来 看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系, 结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.(2)“给值求值”:给出某些角 的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具 有某种关系.(3)“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角 的范围,确定角. 18. 等比数列 (1)求数列 的各项均为正数,且 的通项公式;

(2)设

,求数列

的前 项和为 ;

【答案】 (1)

; ( 2) 的通项公式; (2)利用等差数列求

【解析】试题分析: (1)利用等比数列基础知识求数列

和公式得到

进而得到

的通项,再利用裂项相消法求和.

-8-

试题解析: 由条件可知 由 故数列 (2) 的通项公式为 ,故 ; , 所以 ,



∴数列

的前 项和

点睛:等比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略:①化基本量求通项.求等比数列 的两个基本元素 和 , 通项便可求出, 或利用知三求二, 用方程求解. ②化基本量求特定项. 利 用通项公式或者等比数列的性质求解.③化基本量求公比.利用等比数列的定义和性质,建 立方程组求解.④化基本量求和.直接将基本量代入前 项和公式求解或利用等比数列的性质 求解. 19. 已知某电子公司生产某款手机的年固定成本为 40 万美元,每生产 1 万部还需另投入 16 万美元.设该公司一年内共生产该款手机 万部并全部销售完,每万部的销售收入为 元,且 (1)写出年利润 W (万美元)关于年产量 (万部)的函数解析式. (2) 当年产量为多少万部时, 该公司在该款手机的生产中所获得利润最大?并求出最大利润. 【答案】 (1) ; (2)6104 万美元 万美

试题解析: (1)当 当 时,

时, ,



-9-

所以 (2)①当 ②当 由于 当且仅当 所以 的最大值为 综合①②可知,当 20. 如图所示,在三棱锥 点 是线段 的中点. ,即 , 时, 时,

. ,所以 , , 时,取等号, ;

时, 取得最大值为 中, 平面

. , ,

(1)如果 (2)如果

,求证:平面 ,求直线

平面 和平面

. 所成的角的余弦值.

【答案】 (1)见解析; (2) 【解析】试题分析: (1)要证面面垂直,就要证线面垂直,由已知 ,由勾股定理又可得 理可得面面垂直; (2)要求直线 因此要过 作平面 ,从而得 与平面 与平面 与平面 垂直可得

垂直,因此由面面垂直的判定定 在平面 内的射影, 垂

所成的角,就要作直线 中点 , 与

的垂线,根据已知条件,取

平行,则必与平面

直,从而作出了线面角,在三角形中计算可得. 解析: (1)证明: 平面 又 平面
- 10 -

平面 在平面 上,



平面

平面

平面

(2)取线段 在 中, 平面 所成的角. 在 在 在 在 故直线 中, 中, 中, 中,

的中点 联结

平面

为直线

和平面

与平面

所成角的余弦值为 的图象经过点 和 ,记

21. 已知函数 (1)求数列

的通项公式;

(2)设若





,求 的最小值;

(3)求使不等式 【答案】 (1) 【解析】分析:(1)先由函数 数 的解析式,即可求出数列

对一切 ; (2)3; (3) 的图象经过点

均成立的最大实数



,求出

进而求得函

的通项公式;(2) 由(1)得

,利用错位法相

减法求出 的表达式,从而可求出 的最小值; (3)先把原不等式转化为

- 11 -

对 数 . 详解: (1)由题意得 ,

恒成立,再利用数列的单调性求不等式右边的最小值,即可求出最大实

,解得;

(2)由(1)得

① ② 由错位相减法:①减②得:

(3)由题意得 记 则

恒成立

,即

单调递增
- 12 -

的最小值为





.

点睛:本题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的求和公式以及错位相减法求数列的前 项和, 属于中档题.一般地,如果数列 是等差数列, 是等比数列, 求数列 的前 项

和时,可采用“错位相减法”求和,一般是和式两边同乘以等比数列 解, 在写出“ ” 确写出“ 与“

的公比,然后作差求

” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准

”的表达式.

- 13 -


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