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高考数学经典错题深度剖析及针对训练专题24导数概念及运算(含答案)

专题 24 导数概念及运算 【标题 01】对导数的概念没 有理解透彻 【习题 01】设 f ( x ) 是可导函数,且 lim A. 2 【经典 错解】 lim B. ?1 ?x ? 0 f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 ) ? 2 ,则 f ?( x0 ) ? ( ?x C. 0 D. ?2 ) f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 ) ? f ? ? x0 ? ? 2 所以 f ? ? x0 ? ? 2 ,故选 A . ?x ?0 ?x f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 ) f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 ) ? ?2 lim ? ?2 f ? ? x0 ? ? 2 【详细正解】 lim ?x ?0 ?x ?0 ?x ?2?x 所以 f ? ? x0 ? ? ?1 ,故选 B . 【习题 01 针对训 练】若 f ' ( x0 ) ? ?3 ,则 lim h ?0 f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? 3h) ?( h D. ?12 ) A. ? 3 B. ?6 C. ?9 【标题 02】商的导数的求导法则记忆 错误 2 (x-2) 【习题 02】已知函数 f ( x ) = ,则 f ( x ) 的导函数 f ?( x) ? ________. x+1 【经典错解】由 f ( x ) = x 2-4 x+4 1? ( x 2-4 x+4) ? (x+( 1) 2 x-4) ? x 2 ? 2 x ? 8 ? ,得 f ?( x) ? 2 2 x+1 (x+1 ) (x+1 ) x 2-4 x+4 (2 x-4) ? (x+1) ? ( x 2-4 x+4) ?1 x 2+2 x-8 ,得 f ?( x ) = = 2 2 x+1 (x+1 ) (x+1 ) u v u ?v ? uv? ,很 v2 【详细正解】由 f ( x ) = 【深度剖析】 (1)经典错解错在商的导数的求导法则记忆错误.(2)商的导数公式是 ( )? ? 多同学容易记成 ( )? ? v?u ? vu ? ,主要是分子记错,分子应该是“子导母不导减去母导子不导”. v2 a ln x b ? , 曲 线 y ? f ( x) 在 点 (1, f (1)) 【 习 题 02 针 对 训 练 】 已 知 函 数 f ( x) ? 处的切线方程为 x ?1 x u v x ? 2 y ? 3 ? 0,求 a 、 b 的值. 1 【标题 03】对复合函数的定义和复合函数的求导法则没有理解透彻 【习题 03】求函数 f ( x) ? e? x sin 2 x 的导函数. ?x ?x ?x 【经典错解】由题得 f ?( x) ? e sin 2 x ? e cos 2 x ? e (sin 2 x ? cos 2 x) ? 2e ? x sin(2 x ? ) 4 ? 【详细正解】由题得 f ?( x) ? (?e? x )sin 2x ? (e? x ? 2cos 2x) ? e? x (2cos 2x ? sin 2x) 【习题 03 针对训练】求函数 f ( x) ? (5x ? 4) cos 2 x 的导函数. 3 【标题 0 4】求切线方程时没有准确判断点 Q 是否在曲线上 【习题 0 4】求 y ? 2 x 2 ? 3 在点 P(1,5) 和 Q(2,9) 处的切线方程. 【经典错解】? y ? 2 x 2 ? 3,? y ? ? 4 x. ? y ? x ?1 ? 4 , ,即过点 P 的切线的斜率为 4 ,故过点 P 的切线为 y ? 4 x ? 1 .过点 Q 的切线的斜率为 8 ,故过点 Q 的切线方程为: y ? 9 ? 8( x ? 2) )即 8x ? y ? 7 ? 0 【详细正解】? y ? 2 x 2 ? 3,? y ? ? 4 x. ? y ? x ?1 ? 4 即过点 P 的切线的斜率为 4 ,故切线为 y ? 4 x ? 1 . 设过点 Q 的切线的切点为 T ( x0 , y0 ) ,则切线的斜率为 4 x 0 ,又 k PQ ? 2 y0 ? 9 2x ? 6 ,故 0 ? 4 x0 , x0 ? 2 x0 ? 2 ? 2 x0 2 ? 8x0 ? 6 ? 0. ? x0 ? 1,3 . 即切线 QT 的斜率为 4 或 12 ,从而过点 Q 的切线为 y ? 4 x ?1或y ? 12 x ?15 . 【深度剖析】 (1)经典错解 错在求切线方程时没有准确判断点 Q 是否在曲线上. (2)点 P 在函数的曲线上, 因此过点 P 的切线的斜率就是 y ? 在 x ? 1 处的函数值;点 Q 不在函数曲线上,因此不能够直接用导数求值, 要通过设切点的方法求切线.要注意所给的点是否是切点.若是,可以直接采用求导数的方法求;不是则 需设出切点坐标. 2 【习题 04 针对训练】已知函数 f ( x) ? x3 ? x ? 16 . (1)求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, ?6) 处的切线方程; (2)直线 l 为曲线 y ? f ( x) 的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标. 【标题 05】审题错误误认为点 P 就是切点 【习题 05】已知曲线 S : y ? ? 2 3 x ? x 2 ? 4 x 及点 P(0,0) ,求过点 P 的曲线 S 的切线方程. 3 x?0 【经典错解】 y? ? ?2 x 2 ? 2 x ? 4 ,? 过点 P 的切线斜率 k ? y? ? 4 ,? 过点 P 的曲线 S 的切线方程为 y ? 4x . 【详细正解】设过点 P 的切线与曲线 S 切于点 Q( x0 , y0 ) ,则过点 P 的曲线 S 的切线斜率 k ? y? x ? x0 ? ?2 x0 ? 2 x0 ? 4 ,又 k PQ ? 2 y0 y

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