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永年区外国语学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

永年区外国语学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 已知数列 ?an ? 的各项均为正数, a1 ? 2 , an ?1 ? an ?

座号_____

姓名__________

分数__________

? 1 ? 4 ,若数列 ? ? 的前 n 项和为 5,则 an ?1 ? an a ? a ? n ?1 n ?

n ?(
A. 35

) B. 36 C. 120 D. 121 ) D.

2. 在 ?ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别是,,,已知 8b ? 5c , C ? 2 B ,则 cos C ? ( A.

7 25

B. ?

7 25

C. ?

7 25

24 25

3. 将函数 f(x)=3sin(2x+θ)(﹣

<θ<

)的图象向右平移 φ(φ>0)个单位长度后得到函数 g(x)的 ),则 φ 的值不可能是( )

图象,若 f(x),g(x)的图象都经过点 P(0, A. B.π C. D.

4. 已知命题 p:“?x∈R,ex>0”,命题 q:“?x0∈R,x0﹣2>x02”,则( A.命题 p∨q 是假命题 B.命题 p∧q 是真命题



C.命题 p∧(¬q)是真命题 D.命题 p∨(¬q)是假命题   5. 下列给出的几个关系中:① ??? ? ?a, b? ;② ? a, b ? ? ?a, b? ;③ ?a, b? ? ?b, a? ;

?

?

④ ? ? ?0? ,正确的有( A.个

)个 B.个 C.个 D.个 <0,且 f(2)=4,则不等式 f(x)﹣

6. 定义在(0,+∞)上的函数 f(x)满足: >0 的解集为( A.(2,+∞) ) B.(0,2) C.(0,4) D.(4,+∞) )

7. 某程序框图如图所示,则输出的 S 的值为(

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A.11

B.19

C.26

D.57 )

  8. 设 ? , ? 是两个不同的平面,是一条直线,以下命题正确的是( A.若 l ? ? , ? ? ? ,则 l ? ? C.若 l ? ? , ? // ? ,则 l ? ? B.若 l // ? ,

? // ? ,则 l ? ? D.若 l // ? , ? ? ? ,则 l ? ?

9. 设 m、n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m⊥α,n∥α,则 m⊥n;②若 α∥β,β∥γ,m⊥α,则 m⊥γ; ③若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n;④若 α⊥β,m⊥β,则 m∥α; 其中正确命题的序号是( ) D.①③ ) D.4 A.①②③④ B.①②③ C.②④ 10.函数 f(x)= A.1   11.已知角 α 的终边上有一点 P(1,3),则 A.﹣ B.﹣ C.﹣ D.﹣4 ) 的值为( ) B.2

,则 f(﹣1)的值为( C.3

12.下列结论正确的是(

A.若直线 l∥平面 α,直线 l∥平面 β,则 α∥β. B.若直线 l⊥平面 α,直线 l⊥平面 β,则 α∥β. C.若直线 l1,l2 与平面 α 所成的角相等,则 l1∥l2 D.若直线 l 上两个不同的点 A,B 到平面 α 的距离相等,则 l∥α  

二、填空题
13.【2017-2018 学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数 f ? x ? ? e x ?

1 ,其中 e 为自然对数 ex

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的底数,则不等式 f ? x ? 2 ? ? f x 2 ? 4 ? 0 的解集为________. 14.已知实数 x,y 满足约束条 ,则 z= 的最小值为      .

?

?

  15.一船以每小时 12 海里的速度向东航行,在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60°,行驶 4 小时后,到达 C 处, 看到这个灯塔 B 在北偏东 15°,这时船与灯塔相距为  海里. 16.已知偶函数 f(x)的图象关于直线 x=3 对称,且 f(5)=1,则 f(﹣1)=  . 17.平面内两定点 M(0,一 2)和 N(0,2),动点 P(x,y)满足 为曲线 E,给出以下命题: ① ? m,使曲线 E 过坐标原点; ②对 ? m,曲线 E 与 x 轴有三个交点; ③曲线 E 只关于 y 轴对称,但不关于 x 轴对称; ④若 P、M、N 三点不共线,则△ PMN 周长的最小值为 2 m +4; ⑤曲线 E 上与 M,N 不共线的任意一点 G 关于原点对称的另外一点为 H,则四边形 GMHN 的面积不大于 m。 其中真命题的序号是     .(填上所有真命题的序号) 18.下列四个命题申是真命题的是      (填所有真命题的序号) ①“p∧q 为真”是“p∨q 为真”的充分不必要条件; ②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行,则这两个角相等; ③在侧棱长为 2,底面边长为 3 的正三棱锥中,侧棱与底面成 30°的角; ④动圆 P 过定点 A(﹣2,0),且在定圆 B:(x﹣2)2+y2=36 的内部与其相内切,则动圆圆心 P 的轨迹为一个 椭圆.   ,动点 P 的轨迹

三、解答题
19.若{an}的前 n 项和为 Sn,点(n,Sn)均在函数 y= (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 ,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求:使得 对所有 n∈N*都成立的最大正整数 m. 的图象上.

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20.已知 f(x)=x2+ax+a(a≤2,x∈R),g(x)=ex,φ(x)= (Ⅰ)当 a=1 时,求 φ(x)的单调区间; (Ⅱ)求 φ(x)在 x∈[1,+∞)是递减的,求实数 a 的取值范围;



(Ⅲ)是否存在实数 a,使 φ(x)的极大值为 3?若存在,求 a 的值;若不存在,请说明理由.  

21.某滨海旅游公司今年年初用 49 万元购进一艘游艇,并立即投入使用,预计每年的收入为 25 万元,此外每 年都要花费一定的维护费用,计划第一年维护费用 4 万元,从第二年起,每年的维修费用比上一年多 2 万元, 设使用 x 年后游艇的盈利为 y 万元. (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)此游艇使用多少年,可使年平均盈利额最大?

22.已知集合 P={x|2x2﹣3x+1≤0},Q={x|(x﹣a)(x﹣a﹣1)≤0}. (1)若 a=1,求 P∩Q; (2)若 x∈P 是 x∈Q 的充分条件,求实数 a 的取值范围.

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23.如图,已知 AC,BD 为圆 O 的任意两条直径,直线 AE,CF 是圆 O 所在平面的两条垂线,且线段 AE=CF= ,AC=2. (Ⅰ)证明 AD⊥BE; (Ⅱ)求多面体 EF﹣ABCD 体积的最大值.

24.(本小题满分 13 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是梯形, AB / / DC , ?ABD ?

?
2

, AD ? 2 2 , AB ? 2 DC ? 2 ,

F 为 PA 的中点.
(Ⅰ)在棱 PB 上确定一点 E ,使得 CE / / 平面 PAD ; (Ⅱ)若 PA ? PB ? PD ?

6 ,求三棱锥 P ? BDF 的体积.

P

F D

C

A

B

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永年区外国语学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】解析:本题考查等差数列的定义通项公式与“裂项法”求数列的前 n 项和.由 an ?1 ? an ?
2 2

得 an ?1 ? an ? 4 ,∴ an 是等差数列,公差为 4 ,首项为 4 ,∴ an ? 4 ? 4( n ? 1) ? 4n ,由 an ? 0 得
2

? ?

4 an ?1 ? an

2

an ? 2 n .

? 1 ? 1 1 1 ? ? ( n ? 1 ? n ) ,∴数列 ? ? 的前 n 项和为 an ?1 ? an 2 n ? 1 ? 2 n 2 ? an ?1 ? an ? 1 1 1 1 ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2) ? ? ? ( n ? 1 ? n ) ? ( n ? 1 ? 1) ? 5 ,∴ n ? 120 ,选 C. 2 2 2 2

2. 【答案】A 【解析】

考 点:正弦定理及二倍角公式. 【思路点晴】本题中用到了正弦定理实现三角形中边与角的互化,同角三角函数间的基本关系及二倍角公式, 如 sin 理
2

? ? cos 2 ? ? 1, cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ,这要求学生对基本公式要熟练掌握解三角形时常借助于正弦定

a b c ? ? ? 2 R ,余弦定理 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A , 实现边与角的互相转化. sin A sin B sin C
<θ< )向右平移 φ 个单位,得到 g(x)=sin(2x+θ﹣2φ),

3. 【答案】C 【解析】函数 f(x)=sin(2x+θ)(﹣ 因为两个函数都经过 P(0, 所以 sinθ= 又因为﹣ 所以 θ= , , ),

<θ< ,

所以 g(x)=sin(2x+

﹣2φ),

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sin( 所以 或

﹣2φ)= ﹣2φ=2kπ+ ﹣2φ=2kπ+

, ,k∈Z,此时 φ=kπ,k∈Z, ,k∈Z,此时 φ=kπ﹣ ,k∈Z,

故选:C. 【点评】本题考查的知识点是函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,三角函数求值,难度中档   4. 【答案】 C 【解析】解:命题 p:“?x∈R,ex>0”,是真命题, 命题 q:“?x0∈R,x0﹣2>x02”,即 即: ﹣x0+2<0,

+ <0,显然是假命题,

∴p∨q 真,p∧q 假,p∧(¬q)真,p∨(¬q)假, 故选:C. 【点评】本题考查了指数函数的性质,解不等式问题,考查复合命题的判断,是一道基础题.   5. 【答案】C 【解析】 试题分析:由题意得,根据集合之间的关系可知: ?a, b? ? ?b, a? 和 ? ? ?0? 是正确的,故选 C. 考点:集合间的关系. 6. 【答案】B 【解析】解:定义在(0,+∞)上的函数 f(x)满足: ∵f(2)=4,则 2f(2)=8, f(x)﹣ >0 化简得 , <0.

当 x<2 时, ? 故得 x<2, ∵定义在(0,+∞)上. ∴不等式 f(x)﹣ 故选 B. >0 的解集为(0,2). 成立.

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【点评】本题考查了构造已知条件求解不等式,从已知条件入手,找个关系求解.属于中档题.   7. 【答案】C 【解析】解:模拟执行程序框图,可得 S=1,k=1 k=2,S=4 不满足条件 k>3,k=3,S=11 不满足条件 k>3,k=4,S=26 满足条件 k>3,退出循环,输出 S 的值为 26. 故选:C. 【点评】本题主要考查了程序框图和算法,依次写出每次循环得到的 k,S 的值是解题的关键,属于基本知识 的考查.   8. 【答案】 C 111] 【解析】

考 点:线线,线面,面面的位置关系 9. 【答案】B 【解析】解:由 m、n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面: 在①中:若 m⊥α,n∥α,则由直线与平面垂直得 m⊥n,故①正确; 在②中:若 α∥β,β∥γ,则 α∥γ, ∵m⊥α,∴由直线垂直于平面的性质定理得 m⊥γ,故②正确; 在③中:若 m⊥α,n⊥α,则由直线与平面垂直的性质定理得 m∥n,故③正确; 在④中:若 α⊥β,m⊥β,则 m∥α 或 m?α,故④错误. 故选:B.   10.【答案】A 【解析】解:由题意可得 f(﹣1)=f(﹣1+3)=f(2)=log22=1 故选:A

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【点评】本题考查分度函数求值,涉及对数的运算,属基础题.   11.【答案】A 【解析】解:∵点 P(1,3)在 α 终边上, ∴tanα=3, ∴ 故选:A.   12.【答案】B 【解析】解:A 选项中,两个平面可以相交,l 与交线平行即可,故不正确; B 选项中,垂直于同一平面的两个平面平行,正确; C 选项中,直线与直线相交、平行、异面都有可能,故不正确; D 中选项也可能相交. 故选:B. 【点评】本题考查平面与平面,直线与直线,直线与平面的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,比较基 础.   = = = =﹣ .

二、填空题

2? 13.【答案】 ? ?3,
【解析】∵ f ? x ? ? e x ? 又∵ f ? ? x ? ? e ? e
x ?x

f ? x ? 2 ? ? f 4 ? x 2 ,即 x ? 2 ? 4 ? x 2 ,解得: ?3 ? x ? 2 ,即不等式 f ? x ? 2 ? ? f x 2 ? 4 ? 0 的解集为

?

1 1 1? ? , x ? R ,∴ f ? ? x ? ? e ? x ? ? x ? ? ? e x ? x ? ? ? f ? x ? ,即函数 f ? x ? 为奇函数, x e e e ? ? ? 0 恒成立,故函数 f ? x ? 在 R 上单调递增,不等式 f ? x ? 2 ? ? f ? x 2 ? 4 ? ? 0 可转化为

?

?

?

2 ? ,故答案为 ? ?3, 2? . ? ?3,
14.【答案】   .

【解析】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分). 由 z= =32x+y,

设 t=2x+y, 则 y=﹣2x+t,

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平移直线 y=﹣2x+t, 由图象可知当直线 y=﹣2x+t 经过点 B 时,直线 y=﹣2x+t 的截距最小, 此时 t 最小. 由 ,解得 ,即 B(﹣3,3),

代入 t=2x+y 得 t=2×(﹣3)+3=﹣3. ∴t 最小为﹣3,z 有最小值为 z= 故答案为: . =3﹣3= .

【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题 的基本方法.   15.【答案】 24

 

【解析】解:根据题意,可得出∠B=75°﹣30°=45°, 在△ABC 中,根据正弦定理得:BC= 则这时船与灯塔的距离为 24 故答案为:24 . 海里. =24 海里,

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  16.【答案】 1 . 【解析】解:f(x)的图象关于直线 x=3 对称,且 f(5)=1,则 f(1)=f(5)=1, f(x)是偶函数,所以 f(﹣1)=f(1)=1. 故答案为:1.   17.【答案】①④⑤ 解析 : ∵平面内两定点 M(0,﹣2)和 N(0,2) ,动点 P(x,y)满足| ? =m |?| |=m(m≥4) ,∴

①(0,0)代入,可得 m=4,∴①正确; ②令 y=0,可得 x2+4=m,∴对于任意 m,曲线 E 与 x 轴有三个交点,不正确; ③曲线 E 关于 x 轴对称,但不关于 y 轴对称,故不正确; ④若 P、M、N 三点不共线,| |+| |≥2 =2 ,所以△PMN 周长的最小值为 2 +4,正确; ⑤曲线 E 上与 M、N 不共线的任意一点 G 关于原点对称的点为 H,则四边形 GMHN 的面积为 2S△MNG=|GM||GN|sin∠MGN≤m,∴四边形 GMHN 的面积最大为不大于 m,正确. 故答案为:①④⑤. 18.【答案】 ①③④  【解析】解:①“p∧q 为真”,则 p,q 同时为真命题,则“p∨q 为真”, 当 p 真 q 假时,满足 p∨q 为真,但 p∧q 为假,则“p∧q 为真”是“p∨q 为真”的充分不必要条件正确,故①正确 ; ②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行,则这两个角相等或互补;故②错误, ③设正三棱锥为 P﹣ABC,顶点 P 在底面的射影为 O,则 O 为△ABC 的中心,∠PCO 为侧棱与底面所成角 ∵正三棱锥的底面边长为 3,∴CO= ∵侧棱长为 2,∴ 在直角△POC 中,tan∠PCO=

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∴侧棱与底面所成角的正切值为

,即侧棱与底面所成角为 30°,故③正确,

④如图,设动圆 P 和定圆 B 内切于 M,则动圆的圆心 P 到两点,即定点 A(﹣2,0)和定圆的圆心 B(2,0) 的距离之和恰好等于定圆半径, 即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=6>4=|AB|. ∴点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆, 故动圆圆心 P 的轨迹为一个椭圆,故④正确, 故答案为:①③④

 

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)由题意知:Sn= n2﹣ n, 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=3n﹣2, 当 n=1 时,a1=1,适合上式, 则 an=3n﹣2; bn= (2) 根据题意得 : =1﹣ , = = ﹣ Tn=b1+b2+…+bn=1﹣ + ﹣ +…+ , ﹣

∴{Tn}在 n∈N*上是增函数,∴(Tn)min=T1= ,

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要使 Tn>

对所有 n∈N*都成立,只需

< ,即 m<15,

则最大的正整数 m 为 14.   20.【答案】 【解析】解:(I)当 a=1 时,φ(x)=(x2+x+1)e﹣x.φ′(x)=e﹣x(﹣x2+x) 当 φ′(x)>0 时,0<x<1;当 φ′(x)<0 时,x>1 或 x<0 ∴φ(x)单调减区间为(﹣∞,0),(1,+∞),单调增区间为(0,1); (II)φ′(x)=e﹣x[﹣x2+(2﹣a)x] ∵φ(x)在 x∈[1,+∞)是递减的, ∴φ′(x)≤0 在 x∈[1,+∞)恒成立, ∴﹣x2+(2﹣a)x≤0 在 x∈[1,+∞)恒成立, ∴2﹣a≤x 在 x∈[1,+∞)恒成立, ∴2﹣a≤1 ∴a≥1 ∵a≤2,1≤a≤2; (III)φ′(x)=(2x+a)e﹣x﹣e﹣x(x2+ax+a)=e﹣x[﹣x2+(2﹣a)x] 令 φ′(x)=0,得 x=0 或 x=2﹣a:

由表可知,φ(x)极大=φ(2﹣a)=(4﹣a)ea﹣2 设 μ(a)=(4﹣a)ea﹣2,μ′(a)=(3﹣a)ea﹣2>0, ∴μ(a)在(﹣∞,2)上是增函数, ∴μ(a)≤μ(2)=2<3,即(4﹣a)ea﹣2≠3, ∴不存在实数 a,使 φ(x)极大值为 3.   21.【答案】 【解析】解:(1) (2)盈利额为 当且仅当 即 x=7 时,上式取到等号…11 (x∈N*)…6 …

答:使用游艇平均 7 年的盈利额最大.…12

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【点评】本题考查函数模型的构建,考查利用基本不等式求函数的最值,属于中档题.   22.【答案】 【解析】解:(1) 当 a=1 时,Q={x|(x﹣1)(x﹣2)≤0}={x|1≤x≤2} 则 P∩Q={1} (2)∵a≤a+1,∴Q={x|(x﹣a)(x﹣a﹣1)≤0}={x|a≤x≤a+1} ∵x∈P 是 x∈Q 的充分条件,∴P?Q ∴ ,即实数 a 的取值范围是

【点评】本题属于以不等式为依托,求集合的交集的基础题,以及充分条件的运用,也是高考常会考的题型.   23.【答案】 【解析】(Ⅰ)证明:∵BD 为圆 O 的直径,∴AB⊥AD, ∵直线 AE 是圆 O 所在平面的垂线, ∴AD⊥AE, ∵AB∩AE=A, ∴AD⊥平面 ABE, ∴AD⊥BE; (Ⅱ)解:多面体 EF﹣ABCD 体积 V=VB﹣AEFC+VD﹣AEFC=2VB﹣AEFC. ∵直线 AE,CF 是圆 O 所在平面的两条垂线, ∴AE∥CF,∥AE⊥AC,AF⊥AC. ∵AE=CF= ∵AC=2, ∴SAEFC=2 , 作 BM⊥AC 交 AC 于点 M,则 BM⊥平面 AEFC, ∴V=2VB﹣AEFC=2× ≤ = . . ,∴AEFC 为矩形,

∴多面体 EF﹣ABCD 体积的最大值为

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【点评】本题考查线面垂直,线线垂直,考查体积的计算,考查学生分析解决问题的能力,难度中等.   24.【答案】(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)当 E 为 PB 的中点时, CE / / 平面 PAD . (1 分) 连结 EF 、 EC ,那么 EF / / AB , EF ? ∵ DC / / AB , DC ?

1 AB . 2

1 AB ,∴ EF / / DC , EF ? DC ,∴ EC / / FD . (3 分) 2 又∵ CE ? 平面 PAD , FD ? 平面 PAD ,∴ CE / / 平面 PAD . (5 分)
(Ⅱ)设 O 为 AD 的中点,连结 OP 、 OB ,∵ PA ? PD ,∴ OP ? AD , 在直角三角形 ABD 中, OB ?

1 AD ? OA , 又∵ PA ? PB ,∴ ?PAO ? ?PBO ,∴ ?POA ? ?POB ,∴ 2

OP ? OB ,
∴ OP ? 平面 ABD . (10 分)

PO ? PA2 ? AO 2 ? ( 6) 2 ? ( 2) 2 ? 2 , BD ? AD 2 ? AB 2 ? 2 1 1 1 2 ∴三棱锥 P ? BDF 的体积 VP ? BDF ? VP ? ABD ? ? ? 2 ? 2 ? . (13 分) 2 2 3 3 P

F

E D

C

O
A B

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