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新课标2017春高中数学第1章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课时作业新人教B版

2017 春高中数学 第 1 章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 第 1 课时 正弦定理 课时作业 新人教 B 版必修 5

基 础 巩 固 一、选择题 1. 在△ABC 中, AB= 3, ∠A=45°, ∠C=75°, 则 BC 等于 导学号 27542013 ( A.3- 3 C.2 [解析] 由正弦定理,得 B. 2 D.3+ 3 A )

AB BC 3 = ,即 = , sinA sinC sin45° sin75°

BC

2 3× 2 3×sin45° ∴BC= = =3- 3. sin75° 6+ 2 4 2.已知△ABC 的三个内角之比为 A︰B︰C=3︰2︰1,那么对应的三边之比 a︰b︰c 等 于 导学号 27542014 ( A.3︰2︰1 C. 3︰ 2︰1 [解析] ∵?
?A︰B︰C=3︰2︰1 ? ? ?A+B+C=180°

D ) B. 3︰2︰1 D.2︰ 3︰1 ,

∴A=90°,B=60°,C=30°. ∴a︰b︰c=sinA︰sinB︰sinC=1︰ 3 1 ︰ =2︰ 3︰1. 2 2 B )

1 3.在△ABC 中,a=3,b=5,sin A= ,则 sin B= 导学号 27542015 ( 3 1 A. 5 C. 5 3 5 B. 9 D.1 3 5 ,∴ = , sinA sinB 1 sinB 3 =

[解析] 由正弦定理,得

a

b

5 即 sinB= ,选 B. 9
1

4.在△ABC 中,三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 = ,则角 B sin A cos B 的大小为 导学号 27542016 ( π A. 6 π C. 3 [解析] 由 B ) π B. 4 π D. 2

a

b

a b a b π = 及 = ,可得 sin B=cos B,又 0<B<π ,∴B= . sin A sin B sin A cos B 4

5.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,向量 m=( 3,-1),n=(cos A, sin A),若 m⊥n,且 acos B+bcos A=csin C,则角 A、B 的大小分别为 导学号 27542017 ( C ) π π A. , 6 3 π π C. , 3 6 2π π B. , 3 6 π π D. , 3 3

[解析] ∵m⊥n,∴ 3cos A-sin A=0, π ∴tan A= 3,则 A= . 3 由正弦定理,得 sin AcosB+sinBcosA=sin C, ∴sin(A+B)=sin C,∴sin C=sin C. 因为 0<C<π ,sinC≠0, π π ∴sin C=1,∴C= ,B= . 2 6 6. △ABC 中, b=30, c=15, C=26°, 则此三角形解的情况是 导学号 27542018 ( A.一解 C.无解 [解析] ∵b=30,c=15,C=26°, ∴c>bsinC,又 c<b,∴此三角形有两解. 二、填空题 7. 已知△ABC 外接圆半径是 2 cm, ∠A=60°, 则 BC 边的长为 2 3cm. 导学号 27542019 [解析] ∵ =2R, sinA B.两解 D.无法确定 B )
2 2 2

BC

∴BC=2RsinA=4sin60°=2 3(cm).

2

8.在△ABC 中,A=30°,C=45°,c= 2,则边 a=1. 导学号 27542020 [解析] 由正弦定理,得 1 2× 2 2 2 , sinA sinC

a



c

∴a=

csinA = sinC

=1.

三、解答题 2 5 9.在△ABC 中,B=45°,AC= 10,cosC= ,求边 BC 的长. 导学号 27542021 5 2 5 5 2 [解析] 由 cosC= ,得 sinC= 1-cos C= . 5 5 sinA=sin(180°-45°-C)= 2 3 10 (cosC+sinC)= . 2 10 3 10 10× 10 2 2

ACsinA 由正弦定理,得 BC= = sinB

=3 2.

4 π 10.(2016·江苏,15)在△ABC 中,AC=6,cosB= ,C= . 导学号 27542022 5 4 (1)求 AB 的长; π (2)求 cos(A- )的值. 6 4 [解析] (1)∵cosB= ,0<B<π , 5 ∴sinB= 1-cos B=
2

4 2 3 1-? ? = . 5 5

由正弦定理,得 = , sinB sinC 2 6× 2 AC·sinC ∴AB= = =5 2. sinB 3 5 (2)在△ABC 中,A+B+C=π ,所以 A=π -(B+C), π π π ∴cosA=-cos(B+C)=-cos(B+ )=-cosBcos +sinBsin , 4 4 4 4 3 又 cosB= ,sinB= , 5 5

AC

AB

3

4 2 3 2 2 故 cosA=- × + × =- . 5 2 5 2 10 7 2 2 ∵0<A<π ,∴sinA= 1-cos A= . 10 π π π 2 3 7 2 1 7 2- 6 ∴cos(A- )=cosAcos +sinAsin =- × + × = . 6 6 6 10 2 10 2 20 能 力 提 升 一、选择题 1.在锐角三角形中,a、b、c 分别是内角 A、B、C 的对边,设 B=2A,则 的取值范围 是 导学号 27542023 ( A.(-2,2) C.(1,2) D ) B.(0,2) D.( 2, 3)

b a

b sinB sin2A 2sinAcosA [解析] ∵ = = = =2cosA. a sinA sinA sinA
∵B=2A,∴C=π -A-B=π -3A. 又∵△ABC 为锐角三角形, π π π ∴0<π -3A< ,∴ <A< . 2 6 3 π 又 B=2A,∴0<2A< , 2 π π π ∴0<A< ,∴ <A< , 4 6 4 ∴cosA∈( 2 3 , ),∴2cosA∈( 2, 3),故选 D. 2 2

2.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 acos B+acos C=b+c,则△ ABC 的形状是 导学号 27542024 ( A.等边三角形 C.钝角三角形 [解析] ∵acos B+acos C=b+c, ∴由正弦定理,得 sin AcosB+sin AcosC=sinB+sin C=sin(A+C)+sin(A+B), 化简得 cos A·(sin B+sin C)=0,又 sin B+sin C>0, π ∴cos A=0,即 A= ,∴△ABC 为直角三角形. 2 3.已知△ABC 中, a=x,b= 2,∠B=45°,若三角形有两解,则 x 的取值范围是 D ) B.锐角三角形 D.直角三角形

4

导学号 27542025 (

C )

A.x>2 C.2<x<2 2 [解析] 由题设条件可知?
?x>2 ? ? ?xsin45°<2

B.x<2 D.2<x<2 3 ,∴2<x<2 2.

4.设 a、b、c 分别是△ABC 中∠A、∠B、∠C 所对边的边长,则直线 xsinA+ay+c=0 与 bx-ysinB+sinC=0 的位置关系是 导学号 27542026 ( A.平行 C.垂直 B.重合 D.相交但不垂直 C )

sinA b [解析] ∵k1=- ,k2= ,∴k1·k2=-1, a sinB ∴两直线垂直. 二、填空题 5.在△ABC 中,若 B=2A,a︰b=1︰ 3,则 A=30°. 导学号 27542027 [解析] 由正弦定理,得 a︰b=sinA︰sinB, 又∵B=2A,∴sinA︰sin2A=1︰ 3, ∴cosA= 3 ,∴A=30°. 2

6.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.若 a= 2,b=2,sin B+cos B π = 2,则角 A 的大小为 . 导学号 27542028 6 π [解析] ∵sin B+cos B= 2sin(B+ )= 2; 4 π ∴sin(B+ )=1, 4 π π 5π 又∵0<B<π ,∴ <B+ < , 4 4 4 π π π ∴B+ = ,∴B= . 4 2 4

5

由正弦定理,得 = , sin A sin B π 2 2sin 2× 4 2 1 asin B ∴sin A= = = = , b 2 2 2 π 又∵a<b,∴A<B,∴A= . 6 三、解答题 7.在△ABC 中,a=3,b=2 6,∠B=2∠A. 导学号 27542029 (1)求 cos A 的值; (2)求 c 的值. [解析] (1)因为 a=3,b=2 6,∠B=2∠A, 所以在△ABC 中,由正弦定理,得 3 2 6 = , sinA sin2A

a

b

2sinAcosA 2 6 6 所以 = ,故 cosA= . sinA 3 3 (2)由(1)知 cosA= 6 3 2 ,所以 sinA= 1-cos A= . 3 3

1 2 又因为∠B=2∠A,所以 cosB=2cos A-1= . 3 所以 sinB= 1-cos B=
2

2 2 , 3

5 3 在△ABC 中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= . 9 所以 c=

asinC =5. sinA

2 8 .在△ ABC 中,内角 A、 B 、 C 的对边分别为 a、 b 、 c ,已知 cosA= , sinB = 5 3 cosC. 导学号 27542030 (1)求 tanC 的值; (2)若 a= 2,求△ABC 的面积. [ 解析 ] 2 5 5 2 (1) 由 cosA = ,得 sinA = . 又 5cosC = sinB= sin(A + C) = cosC + 3 3 3 3

sinC,∴tanC= 5. (2)由 tanC= 5,得 sinC= 30 6 ,cosC= , 6 6

6

∴sinB= 5cosC=

30 . 6 2× 5 3 30 6

asinC 由正弦定理,得 c= = sinA

= 3.

1 1 30 5 ∴△ABC 的面积 S= acsinB= × 2× 3× = . 2 2 6 2 9.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知向量 m=(2cos ,sin ),n= 2 2 (cos ,-2sin ),m·n=-1. 导学号 27542031 2 2 (1)求 cosA 的值; (2)若 a=2 3,b=2,求 c 的值. [解析] (1)∵m=(2cos ,sin ), 2 2

A

A

A

A

A

A

A A n=(cos ,-2sin ),m·n=-1,
2 2 ∴2cos -2sin =-1, 2 2 1 ∴2cosA=-1,cosA=- . 2 1 2π (2)由(1)知 cos A=- ,又 0<A<π ,∴A= . 2 3 ∵a=2 3,b=2, 由正弦定理,得 即 = , sin A sin B
2

A

2

A

a

b

2 3 2 1 = ,∴sin B= . 2π sin B 2 sin 3

π ∵0<B<π ,B<A,∴B= , 6 π ∴C=π -A-B= ,∴C=B,所以 c=b=2. 6

7


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