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2013-2014学年河北邢台一中高二上学期第二次月考理数学试卷(带解析)

2013-2014 学年河北邢台一中高二上学期第二次月考理数学试卷(带 解析)
一、选择题 1.设 ,则 是 的( )

A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 试题分析:由 必要条件. 考点:充分条件和必要条件. 2.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( ) 得 ,或 ,因为 ? ,或 ,故 是 的充分不

A.1 B. C. D. 【答案】D 【解析】

试题分析:程序执行过程中, 考点:程序框图. 3.下列选项正确的是( ) A.若 为真命题,则

的值依次为

,

.

为真命题 或 ”的否定为:“ 则甲是乙的充分不必要条件 ” 使得

B.命题甲: C.命题“若 D.已知命题 : 【答案】B 【解析】 试题分析:当 , :

,命题乙:

使得

,则

中一真一假时, 且 ,所以

为假命题,A 错;记命题甲为 ,命题乙为 ,则 , ? ,故



, ? ,B 正确;命题的否

定只否定结论,C 错;特称命题的否定是全称命题,D 错. 考点:1、简单的逻辑联结词;2、命题的否定. 4.若抛物线 A.8 B.2 的焦点与椭圆 C.-4 D.4 的右焦点重合,则 的值为( )

【答案】A 【解析】 试题分析:抛物线 的焦点为 ,椭圆 的右焦点为 ,所以 , .

考点:抛物线和椭圆的标准方程. 5.从 3001 名学生中选取 50 名组成参观团,现采用下面的方法选取:先用简单随机抽样 从 3001 人中剔除 1 人,剩下的 3000 人再按系统抽样的方法进行,则每个人被选到的机会 ( ) A.不全相等 【答案】D 【解析】 试题分析:在抽样方法中,不管是简单随机抽样,还是分层抽样,还是系统抽样,每个个体 被抽到到的机会都是均等的. 考点:抽样方法. 6.以双曲线 的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是( ) B.均不相等 C.无法确定 D.都相等

A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 试题分析:双曲线 半径 ,故圆的方程为 的右焦点为 ,渐近线为 ,所以所求圆的圆心为 ,

,选 A.

考点:1、双曲线的标准方程;2、圆的方程. 7.若△ ABC 顶点 B,C 的坐标分别为(-4,0),(4,0),AC,AB 边上的中线长之和为 30,则△ ABC 的重 心 G 的轨迹方程为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析:由重心的性质可知: 为焦点的椭圆,且 ,∴ >8,由椭圆定义知重心 G 的轨迹是以 B,C ,故轨迹方程为 .

考点:1、三角形重心的性质;2、椭圆的定义;3、轨迹方程. 8.分别在区间 A.0.3 , 内各任取一个实数依次为 C.0.7 D.0.714 ,则 的概率是( )

B.0.667

【答案】C 【解析】 试题分析:该题有两个变量 ,所以考虑构造点 ,因基本事件总数是无限,可考虑几 何概型求概率,所有点 构成一个长,宽分别为 5 和 3 的矩形,在此矩形内取点,则点落 在 的概率为 .

考点:几何概型. 9.“十一”期间,邢台市通过随机询问 100 名性别不同的居民是否能做到‘光盘’行动,得到如下 的列联表,参照附表,得到的正确的结论是( ) 做不到“光盘” 45 30 能做到“光盘” 10 15

男 女

k

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

A.在犯错误的概率不超过 1%的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” B.在犯错误的概率不超过 1%的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” C.有 90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” D.有 90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” 【答案】C 【解析】 试题分析:根据列联表中的数据得到 握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”,选 C. 考点:独立性检验. 10.已知点 是椭圆 是 A. 【答案】B 【解析】 上的动点, ,则 D. 分别是椭圆的左右焦点, 为原点,若 长度的取值范围是( ) >2.706,∴有 90%以上的把

的角平分线上的一点,且 B. C.

试题分析:由椭圆的对称性,只要研究动点 在第一象限的情况,当点 与点 重合时, 与原点 重合,此时 最短为 0,当点 与点 重合时, 与 重合,此时 最长为 又点 与点 不重合,所以 的取值范围 .

,

考点:椭圆的简单几何性质. 11.已知抛物线 且 A. 【答案】B 【解析】 试题分析:抛物线 又 轴,所以 的焦点为 ,亦是双曲线的右焦点,故 ,∴ . ①, 与双曲线 有相同的焦点 F,点 是两曲线的交点,

轴,则 的值为( ) B. C. D.

,代入椭圆方程得

②,联立①②得,

考点:1、抛物线的标准方程;2、双曲线的标准方程. 12.设 F1(-c, 0), F2(c, 0)是椭圆 (a>b>0)的两个焦点,P 是以|F1F2|为直径的圆与椭圆的

一个交点,且∠PF1F2=5∠PF2F1,则该椭圆的离心率为( ) A. B. C. D.

【答案】A 【解析】 试题分析:因为 , 是圆的直径,故 ,在 ,∴ 中,设 . ,则 ,∴

考点:1、解直角三角形;2、椭圆的简单几何性质. 二、填空题 1. 用反证法证明“ , 可被 5 整除,那么 中至少有一个能被 5 整除”,则假设内容是 _____________________________________________________. 【答案】“ 都不能被 5 整除”

【解析】 试题分析:反证法是从结论的反面出发,经过推理得出与已知或者公理、定理矛盾的结论, 从而说明原命题成立的证明方法,应假设“ 都不能被 5 整除”. 考点:反证法. 2.顶点在原点,且过点 【答案】 【解析】 试题分析:因为抛物线过点 或者 考点:抛物线的标准方程. 3.一个总体分为 两层,其个体数之比为 ,用分层抽样法从总体中抽取一个容量为 10 的 ,则总体中的个体数是 ____________. ,所以抛物线可能开口向左或向上,故设抛物线方程为 ,代入点 ,可得抛物线方程为 ,或 . ,或 的抛物线的标准方程是__________________.

样本,已知 层中甲、乙都被抽到的概率为 【答案】40 【解析】

试题分析:由条件易知 B 层中抽取的样本数是 2,设 B 层总体数为 n,又由 B 层中甲、乙都 被抽到的概率为 ,解得 n=8,所以总体中的个体数为 32+8=40.

考点:1、分层抽样;2、组合. 4.已知函数 线段 是坐标原点 O 为中心的双曲线,在此双曲线的两支上分别取点 ,则

的最小值为__________.

【答案】 【解析】 试题分析:根据双曲线的性质,当直线经过双曲线的中心被双曲线截得的实轴长是线段是 PQ 的最小值, . 考点:双曲线的几何性质. 5.已知命题 :方程 在[-1,1]有解;命题 :只有一个实数 满足不等式 ,若命题:“p 或 q”是假命题,求实数 a 的取值范围. 【答案】 【解析】 试题分析:由“p 或 q”是假命题,根据真值表可知,命题 和 全为假命题,先将命题翻译为 最简,即命题 : ;命题 : 或 ,然后求 和 ,再求交集. ,设点 ,则 ,

试题解析:由

,得



,∵方程

在[-1,1]有解,∴ 且

, , ,

或 ,所以 ,故命题 : ,又只有一个实数 满足不等式 ∴ ,∴ 或 ,故命题 : 或 ,所以 : 或 ; : ∵“p 或 q”是假命题,∴命题 和 全为假命题,故 或 ,所以 a 的取值范围 . 考点:1、一元二次方程和一元二次不等式;2、复合命题的真假. 6.过点 作两条互相垂直的直线 中点 的轨迹方程. 【答案】x+2y-5=0 【解析】 试题分析:由 ; 中点 ,得 的斜率关系,且过定点 ,进而分别将其与 ,,将两条直线方程设出来, ,若 交 轴于 点, 交 轴于 点,求线段



轴的交点 , 的坐标,设线段



,根据中点坐标公式,得

,联立消去参数 ,得中

点的轨迹方程.

试题解析:设 ∴ 与 轴交点

,因为

,且过定点 , 与 轴交点

,所以设 ,因为 是线段

; 的中点,所以

, ,

,消去 ,得 x+2y-5=0,另外,当 =0 时, 方程;当 不存在时,中 方程为 x+2y-5=0. 点为

中点为

(1,2),满足上述轨迹 轨迹

(1,2),也满足上述轨迹方程, 综上所述,的

考点:1、两条直线的位置关系;2、轨迹方程. 三、解答题 1.在“2013 魅力新邢台”青少年才艺表演评比活动中,参赛选手成绩的茎叶图和频率分布直方 图,都受到不同程度的损坏,回答问题

(1)求参赛总人数和频率分布直方图中 (2)若要从分数在 之间的概率.

之间的矩形的高,并完成直方图;

之间任取两份进行分析,在抽取的结果中,求至少有一份分数在

【答案】(1)25,0.016,详见解析;(2) 【解析】 试题分析:(1)由已知中的茎叶图,可以求出分数在[50,60)之间的频数,进而根据频率= 頻数 样本容量,得参赛总人数,再由[80,90 的频率除以组距 10,求出[80,90)之间的矩 形的高;(2)由已知中的茎叶图,可以求出分数在[80,90]和[90,100]之间的频数,然后列 举出在[80,100]之间任取两份的基本事件个数及在[90,100]之间的基本事件个数,代入古典 概型概率公式,可得答案. 试题解析:(1)由茎叶图知,分数在[50,60)之间的频数为 2,由频率分布直方图知,分 数在[50,60)之间的频率为 0.008×10=0.08,所以,参赛总人数为 90)之间的人数为 25-2-7-10-2=4,∴分数在[80,90)之间的频率为 方图中[80,90)间矩形的高为 ,完成直方图,如下图, ,又分数在[80, =0.16,得频率分布直



(2)将[80,90)之间的 4 个分数编号为 1,2,3,4;[90,100]之间的 2 个分数编号为 5 和 6. 则在[80,100]之间任取两份的基本事件为: (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4), (3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6), 共 15 个,而且它们是等可能发生的,其中至少有一个在[90,100]之间的基本事件为: (1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6), (5,6)共 9 个, 故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是 .

考点:1、茎叶图;2、频率分布直方图;3、古典概型. 2.有一个不透明的袋子,装有 4 个完全相同的小球,球上分别编有数字 1,2,3,4, (1)若逐个不放回取球两次,求第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被 3 整 除的概率; (2)若先从袋中随机取一个球,该球的编号为 a,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个 球,该球的编号为 b,求直线 ax+by+1=0 与圆 有公共点的概率.

【答案】(1) ;(2) 【解析】 试题分析:能理解放回抽样和不放回抽样中基本事件总数的变化是解该题的关键,(1)定 义事件 A=“第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被 3 整除”,列举出逐个不放回 取球两次的基本事件总数及第一次取到球的编号为偶数且两球编号能被 3 整除包含的基本事 件数,代入古典概型概率的计算公式即可; (2)定义事件 B=“直线 与圆 与圆 有公共点”,列出基本事件总数及直线

有公共点包含的基本事件数,代入古典概型的概率计算公式即可.

试题解析:(1)记 A=“第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被 3 整除”,用 表示先后两次不放回取球所构成的基本事件,则基本事件有:(1,2),(1,3), (1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2), (4,3)共 12 个,事件 A 包含的基本事件有(2,1),(2,4),(4,2)共三个,所以 ; (2)记 B=“直线 与圆 有公共点”,基本事件有:(1,1),(1,2), ,即 ,

(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3), (3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)共 16 个,依题意

其中事件 B 包含的基本事件有(1,4),(2,4),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2), (4,3),(4,4)共 8 个,∴ 考点:1、直线和圆的位置关系;2、古典概型. 3.设双曲线 以椭圆 (1)求双曲线 的方程; (2)若直线 上,求实数 的取值范围. 【答案】(1) 【解析】 试题分析:(1)双曲线 和椭圆 , ,联立解 共焦点,故可设其方程为 ,且 ;(2) 与双曲线 交于不同两点 ,且 都在以 为圆心的圆 的两个焦点为焦点,且双曲线 的一条渐近线是 ,

;(2)直线和圆锥曲线的位置关系问题,一般根据已知条件

结合韦达定理列方程来确定参数的值或取值范围,因为 在以 为圆心的圆上,根据 垂径定理,连接圆心和弦 的中点的直线必垂直于 ,∴将直线和双曲线联立,得关于 的一元二次方程且 ,得关于 的不等式,利用韦达定理确定弦 的中点 坐标,利用 列式,得关于 的方程,与不等式联立消去 ,得关于 的不等式,解之可得.

试题解析:(1)依题双曲线 的两个焦点分别为 渐近线是 (2)设 由 , , ,





,又双曲线 的一条 ;

, 双曲线 的方程为:

,消去 整理得: (*),设 的中点为

,依题意得 ,则 ,

又 点 在直线 心的同一圆上,

上, ,即 ,

,

, ,整理得

两点都在以

为圆

,代人(*)式得:

解得:







,

,故所求 的取值范围是

.

考点:1、椭圆和双曲线的标准方程及简单几何性质;2、垂径定理;3、韦达定理. 4.如图已知椭圆的中点在原点,焦点在 x 轴上,长轴是短轴的 2 倍且过点 的直线 在 y 轴的截距为 ,且交椭圆与 两点, ,平行于

(1)求椭圆的方程;(2)求 的取值范围;(3)求证:直线 腰三角形,说明理由. 【答案】(1) 【解析】 ;(2) ;(3)详见解析



与 x 轴围成一个等

试题分析:直线和圆锥曲线位置关系问题,一般要将直线方程和圆锥曲线方程联立,同时要 注意其隐含条件( ),得关于某一个未知数的一元二次方程,利用韦达定理建立参数的 等量关系或者不等关系,从而确定参数的值或者取值范围,(1)由椭圆焦点在 轴,先设椭 圆标准方程为 件“平行于 的直线 交椭圆与 ,由已知得关于 , 的方程组,解 , ;(2)注意条 两点”,设直线方程为 y= x+m,与椭圆联立,得关于 的

一元二次方程, ,则

,得 的取值范围(注意 ,

);(3)只需证明斜率互为相反数先设 ;

,结合韦达定理证明 (a>b>0)

试题解析:(1)设椭圆方程为



∴椭圆方程



(2)∵直线 ∥DM 且在 y 轴上的截距为 m,∴y= x+m



∵ 与椭圆交于 A、B 两点∴△=(2m) -4(2m -4)>0

2

2

-2<m<2(m≠0);

(3)设直线 MA、MB 斜率分别为 k1,k2,则只要证:k1+k2=0 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 k1=
2 2

,k2=
2

由 x +2mx+2m -4=0 得 x1+x2=-2m,x1x2=2m -4 而 k1+k2= + = (*)

又 y1= x1+m y2= x2+m ∴(*)分子=( x1+m-1)(x2-2)+( x2+m-1)(x1-2) =x1x2+(m-2)(x1+x2)-4(m-1) =2m -4+(m-2)(-m)-4(m-1)=0 ∴k1+k2=0,证之. 考点:1、椭圆的标准方程;2、直线和椭圆的位置关系;3、韦达定理.
2


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