fccjxxw.com
非常超级学习网 学习超级帮手
当前位置:首页 >> 数学 >>

训练10数列求和及其综合应用

常考问题 10 数列求和及其综合应用
(建议用时:50 分钟) 1.数列{an}的通项公式 an= 1 n+ n+1 ,若{an}的前 n 项和为 24,则 n 为 ( A.25 解析 an= n+ B.576 1 n+1 =-( C.624 n- D.625 ).

n+1),前 n 项和 Sn=-[(1- 2)+( 2- 3)]+?+( n-

n+1)]= 答案 C

n+1-1=24,故 n=624.故选 C.

2.在等差数列{an}中,a1=142,d=-2,从第一项起,每隔两项取出一项,构成新的数列{bn},则此 数列的前 n 项和 Sn 取得最大值时 n 的值是 ( A.23 解析 B.24 C.25 D.26 ).

因为从第一项起,每隔两项取出一项,构成数列{bn},所以新数列的首项为 b1=a1=142,公

2 差为 d′=-2×3=-6,则 bn=142+(n-1)(-6).令 bn≥0,解得 n≤243,因为 n∈N*,所以数列 {bn}的前 24 项都为正数项,从 25 项开始为负数项.因此新数列{bn}的前 24 项和取得最大值.故选 B. 答案 B 1 4 am· an=4a1,则m+n的最

3.已知各项都为正的等比数列{an}满足 a7=a6+2a5,存在两项 am,an 使得 小值为

( 3 A.2 解析 5 B.3 25 C. 6 4 D.3

).

由 a7=a6+2a5,得 a1q6=a1q5+2a1q4,整理有 q2-q-2=0,解得 q=2 或 q=-1(与条件中等
2 m+n-2 2 am· an=4a1,得 aman=16a2 =16a1 ,即有 m+ 1,即 a12

比数列的各项都为正矛盾,舍去),又由

1 4 1 ? 1 4? 1?4m n ? 1? n-2=4,亦即 m+n=6,那么m+n=6(m+n)?m+n?=6? n +m+5?≥6?2 ? ? ? ? ? 4m n 3 当 n =m,即 n=2m=4 时取得最小值2. 答案 A

4m n ? 3 ?= ,当且仅 · + 5 n m ? 2

4.(2013· 聊城模拟)已知首项为正数的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1 006 和 a1 007 是方程 x2-2 012x -2 011=0 的两根,则使 Sn>0 成立的正整数 n 的最大值是

( A.1 006 B.1 007 解析 C.2 011 D.2 012

).

由题意知,a1 006+a1 007=2 012>0,a1 006· a1 007=-2 011<0,又因首项为正等差数列,所以 a1 n?a1+an? S2 011>0,S2 013<0,又因 Sn= ,n 2

006>0,a1 007<0,2a1 006=a1+a2 011>0,2a1 007=a1+a2 013<0,即

的最大值为 2 011. 答案 C

5.已知函数 f(x)=cos x(x∈(0,2π))有两个不同的零点 x1,x2,方程 f(x)=m 有两个不同的实根 x3,x4.若把 这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数 m 的值为 ( 1 A.-2 解析 1 B.2 3 C. 2 3 D.- 2 ).

π 3π 不妨设 x1<x2,x3<x4.由题意,可得 x1,x2 的值分别为2, 2 ,代入检验.

1 2π 4π 4π 2π 3π π 若 m=-2,则 x3,x4 的值分别为 3 , 3 ,因为 3 - 3 ≠ 2 -3,显然这四个数不能构成等差数列; 1 π 5π π π 3π π 若 m=2,则 x3,x4 的值分别为3, 3 ,因为2-3≠ 2 -2,故这四个数不能构成等差数列; 3 π 11π 11π 3π 3π π 若 m= 2 ,则 x3,x4 的值分别为6, 6 ,因为 6 - 2 ≠ 2 -2,显然这四个数不能构成等差数列; 3 5π 7π π 若 m=- 2 ,则 x3,x4 的值分别为 6 , 6 ,显然这四个数能构成等差数列,公差为3. 答案 D

6.在正项数列{an}中,a1=2,an+1=2an+3×5n,则数列{an}的通项公式为________. 解析 an+1 2 an 3 在递推公式 an+1=2an+3×5n 的两边同时除以 5n+1,得 n+1=5×5n+5,① 5

an 2 3 2 令5n=bn,则①式变为 bn+1=5bn+5,即 bn+1-1=5(bn-1),所以数列{bn-1}是等比数列,其首项为 a1 3 2 3 ?2? an ? 3? ?2? b1-1= -1=- ,公比为 .所以 bn-1=?-5?×?5?n-1,即 bn=1- ×?5?n-1= n,故 an=5n-3×2n 5 5 5 5 ? ? 5 ? ? ? ?
-1

. an=5n-3×2n-1

答案

7.(2013· 陕西卷)观察下列等式 12=1 12-22=-3 12-22+32=6

12-22+32-42=-10 ?? 照此规律,第 n 个等式可为________. 解析 答案 左边为平方项的(-1)n+1 倍的和,右边为(1+2+3+?+n)的(-1)n+1 倍. n?n+1? 12-22+32-42+?+(-1)n+1n2=(-1)n+1· 2
n

S2n 8. (2013· 临沂模拟)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和, 若 S (n∈N*)是非零常数, 则称该数列为“和等比数列”; 若数列{cn}是首项为 2,公差为 d(d≠0)的等差数列,且数列{cn}是“和等比数列”,则 d=________. 解析 由题意可知,数列{cn}的前 n 项和为 Sn= n?c1+cn? 2n?c1+c2n? S2n ,前 2 n 项和为 S ,所以 2n= 2 2 Sn =

2n?c1+c2n? 2 2nd 2 S2n =2+ =2+ .因为数列{cn}是“和等比数列”,即 S 为非零常数,所以 d n?c1+cn? 4+nd-d 4-d n 1+ nd 2 =4.答案 4
2 2 9.(2013· 江西卷)正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:S2 n-(n +n-1)Sn-(n +n)=0.

(1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 bn= (1)解 n+1 5 * 2 2,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,证明:对于任意的 n∈N ,都有 Tn< . 64 ?n+2? an

2 由 Sn -(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0,得[Sn-(n2+n)](Sn+1)=0,由于{an}是正项数列,所以 Sn

+1>0.所以 Sn=n2+n.n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n,n=1 时,a1=S1=2 适合上式.∴an=2n. (2)证明 由 an=2n,得

1 ? n+1 n+1 1 ?1 bn= 2 2= 2 2= ?n2- ?n+2?2? ?n+2? an 4n ?n+2? 16? ? 1? ?1 1? ?1 1? 1 ?? Tn=16??1-32?+?22-42?+?32-52?+? ?? ? ? ? ? ? 1 ? ?1 1 ?? ? 1 +??n-1?2-?n+1?2?+?n2-?n+2?2?? ? ? ? ??

1 1 1 ? 1? 1? 5 1? =16?1+22-?n+1?2-?n+2?2?<16?1+22?=64. ? ? ? ? 10.已知函数 f(x)=(x-1)2,g(x)=4(x-1),数列{an}是各项均不为 0 的等差数列,其前 n 项和为 Sn,点 (an+1,S2n-1)在函数 f(x)的图象上;数列{bn}满足 b1=2,bn≠1,且(bn-bn+1)· g(bn)=f(bn)(n∈N+). (1)求 an 并证明数列{bn-1}是等比数列; (2)若数列{cn}满足 cn= (1)解 4
n-1

an ,证明:c1+c2+c3+?+cn<3. · ?bn-1?

因为点(an+1,S2n-1)在函数 f(x)的图象上,所以 a2 n=S2n-1.

2 2 ?a1=S1, ?a1=a1, 令 n=1,n=2,得? 2 即? 解得 a1=1,d=2(d=-1 舍去),则 an=2n- 2 ?a2=S3, ??a1+d? =3a1+3d,

1. 由(bn-bn+1)· g(bn)=f(bn), 得 4(bn-bn+1)(bn-1)=(bn-1)2. 由题意 bn≠1,所以 4(bn-bn+1)=bn-1, 即 3(bn-1)=4(bn+1-1),所以 bn+1-1 3 = . bn-1 4

3 所以数列{bn-1}是以 1 为首项,公比为4的等比数列. (2)证明 ?3? 由(1),得 bn-1=?4?n-1. ? ?

2n-1 2n-1 an cn= n-1 = = . 4 · ?bn-1? n-1 ?3?n-1 3n-1 ?4? 4 · ? ? 令 Tn=c1+c2+c3+?+cn, 2n-3 2n-1 1 3 5 则 Tn=30+31+32+?+ n-2 + n-1 , 3 3 2n-3 2n-1 1 1 3 5 T n= 1+ 2+ 2+?+ n-1 + 3 3 3 3 3n , 3 ① ②

1 1- n-1 3 2n-1 2n-1 2n-1 2 1 2 2 2 2 2 1 ①-②得,3Tn = 30 + 31+ 32 + 33+?+ n-1 - 3n = 1 + 3 · - 3n = 2 - n-1 - 3n = 2 - 1 3 3 1-3 2?n+1? n+1 . 所以 T n n=3- n-1 . 3 3 n+1 所以 c1+c2+c3+?+cn=3- n-1 <3. 3 3 11.(2013· 天津卷)已知首项为2的等比数列{an}不是递减数列,其前 n 项和为 Sn(n∈N*),且 S3+a3,S5 +a5,S4+a4 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)设 Tn=Sn-S (n∈N*),求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.
n

(1)解

设等比数列{an}的公比为 q,因为 S3+a3,S5+a5,S4+a4 成等差数列,所以 S5+a5-S3-a3
3

a5 1 =S4+a4-S5-a5,即 4a5=a3,于是 q2=a =4.

3 1 又{an}不是递减数列且 a1=2,所以 q=-2. 故等比数列{an}的通项公式为 3 ? 1? 3 an=2×?-2?n-1=(-1)n-1· 2n. ? ? 1 1 + ? 2n,n为奇数, ? 1?n ? (2)由(1)得 Sn=1-?-2? =? ? ? 1 1 - ? ? 2n,n为偶数. 3 1 1 3 2 5 当 n 为奇数时,Sn 随 n 的增大而减小,所以 1<Sn≤S1=2,故 0<Sn-S ≤S1-S =2-3=6.
n 1

3 1 1 3 4 7 当 n 为偶数时,Sn 随 n 的增大而增大,所以4=S2≤Sn<1,故 0>Sn-S ≥S2-S =4-3=-12.
n 2

7 1 5 综上,对于 n∈N*,总有-12≤Sn-S ≤6.
n

5 所以数列{Tn}最大项的值为6, 7 最小项的值为-12.


更多相关文章:

非常超级学习网 fccjxxw.com

copyright ©right 2010-2021。
非常超级学习网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图