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河南省郑州外国语学校2012届高三下学期综合测试验收5(数学文)

河南省郑州外国语学校 2011-2012 学年度 下学期高三综合测试验收试题(5) 数学文

第Ⅰ卷为选择题,共 60 分;第Ⅱ卷为非选择题共 90 分。满分 100 分,考试时间为 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一个选项是 符合题目要求的、
1.设集合 A ? {2011,2012},则满足 A ? B ? {2011,2012,2013}的集合 B 的个数为

()

A.1

B.3

C.4

2.已知 m ? 1 ? ni ,其中 m, n 是实数, i 是虚数单位,则 m ? ni ? 1? i

()

A.1? 2i

B.1 ? 2i

C. 2 ? i

D.8
D. 2 ? i

3. 对于函数 f (x) ? a cos x ? bx2 ? c, 其中a,b, c ? R ,适当地选取 a,b, c 的一组值计算

f (1)和f (?1) ,所得出的正确结果只.可.能.是

A.4 和 6

() B.3 和-3

C.2 和 4

D.1 和 1

4 . ?ABC 的 三 内 角 A, B,C 所 对 边 的 长 分 别 为 a,b, c 设 向 量

p ? (a ? c,b) , q ? (b ? a, c ? a) ,若 p // q ,则角 C 的大小为

()

A. ? 6

B. ? 3

C. ? 2

D. 2? 3

5.如右下图是向阳中学筹备 2011 年元旦晚会举办的选拔主持人大赛上,

七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一

个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( )

A.84,4.84

B.84,1.6

C.85,1.6

D.85,8

6.下列命题中,正确的是

()

A.直线 l ? 平面? ,平面 ? //直线 l ,则? ? ?

B.平面? ? ? ,直线 m ? ? ,则 m //?

C.直线 l 是平面?

的一条斜线,且 l

?

?

,则 ?

与?

必不垂直 [

D.一个平面内的两条直线与另一个平面内的两条直线分别平行,则这两个平面平行

7. 如图,平面上有一长 12 cm ,宽 10 cm 的矩形 ABCD 内有一半径为 1 cm 的圆 O (圆心 O 在矩形对角线的交点处)。把一枚半径1cm 的 硬币任意掷在矩形内(硬币圆心落在矩形内),则硬币不与圆 O 相
碰的概率为( )

3 A. 4

33 B. 44

33 C. 40

111 D. 120

8. 下列四种说法中,错.误.的个数是 ()

①.命题“ ?x ? R,均有x2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R,使得x2 ? 3x ? 2 ? 0 ”

②.“命题 p ? q 为真”是“命题 p ? q 为真”的必要不充分条件;

③.“若 am2 ? bm2 ,则a ? b ”的逆命题为真;

④. A ? ?0,1?的子集有 3 个

A. 0 个

B.1 个

9. 函数 y=ln|2x1-3|的大致图象为

()

学 7 优 5 高 0 考 g 网 kGkStK]

C.2 个

D.3

个 ]

10.已知函教 f (x) ? Asin(?x ??)(A ? 0,? ? 0) 的图象与直线 y ? b?0 ? b ? A?的三个相

邻交点的横坐标分别是 2, 4,8 ,则 f (x) 的单调递增区间是

()
A.?6k? ,6k? ? 3?, k ? Z

B. ?6k ? 3,6k?, k ? Z

C. ?6k,6k ? 3?, k ? Z

D. ?6k? ?3, 6k? ?, k ?Z

?x ? 2y ? 5≥0

11. 设 m 为实数,若{(x,y) |??3 ? x ≥ 0

,x、y ? R} ? {(x,y) | x2 ? y2 ≤ 25} ,则 m 的

??mx ? y ≥ 0

最大值是

3 A. 4

()
4 B. 3

3 C. 2

2 D. 3

12.

过双曲线 x2 a2

?

y2 b2

? 1( a

? 0,b ? 0 )的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交双曲线于点 P ,F2

为右焦点,若 ?F1PF2 ? 45 ,则双曲线的离心率为
()

A.1 ?

2 2

B. 2 ?1

C. 2

D.2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上。 13.已知两圆 (x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? r2 和 (x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? R2 相交于 P,Q 两点.若 P 点的坐标

为(1,2),则 Q 点的坐标为



14.已知某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的结果为



15. 已知某实心几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积为



16. 已知整数对的序列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),

(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4), ,

则第 80 个数对是



三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本题满分 12 分)如图,某观测站 C 在城 A 的南偏西 20?的方向,从城 A 出发有一

条走向为南偏东 40?的公路,在 C 处观测到距离 C 处 31km 的公路上的 B 处有一辆汽

车正沿公路向 A 城驶去,行驶了 20km 后到达 D 处,测得 C,D 两处的距离为 21km,

这时此车距离 A 城多少千米?

GkStK
18.(本题满分 12 分)已知等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ,且 a6 ? ?5, S4 ? ?62. (1)求{an} 通项公式; (2)求数列{| an |} 的前 n 项和Tn.
19.(本题满分 12 分)
如 图 所 示 , 直 棱 柱 ABCD ? A1B1C1D1 中 , 底 面 ABCD 是 直 角 梯 形 , ?BAD ? ?ADC ? 90?, AB ? 2AD ? 2CD ? 2 . (1)求证: AC ?平面 BB1C1C ; (2)在 A1B1 上是否存一点 P ,使得 DP 与平面 ACB1 平行?证明你的结论.
学 7 优 5 高 0 考 g 网 kGkStK]
20.(本小题满分 12 分) 某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 3 元,并且每
件产品需向总公司交 m 元( 3 ? m ? 5 )的管理费,预计当每件产品的售价为 x 元

( 9 ? x ?11)时,一年的销售量为 (12 ? x)2 万件.

高[考∴试﹤题∴库

GkStK]
(1)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x (元)的函数关系式;
(2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大?并求出 L 的最大值
Q(m).

21.(本小题满分

12

分)设椭圆 C

:

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ?

1 ,右焦点到直 2

线 x ? y ? 1的距离 d ? 21 , O 为坐标原点。

ab

7

(I)求椭圆 C 的方程;

(II)过点 O 作两条互相垂直的射线,与椭圆 C 分别交于 A, B 两点,证明点 O 到直线

AB 的距离为定值,并求弦 AB 长度的最小值.

22.(本小题满分 14 分)设函数 f (x) ? (2 ? a) ln x ? 1 ? 2ax. x
(1)当 a ? 0 时,求 f (x) 的极值; (2)设 g(x) ? f (x) ? 1 ,在[1,??) 上单调递增,求 a 的取值范围;
x (3)当 a ? 0 时,求 f (x) 的单调区间.

参考答案

一、选择题

1、C;2、C;3、D;4、B;5、C;6、A;7、C;8、D;9、A;10、C;11、B;12、B。

二、填空题

GkStK

13、?-2,-1? ;14、0.6;15、 96 ? 8?cm2 ;16、(2,12)。

三、解答题

17.解:在 ?BCD中, BC ? 31, BD ? 20,CD ? 21,由余弦定理

cos?BDC ? DB 2 ? DC 2 ? BC 2 ? 20 2 ? 212 ? 312 ? ? 1 ,…………………3 分

2DB ? DC

2? 20 ? 21

7

所以 cos?ADC ? 1 ,sin ?ADC ? 4 3 ,…………………………………………5 分

7

7

在 ?ACD中,由条件知 CD ? 21, A ? 60? ,

所以 sin ?ACD ? sin(60? ? ?ADC ) ? 3 ? 1 ? 1 ? 4 3 ? 5 3 ………………8 分 2 7 2 7 14

由正弦定理

AD ? CD sin ?ACD sin A

所以 AD ? 21 ? 5 3 ? 15 3 14 2

………………………………………………………11 分

故这时此车距离 A 城 15 千米……………………………………………………12 分

18.解:(1)设等差数列{an} 的公差为 d ,则由条件得

???4a1a1??5d6d????562 , ………………………………………………………………3 分

解得

???da1

? ?20 ?3



………………………………………………………………5 分

所以{an} 通项公式 an ? ?20 ? 3(n ?1) ,则 an ? 3n ? 23 ………………………6 分 (2)令 3n ? 23 ? 0 ,则 n ? 23 ,
3 所以,当 n ? 7 时, an ? 0 ,当 n ? 8 时, an ? 0 . ………………………………8 分

所以,当 n ? 7 时,

Tn

?

b1

? b2

??? bn

?

(?a1

?

a2

??? an )

?

?[?20n ?

n(n

?1) ? 3] 2

?

?

3 2

n2

?

63 n 2

Tn ? b1 ? b2 ??? bn ? ?(a1 ? a2 ??? a7 ) ? a8 ??? an



n

?

8

时, ?

?2(a1

?

a2

???

a7 )

?

a1

?

a2

???

a7

?

a8

???

an

?

3 2

n2

?

63 n 2

?154

所以 Tn

?

???? ?? 3 ?? 2

3 n2 2 n2 ?

? 63 2
63 n 2

n, n ? 7 ?154 , n

?

………………………………………………12
8



19.(1)证明:直棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, BB1 ? 平面 ABCD ,? BB1 ? AC …2


又 ?BAD ? ?ADC ? 90?, AB ? 2AD ? 2CD ? 2

∴ AC ? 2, ?CAB ? 45?,? BC ? 2,? BC ? AC

…………………5 分

又 BB1 BC ? B ? AC ?平面 BB1C1C .

………………6 分

(2)存在点 P , P 为 A1B1 的中点可满足要求.

…………………7 分

证明:由

P



A1B1

的中点,有

PB1

//

AB

,且

PB1

?

1 2

AB

又∵

CD

//

AB, CD

?

1 2

AB,?CD

//

PB1

,且

CD

?

PB1



…………………8 分

∴ CDPB1 为平行四边形, ? DP // CB1

…………………10 分

又 CB1 ? 面 ACB1 , DP ? 面 ACB1,? DP // 面 ACB1

…………………12 分

20、解:(1)分公司一年的利润 L(万元)与售价 x 的函数关系式为:

L ? (x ? 3 ? m)(12 ? m)2 , x ?[9,11] ……………………………………4 分

(2) L?( X ) ? (12 ? x)2 ? 2(x ? 3 ? m) ? (12 ? x)(18 ? 2m ? 3x).

令 L? ? 0得 x ? 6 ? 2 m 或 x ?12(不合题意,舍去)…………………………6 分 3

∵ 3 ? m ? 5,∴ 8 ? 6 ? 2 m ? 28. 33

在 x ? 6 ? 2 m 两侧 L? 的值由正变负. 所以(1)当8 ? 6 ? 2 m ? 9 即 3 ? m ? 9 时,

3

3

2

Lmax ? L(9) ? (9 ? 3 ? m)(12 ? 9)2 ? 9(6 ? m). ………………………………9 分

(2)当 9 ? 6 ? 2 m ? 28 即 9 ? m ? 5 时, 3 32

Lm a x

?

L(6

?

2 3

m)

?

(6

?

2 3

m

?

3?

m)[12

?

(6

?

2 3

m)]2

?

4(3 ?

1 3

m)3



所以

Q(m)

?

???9(6 ? ???4(3

? ?

m),3 ? 1 m)3, 3

m? 9 2
9 ?m 2

, ?

5

…………………………………………11 分

答:若 3 ? m ? 9 ,则当每件售价为 9 元时,分公司一年的利润 L 最大,最大值 2

Q(m) ? 9(6 ? m)(万元);若 9 ? m ? 5 ,则当每件售价为 (6 ? 2 m) 元时,分公司一

2

3

年的利润 L 最大,最大值 Q(a) ? 4(3 ? 1 m)3(万元).………………………………… 3

12 分

21.解:(I)由 e ? 1 得 c ? 1 即a ? 2c,?b ? 3c. 2 a2

由右焦点到直线 x ? y ? 1的距离为 d ? 21 ,

ab

7

得: | bc ? ab | ? 21 , a2 ? b2 7

解得 a ? 2, b ? 3.

所以椭圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1. 43
网 k]
(II)设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ,

…………4 分

学7优5高0考g

高[考∴试﹤题∴库]

直 线 AB 的 方 程 为 y ? kx ? m, 与 椭 圆 x 2 ? y 2 ? 1 联 立 消 去 y 得 43

3x2 ? 4(k 2 x2 ? 2kmx ? m2 ) ?12 ? 0,

x1

?

x2

?

? 8km 3 ? 4k 2

, x1x2

?

4m2 ?12 . 3 ? 4k 2

?OA ? OB,? x1x2 ? y1 y2 ? 0, ? x1x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0.

即 (k 2 ? 1)x1x2 ? km(x1 ? x2 ) ? m2 ? 0,

?(k 2

?

1)

4m 2 3?

? 12 4k 2

?

8k 2m2 3 ? 4k 2

?

m

?

0,

整理得 7m2 ? 12(k 2 ? 1) 所以 O 到直线 AB 的距离

d ? | m | ? 12 ? 2 21 .

k2 ?1 7

7

…………8 分[

? OA ? OB,?OA 2 ? OB 2 ? AB 2 ? 2OA ? OB , 当且仅当 OA=OB 时取“=”号。

由 d ? AB ? OA ? OB得d ? AB ? OA ? OB ? AB 2 , 2

? AB ? 2d ? 4 21 , 7

即弦 AB 的长度的最小值是 4 21 . 7

…………12 分

22.解:(1)函数 f (x) 的定义域为 (0,??). ……………………………………1 分



a

?

0

时,

f

(x)

?

2 ln

x

?

1 x

,∴

f

?(x)

?

2 x

?

1 x2

2x ?1 ? x2 .

………………2 分

由 f ?(x) ? 0 得 x ? 1 . f (x), f ?(x) 随 x 变化如下表: 2

x

(0, 1 )

1

(1 ,??)

2

2

2



f (x)

高[考∴

试﹤题∴

0

+

库]

f ?(x)

减函数

极小值

增函数

GkStK

故,

f

( x)极小值

?

f

(1) ? 2 ? 2ln 2 ,没有极大值. 2

…………………………4 分

(2)由题意, g(x) ? (2 ? a)ln x ? 2ax,在[1,??) 上单调递增,

g?(x) ? 2 ? a ? 2a ? 0 在[1,??) 上恒成立 x
设 h(x) ? 2ax ? 2 ? a ? 0 在[1,??) 上恒成立, ………………………………5 分

当 a ? 0 时, 2 ? 0 恒成立,符合题意. ………………………………………6 分 当 a ? 0 时, h(x) 在 [1,??) 上单调递增, h(x) 的最小值为 h(1) ? 2a ? 2 ? a ? 0 ,得

a ? ?2 ,所以 a ? 0 ……………………………………………………………………7 分 当 a ? 0 时, h(x) 在[1,??) 上单调递减,不合题意

所以 a ? 0 …………………………………………………………………………9 分

(3)由题意,

f

?( x)

?

2ax2

?

(2 ? x2

a)x

?1



f

?(x)

?

0得

x1

?

?

1 a



x2

?

1. 2

………………………………………………10 分

若 a ? 0 ,由 f ?(x) ? 0 得 x ? (0, 1] ;由 f ?(x) ? 0 得 x ?[1 ,??). …………11 分

2

2

若 a ? 0 ,①当 a ? ?2 时, ? 1 ? 1 , x ? (0,? 1 ] 或 x ?[1 ,??) ,

a2

a

2

f ?(x) ? 0 ; x ?[? 1 , 1] , f ?(x) ? 0, a2

②当 a ? ?2 时, f ?(x) ? 0





?2?a?0





? 1 ? 1 , x ?(0,? 1]



a2

a

x ?[1 ,??) , f ?(x) ? 0 ; x ?[? 1 , 1] , f ?(x) ? 0.

2

a2

综上,当 a ? 0 时,函数的单调递减区间为 (0, 1 ],单调递增区间为[1 ,??) ;

2

2

当 a ? ?2 时,函数的单调递减区间为 (0,? 1 ],[1 ,??) ,单调递增区间为[? 1 , 1] ;

a2

a2

当 ? 2 ? a ? 0 时,函数的单调递减区间为 (0, 1],[? 1 ,??), 单调递增区间为[? 1 ,? 1 ]

2a

2a

……………………………………………………………………14 分


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