fccjxxw.com
非常超级学习网 学习超级帮手
当前位置:首页 >> 数学 >>

山东省临沂市临沭县2015-2016学年高二上学期期中数学试卷Word版含解析

2015-2016 学年山东省临沂市临沭县高二(上)期中数学试卷

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的。

1.设数列{an}的前 n 项和 Sn=n2,则 a8 的值为(

)

A.15 B.16 C.49 D.64

2.对于任意实数 a,b,c,d,命题: ①若 a>b,c≠0,则 ac>bc; ②若 a>b,则 ac2>bc2 ③若 ac2>bc2,则 a>b;

④若 a>b,则



⑤若 a>b>0,c>d,则 ac>bd.

其中真命题的个数是( )

A.1 B.2 C.3 D.4

3.若△ABC 的三个内角满足 sinA:sinB:sinC=5:11:13,则△ABC( ) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形

4.已知 x> ,则函数 y=4x+

取最小值为( )

A.﹣3 B.2 C.5 D.7

5.等差数列{an}中,已知前 15 项的和 S15=90,则 a8 等于(

)

A. B.12 C.6 D.

6.在△ABC 中,acosA=bcosB,则三角形的形状为( ) A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形

7.已知等比数列{an}的各项均为正数,公比 q≠1,记 P= 小关系是( ) A.P<Q B.P>Q C.P=Q D.无法确定

,Q=

,则 P 与 Q 的大

8.在△ABC 中,∠A=45°,a= ,b=4,满足条件的△ABC( ) A.不存在 B.有一个 C.有两个 D.有无数多个

9.已知实数 x,y 满足

如果目标函数 z=x﹣y 的最小值为﹣1,则实数 m 等于( )

A.7 B.5 C.4 D.3

10.已知等比数列{an}中,a2=1,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是(

)

A.(﹣∞,﹣1] B.(﹣∞,0)∪(1,+∞) C.∪

13.已知△ABC 的三边分别为 a、b、c,且 S△ABC=

,那么角 C=__________.

14.已知实数 x,y 满足

,则 的最小值等于__________.

15.已知正项等比数列{an}满足:a6=a5+2a4,若存在两项 am,an 使得 小值为__________.

=2a1,则 + 的最

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤。 16.设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=2bsinA (Ⅰ)求 B 的大小;

(Ⅱ)若

,c=5,求 b.

17.已知函数 f(x)=x2﹣2ax﹣1+a,a∈R.

(Ⅰ)若 a=2,试求函数 y=

(x>0)的最小值;

(Ⅱ)对于任意的 x∈,不等式 f(x)≤a 成立,试求 a 的取值范围.

18.设数列满足 a1=2,an+1﹣an=3?22n﹣1 (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

19.某批发站全年分批购入每台价值为 3000 元的电脑共 4000 台,每批都购入 x 台,且每批 均需付运费 360 元,储存电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值(不含运费)成正比, 若每批购入 400 台,则全年需用去运费和保管费共 43600 元,现在全年只有 24000 元资金可 以用于支付这笔费用,请问能否恰当安排进货数量使资金够用?写出你的结论,并说明理由.

20.(13 分)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 B=60°,cos(B+C)=﹣ . (Ⅰ)求 cosC 的值; (Ⅱ)若 a=5,求△ABC 的面积.

21.(14 分)(文)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1= 且 Sn=Sn﹣1+an﹣1+ ,数列{bn}满足 b1=﹣ 且 3bn﹣bn﹣1=n(n≥2 且 n∈N*).

(1)求{an}的通项公式; (2)求证:数列{bn﹣an}为等比数列; (3)求{bn}前 n 项和的最小值.

2015-2016 学年山东省临沂市临沭县高二(上)期中数学试卷

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的。

1.设数列{an}的前 n 项和 Sn=n2,则 a8 的值为(

)

A.15 B.16 C.49 D.64

【考点】数列递推式.

【专题】计算题.

【分析】直接根据 an=Sn﹣Sn﹣1(n≥2)即可得出结论.

【解答】解:a8=S8﹣S7=64﹣49=15,

故选 A.

【点评】本题考查数列的基本性质,解题时要注意公式的熟练掌握.

2.对于任意实数 a,b,c,d,命题: ①若 a>b,c≠0,则 ac>bc; ②若 a>b,则 ac2>bc2 ③若 ac2>bc2,则 a>b;

④若 a>b,则



⑤若 a>b>0,c>d,则 ac>bd.

其中真命题的个数是( )

A.1 B.2 C.3 D.4

【考点】不等式的基本性质.

【专题】阅读型.

【分析】根据题意,结合不等式的有关性质,依次分析 5 个命题的正误,即可得答案.

【解答】解:根据题意,依次分析 5 个命题,

①若 a>b,c<0,则 ac<bc,故错误;

②当 c=0 时,则 ac2=bc2,故错误;

③若 ac2>bc2,因为 c2>0,则 a>b;正确;
④当 a>0>b 时, >0> ,故错误; ⑤若 a>b>0,当 0>c>d 时,ac<bd. 则只有③正确; 故选 A. 【点评】本题考查不等式的性质,解题时,注意各个性质的限制条件.

3.若△ABC 的三个内角满足 sinA:sinB:sinC=5:11:13,则△ABC( ) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 【考点】余弦定理的应用;正弦定理的应用. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】先根据正弦定理及题设,推断 a:b:c=5:11:13,再通过余弦定理求得 cosC 的值 小于零,推断 C 为钝角.
【解答】解:∵根据正弦定理, 又 sinA:sinB:sinC=5:11:13 ∴a:b:c=5:11:13, 设 a=5t,b=11t,c=13t(t≠0) ∵c2=a2+b2﹣2abcosC

∴cosC=

=

=﹣ <0

∴角 C 为钝角.

故选 C

【点评】本题主要考查余弦定理的应用.注意与正弦定理的巧妙结合.

4.已知 x> ,则函数 y=4x+

取最小值为( )

A.﹣3 B.2 C.5 D.7 【考点】基本不等式. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出.
【解答】解:∵x> ,∴4x﹣5>0.

则函数 y=4x+

=4x﹣5+

+5

+5=7,当且仅当 x= 时取等号.

∴函数 y=4x+

取最小值为 7.

故选:D. 【点评】本题考查了基本不等式的性质,属于基础题.

5.等差数列{an}中,已知前 15 项的和 S15=90,则 a8 等于(

)

A. B.12 C.6 D. 【考点】等差数列的前 n 项和. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】由 a8 是等差数列前 15 项的中间项,则由 S15=15a8 结合已知得答案. 【解答】解:在等差数列{an}中, ∵S15=90, 由 S15=15a8=90,得 a8=6. 故选:C. 【点评】本题考查了等差数列的性质,考查了等差数列的前 n 项和,是基础题.

6.在△ABC 中,acosA=bcosB,则三角形的形状为( ) A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形 【考点】三角形的形状判断. 【专题】计算题;解三角形.

【分析】根据正弦定理将题中等式化简,得 sinAcosA=sinBcosB,利用二倍角的正弦公式化简
得 sin2A=sin2B.再由三角函数的诱导公式加以计算,可得 A=B 或 A+B= ,从而得到答案. 【解答】解:∵acosA=bcosB, ∴根据正弦定理,得 sinAcosA=sinBcosB,即 sin2A=sin2B. ∵A∈(0,π ),
∴2A=2B 或 2A+2B=π ,得 A=B 或 A+B= , 因此△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 故选:B 【点评】本题给出三角形中的边角关系,判断三角形的形状,着重考查了正弦定理、三角函 数的诱导公式和三角形的分类等知识,属于中档题.

7.已知等比数列{an}的各项均为正数,公比 q≠1,记 P=

,Q=

小关系是( )

A.P<Q B.P>Q C.P=Q D.无法确定

【考点】基本不等式.

【专题】转化思想;等差数列与等比数列;不等式的解法及应用.

,则 P 与 Q 的大

【分析】由等比数列的性质和基本不等式可得 P=



=

=Q,由等号不成

立可得结论.

【解答】解:∵等比数列{an}的各项均为正数, ∴a2a10=a5a7,

由基本不等式可得 P=



=

=Q,

∵公比 q≠1,∴a2≠a10,故上式取不到等号, 故 P>Q

故选:B

【点评】本题考查基本不等式,涉及等比数列的性质,属基础题.

8.在△ABC 中,∠A=45°,a= ,b=4,满足条件的△ABC( ) A.不存在 B.有一个 C.有两个 D.有无数多个 【考点】解三角形. 【专题】数形结合;数形结合法;解三角形. 【分析】由题意比较 bsinA 和 a 的大小可得.
【解答】解:由题意可得 bsinA=4×sin45°=4× =2 , 比较可得 a= <2 , ∴三角形无解. 故选:A. 【点评】本题考查三角形解得个数的判断,属基础题.

9.已知实数 x,y 满足

如果目标函数 z=x﹣y 的最小值为﹣1,则实数 m 等于( )

A.7 B.5 C.4 D.3

【考点】简单线性规划.

【专题】不等式的解法及应用.

【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数 z=x﹣y 的最小值是﹣1,确定 m 的取

值.

【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:

由目标函数 z=x﹣y 的最小值是﹣1,

得 y=x﹣z,即当 z=﹣1 时,函数为 y=x+1,此时对应的平面区域在直线 y=x+1 的下方,



,解得

,即 A(2,3),

同时 A 也在直线 x+y=m 上,即 m=2+3=5,

故选:B

【点评】本题主要考查线性规划的应用,根据条件求出 m 的值是解决本题的关键,利用数形 结合是解决此类问题的基本方法.

10.已知等比数列{an}中,a2=1,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是(

)

A.(﹣∞,﹣1] B.(﹣∞,0)∪(1,+∞) C.∪∪,不等式 f(x)≤a 成立,试求 a

的取值范围.

【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.

【专题】函数的性质及应用.

【分析】(Ⅰ)由 y=

=

=x ﹣4.利用基本不等式即可求得函数的最小值;

(Ⅱ)由题意可得不等式 f(x)≤a 成立”只要“x2﹣2ax﹣1≤0 在恒成立”.不妨设 g(x)

=x2﹣2ax﹣1,则只要 g(x)≤0 在恒成立.结合二次函数的图象列出不等式解得即可.

【解答】解:(Ⅰ)依题意得 y=

=

=x ﹣4.

因为 x>0,所以 x 所以 y≥﹣2.

,当且仅当 x= 时,即 x=1 时,等号成立.

所以当 x=1 时,y=

的最小值为﹣2.…

(Ⅱ)因为 f(x)﹣a=x2﹣2ax﹣1,所以要使得“? x∈, 不等式 f(x)≤a 成立”只要“x2﹣2ax﹣1≤0 在恒成立”. 不妨设 g(x)=x2﹣2ax﹣1,则只要 g(x)≤0 在恒成立. 因为 g(x)=x2﹣2ax﹣1=(x﹣a)2﹣1﹣a2,

所以



,解得 a≥ .

所以 a 的取值范围是

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)令 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

【考点】数列递推式;数列的求和.

【专题】计算题.

【分析】(Ⅰ)由题意得 an+1=+a1=3(22n﹣1+22n﹣3+…+2)+2=22(n+1)﹣1.由此可知数列{an}的通项 公式为 an=22n﹣1. (Ⅱ)由 bn=nan=n?22n﹣1 知 Sn=1?2+2?23+3?25++n?22n﹣1,由此入手可知答案.

【解答】解:(Ⅰ)由已知,当 n≥1 时,an+1=+a1

=3(22n﹣1+22n﹣3+…+2)+2=3×

+2=22(n+1)﹣1.

而 a1=2, 所以数列{an}的通项公式为 an=22n﹣1. (Ⅱ)由 bn=nan=n?22n﹣1 知 Sn=1?2+2?23+3?25+…+n?22n﹣1① 从而 22Sn=1?23+2?25+…+n?22n+1② ①﹣②得(1﹣22)?Sn=2+23+25+…+22n﹣1﹣n?22n+1.





【点评】本题主要考查数列累加法(叠加法)求数列通项、错位相减法求数列和等知识以及

相应运算能力.

19.某批发站全年分批购入每台价值为 3000 元的电脑共 4000 台,每批都购入 x 台,且每批 均需付运费 360 元,储存电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值(不含运费)成正比, 若每批购入 400 台,则全年需用去运费和保管费共 43600 元,现在全年只有 24000 元资金可 以用于支付这笔费用,请问能否恰当安排进货数量使资金够用?写出你的结论,并说明理由. 【考点】函数模型的选择与应用. 【专题】证明题;函数思想;综合法;函数的性质及应用;不等式的解法及应用.

【分析】根据条件建立运费和保管费的总费用 y 关于每批购入台数 x 的函数解析式,然后利 用基本不等式进行解答. 【解答】解:设全年需用去的运费和保管费的总费用为 y 元,

题中的比例系数设为 k,每批购入 x 台,则共需分 每批价值 3000x 元.

批,

由题意知 y= ×360+3000kx, 当 x=400 时,y=43600,

解得 k= ,

∴y= ×360+100x≥2

=24000(元)

当且仅当 ×360=100x,即 x=120 时等号成立. 此时 x=120 台,全年共需要资金 24000 元. 故只需每批购入 120 台,可以使资金够用. 【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用,属于基础题.解决实际问题通常有四个步 骤:(1)阅读理解,认真审题;(2)引进数学符号,建立数学模型;(3)利用数学的方法, 得到数学结果;(4)转译成具体问题作出解答,其中关键是建立数学模型.

20.(13 分)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 B=60°,cos(B+C)=﹣ . (Ⅰ)求 cosC 的值; (Ⅱ)若 a=5,求△ABC 的面积. 【考点】正弦定理;两角和与差的余弦函数. 【专题】计算题. 【分析】(Ⅰ)由 B 和 C 为三角形的内角,得到 sin(B+C)大于 0,由 cos(B+C)的值,利用 同角三角函数间的基本关系求出 sin(B+C)的值,然后将 C 变形为(B+C)﹣B,利用两角和 与差的余弦函数公式化简 cos 后,根据 B 的度数,利用特殊角的三角函数值求出 sinB 和 cosB 的值,将各自的值代入求出 cos 的值,即为 cosC 的值; (Ⅱ)由 C 为三角形的内角及第一问求出的 cosC 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinC 的值,再由三角形的内角和定理及诱导公式得到 sinA=sin(B+C),由 sin(B+C)的值得

到 sinA 的值,由 sinC,sinA 及 a 的值,利用正弦定理求出 c 的值,进而由 a,c 及 sinB 的 值,利用三角形的面积公式即可求出三角形 ABC 的面积. 【解答】(本小题满分 12 分)
解:(Ⅰ)在△ABC 中,由 cos(B+C)=﹣ ,

得 sin(B+C)=

=

又 B=60°,

∴cosC=cos

=cos(B+C)cosB+sin(B+C)sinB

=,

=﹣ × + × = ;… (Ⅱ)∵cosC= ,C 为三角形的内角,sin(B+C)= ,

∴sinC=

=

= ,sinA=sin(B+C)= .

在△ABC 中,由正弦定理 = 得: = ,
∴c=8,又 a=5,sinB= ,
则△ABC 的面积为 S= acsinB= ×5×8× =10 .… 【点评】此题考查了正弦定理,三角形的面积公式,两角和与差的余弦函数公式,同角三角 函数间的基本关系,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.

21.(14 分)(文)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1= 且 Sn=Sn﹣1+an﹣1+ ,数列{bn}满足 b1=﹣
且 3bn﹣bn﹣1=n(n≥2 且 n∈N*). (1)求{an}的通项公式; (2)求证:数列{bn﹣an}为等比数列; (3)求{bn}前 n 项和的最小值. 【考点】数列递推式;数列的函数特性;等差数列的通项公式;等比关系的确定. 【专题】计算题;综合题.

【分析】(1)利用 Sn﹣Sn﹣1=an,直接求出{an}的通项公式; (2)直接求出数列 bn﹣an 表达式,利用等比数列的定义证明数列{bn﹣an}为等比数列; (3)利用(2)求出数列的前几项,即可判断数列的符号,然后求{bn}前 n 项和的最小值.
【解答】解:(1)由 Sn=Sn﹣1+an﹣1+ ,得 Sn﹣Sn﹣1=an﹣1+ ,2an=2a n﹣1+1,an﹣a + n﹣1 …2 分 ∴an=a1+(n﹣1)d= n﹣ (2)证明:∵3bn﹣bn﹣1=n,∴bn= bn﹣1+ n, ∴bn﹣an= bn﹣1+ n﹣ n+ = bn﹣1﹣ n+ = (bn﹣1﹣ n+ ); bn﹣1﹣an﹣1=bn﹣1﹣ (n﹣1)+ =bn﹣1﹣ n+ ;

∴由上面两式得

,又 b1﹣a1=﹣ ﹣ =﹣30

∴数列{bn﹣an}是以﹣30 为首项, 为公比的等比数列.

(3)由(2)得 bn﹣an=﹣30×





=



bn﹣bn﹣1=

=

=

>0,∴{bn}是递增数列

当 n=1 时,b1=﹣ <0;当 n=2 时,b2=

<0;

当 n=3 时,b3=

<0;当 n=4 时,b4=

>0,

所以,从第 4 项起的各项均大于 0,故前 3 项之和最小.

且 S3=



【点评】本题是中档题,考查数列的递推关系式的应用,考查逻辑推理能力,计算能力,转

化思想的应用.


更多相关文章:

非常超级学习网 fccjxxw.com

copyright ©right 2010-2021。
非常超级学习网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图