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三角函数(高考真题+模拟新题)带答案 (1)

三角函数(高考真题+模拟新题)

[2011· 江西卷] 已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若 P(4, 2 5 y)是角 θ 终边上一点,且 sinθ=- 5 ,则 y=________. [2011· 课标全国卷] 已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合, 4 3 3 4 终边在直线 y=2x 上,则 cos2θ=( )A.-5 B.-5 C.5 D.5 B【解析】 解法 1:在角 θ 终边上任取一点 P(a,2a)(a≠0),则 r2=|OP|2=a2+ (2a)2=5a2, a2 1 2 3 2 ∴cos θ=5a2=5,∴cos2θ=2cos2θ-1=5-1=-5. cos2θ-sin2θ 1-tan2θ 2a 3 解法 2:tanθ= a =2,cos2θ= 2 2 = 2 =- . 5 cos θ+sin θ 1+tan θ 3π? ? [2011· 全国卷] 已知 α∈?π, 2 ?,tanα=2,则 cosα=________. ? ? 1 【解析】 ∵tanα=2,∴sinα=2cosα,代入 sin2α+cos2α=1 得 cos2α=5,又 3π? 5 ? α∈?π, 2 ?,∴cosα=- 5 . ? ? ? π? [2011· 北京卷] 已知函数 f(x)=4cosxsin?x+6?-1. ? ? (1)求 f(x)的最小正周期; ? π π? (2)求 f(x)在区间?-6,4?上的最大值和最小值. ? ? ? π? 【解答】 (1)因为 f(x)=4cosxsin?x+6?-1 ? ? ? 3 ? 1 = 4cosx ? sinx+ cosx? - 1 = 3 sin2x + 2cos2x - 1 = 3 sin2x + cos2x = 2 2 ? ? π? ? 2sin?2x+6?. ? ? 所以 f(x)的最小正周期为 π. π π π π 2π π π π (2)因为-6≤x≤4,所以-6≤2x+6≤ 3 .于是,当 2x+6=2,即 x=6时,f(x)取得 π π π 最大值 2;当 2x+6=-6,即 x=-6时,f(x)取得最小值-1. sin2α [2011· 福建卷] 若 tanα=3,则cos2α的值等于( ) A.2 B.3 C.4 D.6 sin2α 2sinαcosα 2sinα D【解析】 因为 cos2α= cos2α = cosα =2tanα=6,故选 D. π? ? [2011· 课标全国卷] 设函数 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)?ω>0,|φ|<2?的最 ? ? 小正周期为 π,且 f(-x)=f(x),则( )
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π? π? ? ?π 3π? ? A.f(x)在?0,2?单调递减 B.f(x)在?4, 4 ?单调递减 C.f(x)在?0,2?单调递增 ? ? ? ? ? ? π 3π? ? D.f(x)在?4, 4 ?单调递增 ? ? π? ? A【解析】 原式可化简为 f(x)= 2sin?ωx+φ+4?,因为 f(x)的最小正周期 T= ? ? 2π ω =π, π? ? 所以 ω=2.所以 f(x)= 2sin?2x+φ+4?,又因为 f(-x)=f(x),所以函数 f(x)为 ? ? 偶函数, π? π π ? 所以 f(x)= 2sin?2x+φ+4?=± 2cos2x,所以 φ+4=2+kπ,k∈Z,所以 φ= ? ? π? π π π ? +kπ, k∈Z, 又因为|φ|<2, 所以 φ=4.所以 f(x)= 2sin?2x+2?= 2cos2x, 所以 f(x) 4 ? ? π? ? = 2cos2x 在区间?0,2?上单调递减. ? ? π? ? [2011· 辽宁卷] 已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)?ω>0,|φ|<2?,y=f(x)的部分图象 ? ? ?π ? 如图 1-7,则 f? ?=( ) ?24?

3 B. 3 C. 3 D.2- 3 π π π ?3π π? π ? B【解析】 由图象知ω=2× 8 -8?=2,ω=2.又由于 2× +φ=kπ+2(k∈Z), 8 ? ? π? π π π ? φ=kπ+4(k∈Z),又|φ|<2,所以 φ=4.这时 f(x)=Atan?2x+4?.又图象过(0,1),代入 ? ? π? π? π π? ? ? ? 得 A=1,故 f(x)=tan?2x+4?.所以 f?24?=tan?2× +4?= 3,故选 B. ? ? ? ? ? 24 ? π [2011· 全国卷] 设函数 f(x)=cosωx(ω>0),将 y=f(x)的图像向右平移3个单位长 度后,所得的图像与原图像重合,则 ω 的最小值等于( ) 1 A. B.3 C.6 D.9 3 π C【解析】 将 y=f(x)的图像向右平移3个单位长度后得到的图像与原图像重合, π 2π 则3= ω k,k∈Z,得 ω=6k,k∈Z,又 ω>0,则 ω 的最小值等于 6,故选 C. 13 [2011· 福建卷] 已知等比数列{an}的公比 q=3,前 3 项和 S3= 3 . π (1)求数列{an}的通项公式;(2)若函数 f(x)=Asin(2x+φ)(A>0,0<φ<π)在 x=6处 取得最大值,且最大值为 a3,求函数 f(x)的解析式. A.2+ 3
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3 13 a1?1-3 ? 13 1 1 - 【解答】 (1)由 q=3,S3= 3 得 = 3 ,解得 a1=3.所以 an=3× n 1=3n 3 1-3
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. (2)由(1)可知 an=3n-2,所以 a3=3. π 因为函数 f(x)的最大值为 3,所以 A=3;因为当 x=6时 f(x)取得最大值,所以

π? π ? π ? ? sin?2× +φ?=1.又 0<φ<π,故 φ=6. 所以函数 f(x)的解析式为 f(x)=3sin?2x+6?. ? 6 ? ? ? [2011· 湖北卷] 已知函数 f(x)= 3sinx-cosx,x∈R.若 f(x)≥1,则 x 的取值范围 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? π π 为( )A.?x?2kπ+3 ≤x≤2kπ+π,k∈Z?B.?x?kπ+3 ≤x≤kπ+π,k∈Z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? π π 5π 5π C.?x?2kπ+6 ≤x≤2kπ+ ,k∈Z?D.?x?kπ+6 ≤x≤kπ+ ,k∈Z? 6 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? π π A【解析】 因为 f(x)= 3sinx-cosx=2sinx-6,由 f(x)≥1,得 2sinx-6≥1,即 π 1 π π 5π π sinx-6≥2,所以6+2kπ≤x-6≤ 6 +2kπ,k∈Z,解得3+2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z. [2011· 湖南卷] 在△ ABC 中, A, C 所对的边分别为 a, c, 角 B, b, 且满足 csinA =acosC. π? ? (1)求角 C 的大小; (2)求 3sinA-cos?B+4?的最大值, 并求取得最大值时角 A, ? ? B 的大小. 【解答】 (1)由正弦定理得 sinCsinA=sinAcosC.因为 0<A<π,所以 sinA>0. π 从而 sinC=cosC.又 cosC≠0,所以 tanC=1,则 C=4. 3π (2)由(1)知,B= 4 -A,于是 π? π? ? ? 3sinA-cos?B+4?= 3sinA-cos(π-A)= 3sinA+cosA=2sin?A+6?. ? ? ? ? π? 3π π π 11π π π π ? 因为 0<A< 4 ,所以6<A+6< 12 .从而当 A+6=2,即 A=3时,2sin?A+6?取最 ? ? 大值 2. π? π 5π ? 综上所述, 3sinA-cos?B+4?的最大值为 2,此时 A=3,B=12. ? ? π? π? ? ? [2011· 课标全国卷] 设函数 f(x)=sin?2x+4?+cos?2x+4?,则( ? ? ? ? π? π ? A.y=f(x)在?0,2?单调递增,其图像关于直线 x=4对称 ? ? π? π ? B.y=f(x)在?0,2?单调递增,其图像关于直线 x=2对称 ? ? π? π ? C.y=f(x)在?0,2?单调递减,其图像关于直线 x=4对称 ? ? π? π ? D.y=f(x)在?0,2?单调递减,其图像关于直线 x=2对称 ? ? )

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π π? π? ? ? D【解析】 f(x)= 2sin?2x+4+4?= 2sin?2x+2?= 2cos2x,所以 y=f(x)在 ? ? ? ? π? π? ? ? ?0,2?内单调递减,又 f?2?= 2cosπ=- 2,是最小值.所以函数 y=f(x)的图像 ? ? ? ? π 关于直线 x=2对称. π? ? [2011· 山东卷] 若函数 f(x)=sinωx(ω>0)在区间 ?0,3? 上单调递增,在区间 ? ? 2 3 ?π π? ?3,2?上单调递减,则 ω=( )A. 3 B.2 C.2 D.3 ? ? π B 【解析】 本题考查三角函数的单调性.因为当 0≤ωx≤2时,函数 f(x)为增 π π π 函数, ≤ωx≤π 时, 当 函数 f(x)为减函数, 即当 0≤x≤ 时, 函数 f(x)为增函数, 当 2 2ω 2ω π π π 3 ≤x≤ω时,函数 f(x)为减函数,所以2ω=3,所以 ω=2. [2011· 江苏卷] 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 为常数,A>0,ω>0)的部分图 象如图 1-1 所示,则 f(0)的值是________.

图 1-1 ?7π π? 【解析】 由图象可得 A= 2,周期为 4×?12-3?=π,所以 ω=2,将 ? ? 7π 3 π π ?7π ? ?12,- 2?代入得 2× +φ=2kπ+ π,即 φ=2kπ+ ,所以 f(0)= 2sinφ= 2sin 12 2 3 3 ? ? 6 =2. [2011· 天津卷] 已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中 ω>0,-π<φ≤π.若 f(x) π 的最小正周期为 6π,且当 x=2时,f(x)取得最大值,则( ) A.f(x)在区间[-2π,0]上是增函数 B.f(x)在区间[-3π,-π]上是增函数 C.f(x)在区间[3π,5π]上是减函数 D.f(x)在区间[4π,6π]上是减函数 2π 1 1 π π A【解析】 ∵ ω =6π,∴ω=3.又∵3× +φ=2kπ+2,k∈Z 且-π<φ≤π, 2 π π 1 π ?1 π? ∴当 k=0 时,φ=3,f(x)=2sin?3x+3?,要使 f(x)递增,须有 2kπ-2≤3x+3≤2kπ+ ? ? π? π 5π π 5 π ? 5 , k∈Z, 解之得 6kπ- 2 ≤x≤6kπ+2, k∈Z, k=0 时, 2π≤x≤2, 当 - ∴f(x)在?-2π,2? 2 ? ? 上递增. 大纲理数 17. C5,C8[2011· 全国卷] △ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、 c.已知 A-C=90° ,a+c= 2b,求 C. 【解答】 由 a+c= 2b 及正弦定理可得 sinA+sinC= 2sinB.又由于 A-C=90° ,B=180° -(A+C),故 2 2 cosC+sinC= 2sin(A+C)= 2sin(90° +2C)= 2cos2C.故 2 cosC+ 2 sinC= 6 2
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cos2C,cos(45° -C)=cos2C.因为 0° <C<90° ,所以 2C=45° -C,C=15° . [2011· 课标全国卷] 在△ ABC 中,B=60° ,AC= 3,则 AB+2BC 的最大值为 ________. 课标理数 16.C5,C8[2011· 课标全国卷] 2 7 【解析】 因为 B=60° ,A+B+ C=180° ,所以 A+C=120° , 由正弦定理,有 AB BC AC 3 =2, sinC=sinA=sinB=sin60° 所以 AB=2sinC,BC=2sinA. 所以 AB+2BC=2sinC+4sinA=2sin(120° -A)+4sinA =2(sin120° cosA-cos120° sinA)+4sinA = 3cosA+5sinA 3 5 =2 7sin(A+φ),(其中 sinφ= ,cosφ= ) 2 7 2 7 所以 AB+2BC 的最大值为 2 7.

[2011· 江苏卷] 在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. π? ? (1)若 sin?A+6?=2cosA, 求 A 的值; ? ? 1 (2)若 cosA=3,b=3c,求 sinC 的值. 本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形,考查 π π 运算求解能力. 【解答】 (1)由题设知 sinAcos6+cosAsin6=2cosA.从而 sinA= 3 π cosA,所以 cosA≠0,tanA= 3,因为 0<A<π,所以 A=3. 1 (2)由 cosA=3,b=3c 及 a2=b2+c2-2bccosA,得 a2=b2-c2.故△ ABC 是直角 π 1 三角形,且 B=2,所以 sinC=cosA=3. π π π 1 π β 3 β [2011· 浙江卷] 若 0<α<2,-2<β<0,cos4+α=3,cos4-2= 3 ,则 cosα+2= ( ) 3 3 5 3 6 A. 3 B.- 3 C. 9 D.- 9 π 3 ?π ? 1 ?π ? 2 3 ?π β? C【解析】 ∵cos?4+α?=3,0<α<2,∴sin?4+α?= 3 .又∵cos?4-2?= 3 , ? ? ? ? ? ? π -2<β<0, β? 6 ?π β? ? ??π ? ?π β?? ?π ? ? π β? ∴sin?4-2?= 3 ,∴cos?α+2?=cos??4+α?-?4-2??=cos?4+α?cos?4-2?+ ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?π ? ? π β? 1 3 2 2 6 5 3 sin?4+α?sin?4-2?=3× 3 + 3 × 3 = 9 . ? ? ? ?

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5 ?π ? [2011· 全国卷] 已知 α∈?2,π?,sinα= 5 ,则 tan2α=________. ? ? 4 5 2 5 1 ?π ? -3 【解析】 ∵sinα= 5 ,α∈?2,π?,∴cosα=- 5 ,则 tanα=-2,tan2α ? ? 1? ? ? 2× -2? ? ? 2tanα 4 = =-3. 2 = 1-tan α ? 1? 1-?-2?2 ? ? π? 1 ? [2011· 福建卷] 若 α∈?0,2?,且 sin2α+cos2α=4,则 tanα 的值等于( ) ? ? 2 3 A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 D 【解析】 因为 sin2α+cos2α=sin2α+1-2sin2α=1-sin2α=cos2α,∴cos2α π? 1 3 1 3 sinα ? =4,sin2α=1-cos2α=4,∵α∈?0,2?,∴cosα=2,sinα= 2 ,tanα=cosα= 3, ? ? 故选 D. ?π ? 1 [2011· 辽宁卷] 设 sin?4+θ?=3,则 sin2θ=( ) ? ? 7 1 1 7 A.-9 B.-9 C.9 D.9 ?π ? ? ?π ?? ?π ? 1 A【解析】 sin2θ=-cos?2+2θ?=-?1-2sin2?4+θ??.由于 sin?4+θ?=3,代 ? ? ? ? ?? ? ? 7 入得 sin2θ=-9,故选 A.

?1 π? [2011· 广东卷] 已知函数 f(x)=2sin?3x-6?,x∈R. ? ? ?5π? (1)求 f? 4 ?的值; ? ? π? ? π? 10 6 ? (2)设 α,β∈?0,2?,f?3α+2?=13,f(3β+2π)=5,求 cos(α+β)的值. ? ? ? ? π? ?5π? ?1 5 [2011· 广东卷] 【解答】 (1)f? 4 ?=2sin?3× π-6? ? ? ? 4 ? π 10 π 1 π π =2sin4= 2.(2)∵13=f3α+2=2sin3× 3α+2-6=2sinα, π? π? 6 ?1 ? ?3 =f(3β+2π)=2sin?3× β+2π?-6?=2sin?β+2?=2cosβ, 5 ? ? ? ? π? 5 3 ? ?5? ∴sinα=13,cosβ=5,又∵α,β∈?0,2?,∴cosα= 1-sin2α= 1-?13?2= ? ? ? ? 12 13,

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sinβ= 1-cos2β= 5 4 16 13× =65. 5

3 12 ?3? 4 1-?5?2=5,故 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=5× - 13 ? ?

?1 π? [2011· 广东卷] 已知函数 f(x)=2sin?3x-6?,x∈R. ? ? π? ? π? 10 6 ? (1)求 f(0)的值;(2)设 α,β∈?0,2?,f?3α+2?=13,f(3β+2π)=5,求 sin(α+β) ? ? ? ? 的值. π ? π? 【解答】 (1)f(0)=2sin?-6?=-2sin6=-1. ? ? 10 π 1 π π (2)∵13=f3α+2=2sin3× 3α+2-6=2sinα, 6 1 π π 5 3 (3β+2π)-6=2sinβ+2=2cosβ,∴sinα=13,cosβ=5, 5=f(3β+2π)=2sin3× π? 12 ? ?5? 又 α , β∈ ?0,2? , ∴cosα = 1-sin2α = 1-?13?2 = 13 , sinβ = 1-cos2β = ? ? ? ? ?3? 4 1-?5?2=5, ? ? 5 3 12 4 63 故 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=13× +13× =65. 5 5 π? ? [2011· 天津卷] 已知函数 f(x)=tan?2x+4?. ? ? π? ? ?α? (1)求 f(x)的定义域与最小正周期;(2)设 α∈?0,4?,若 f?2?=2cos2α,求 α 的 ? ? ? ? 大小. π π π kπ [2011· 天津卷] 【解答】 (1)由 2x+4≠2+kπ,k∈Z,得 x≠8+ 2 ,k∈Z. ? ? ? ? kπ π ? π ?α? 所以 f(x)的定义域为?x∈R?x≠8 + 2 ,k∈Z?.f(x)的最小正周期为2.(2)由 f?2?= ? ? ? ? ? ? ? ? π? sin?a+4? sinα+cosα π? ? ? ? 2cos2α,得 tan?α+4?=2cos2α, =2(cos2α-sin2α),整理得 = π? ? ? cosα-sinα ? cos?α+4? ? ? π? ? 2(cosα+sinα)(cosα-sinα).因为 α∈?0,4?,所以 sinα+cosα≠0,因此(cosα-sinα)2 ? ? π? π? 1 1 π π ? ? = ,即 sin2α= .由 α∈?0,4?,得 2α∈?0,2?,所以 2α= ,即 α= . 2 2 6 12 ? ? ? ? [2011· 安徽卷] 在△ ABC 中, b, 分别为内角 A, C 所对的边长, a, c B, a= 3, b= 2,1+2cos(B+C)=0,求边 BC 上的高. [2011· 安徽卷] 本题考查两角和的正弦公式,同角三角函数的基本关系,利用 正弦定理或余弦定理解三角形,以及三角形的边与角之间的对应大小关系,考查 综合运算求解能力. 【解答】 由 1+2cos(B+C)=0 和 B+C=π-A,得 1-2cosA 1 3 bsinA 2 =0,cosA=2,sinA= 2 .再由正弦定理,得 sinB= a = 2 .由 b<a 知 B<A,所

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π 以 B 不是最大角,B<2,从而 2 2? 3 1? cosB= 1-sin2B= 2 .由上述结果知 sinC=sin(A+B)= 2 ? + ?.设边 BC 上的高 ? 2 2? 3+1 为 h,则有 h=bsinC= 2 . 课标理数 14.C8[2011· 安徽卷] 已知△ ABC 的一个内角为 120° ,并且三边长构成公 差为 4 的等差数列,则△ ABC 的面积为________. 15 3【解析】 不妨设∠A=120° ,c<b,则 a=b+4,c=b-4,于是 cos120° = b2+?b-4?2-?b+4?2 1 1 =-2,解得 b=10,所以 c=6.所以 S=2bcsin120° =15 3. 2b?b-4? π 课标理数 9.C8[2011· 北京卷] 在△ ABC 中, b=5, 若 ∠B=4, tanA=2, sinA 则 2 5 =________;a=________.【解析】 因为 tanA=2,所以 sinA= 5 ;再由正弦定 a b a 5 理有:sinA=sinB,即 = ,可得 a=2 10. 2 5 2 5 2 π 1 课标文数 9.C8[2011· 北京卷] 在△ ABC 中,若 b=5,∠B=4,sinA=3,则 a =________. 5 2 a b a 课标文数 9.C8[2011· 北京卷] 3 【解析】 由正弦定理有:sinA=sinB,即1 3 5 5 2 = ,得 a= 3 . 2 2

大纲文数 18.C8[2011· 全国卷] △ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, asinA+csinC- 2asinC=bsinB. (1)求 B;(2)若 A=75° ,b=2,求 a,c. 【解答】由正弦定理得 a2+c2- 2ac=b2.由余弦定理得 b2=a2+c2-2accosB. 2 故 cosB= 2 , 因此 B=45° .(2)sinA=sin(30° +45° )=sin30° cos45° +cos30° sin45° 2+ 6 2+ 6 sinA sinC sin60° = 4 .故 a=b× =1+ 3,c=b×sinB=2×sin45° 6. = sinB= 2 课标理数 14.C8

图 1-5 [2011· 福建卷] 如图 1-5,△ ABC 中,AB=AC=2,BC=2 3,点 D 在 BC 边 上,∠ADC=45° ,则 AD 的长度等于________. 2

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【解析】 在△ ABC 中,由余弦定理,有 AC2+BC2-AB2 ?2 3?2 3 cosC= = = 2 ,则∠ACB=30° . 2AC· BC 2× 2 3 2× 在△ ACD 中,由正弦定理,有 1 2× 2 AD AC AC· sin30° sinC=sin∠ADC,∴AD= sin45° = 2 = 2,即 AD 的长度等于 2. 2 课标文数 14.C8[2011· 福建卷] 若△ ABC 的面积为 3,BC=2,C=60° ,则边 AB 的长度等于________. 1 课标文数 14.C8[2011· 福建卷] 2 【解析】 方法一:由 S△ ABC=2AC· BCsinC, 得 1 2sin60° 3, = 解得 AC=2.由余弦定理, AB2=AC2+BC2-2AC· 得 BCcos60° 2AC· 1 =22+22-2× 2× =4,∴ AB=2,即边 AB 的长度等于 2. 2× 2 1 方法二:由 S△ AB C=2AC· BCsinC,得 1 2sin60° 3,解得 AC=2.∴AC=BC=2, 又∠ACB=60° = , 2AC· ∴△ABC 是等边三角形,AB=2,即边 AB 的长度等于 2. 课标文理数 16.C8[2011· 湖北卷] 设△ ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、 1 b、c,已知 a=1,b=2,cosC=4. (1)求△ ABC 的周长;(2)求 cos(A-C)的值. 1 课标理数 16.C8[2011· 湖北卷] 【解答 】 (1)∵c2=a2+b2-2abcosC=1+4-4× 4 =4, ∴c=2,∴△ABC 的周长为 a+b+c=1+2+2=5. 15 4 1?2 1 15 asinC ? (2)∵cosC=4, ∴sinC= 1-cos2C= 1-?4? = 4 , ∴sinA= c = 2 = ? ? 15 8 . ? 15?2 7 ?= . 1-? ? 8 ? 8 7 1 15 15 11 ∴cos(A-C)=cosAcosC+sinAsinC=8× + 8 × 4 =16. 4 ∵a<c,∴A<C,故 A 为锐角,∴cosA= 1-sin2A= 课标理数 17.C8[2011· 江西卷] 在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b, C c,已知 sinC+cosC=1-sin 2 .(1)求 sinC 的值;(2)若 a2+b2=4(a+b)-8,求边 c 的值.

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C 课标理数 17.C8[2011· 江西卷] 【解答】 (1)由已知得 sinC+sin 2 =1-cosC, C ? C? C ? 即 sin 2?2cos 2 +1?=2sin2 2 , ? C C C C C 1 由 sin 2 ≠0 得 2cos 2 +1=2sin 2 ,即 sin 2 -cos 2 =2, 3 两边平方得:sinC=4. C C 1 π C π π 3 7 (2)由 sin 2 -cos 2 =2>0 得4 < 2 <2, 2<C<π, 即 则由 sinC=4得 cosC=- 4 , 由 a2+b2=4(a+b)-8 得:(a-2)2+(b-2)2=0,则 a=2,b=2. 由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcosC=8+2 7,所以 c= 7+1. 课标理数 4.C8[2011· 辽宁卷] △ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b b,c,asinAsinB+bcos2A= 2a,则a=( ) A.2 3 B.2 2 C. 3 D. 2 a b 课标理数 4.C8[2011· 辽宁卷] D 【解析】 由正弦定理sinA=sinB得 asinB= bsinA,所以 asinAsinB+bcos2A= 2a 化为 bsin2A+bcos2A= 2a,即 b= 2a,故 选 D. 课标文数 17.C8[2011· 辽宁卷] △ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b b,c,asinAsinB+bcos2A= 2a.(1)求a;(2)若 c2=b2+ 3a2,求 B. 【解答】 (1)由正弦定理得,sin2AsinB+sinBcos2A= 2sinA,即 sinB(sin2A+ cos2A)= 2sinA. ?1+ 3?a b 故 sinB= 2sinA,所以a= 2.(2)由余弦定理和 c2=b2+ 3a2,得 cosB= 2c . 1 2 由(1)知 b2=2a2,故 c2=(2+ 3)a2.可得 cos2B=2,又 cosB>0,故 cosB= 2 ,所 以 B=45° . 课标文数 15.C8[2011· 课标全国卷] △ ABC 中,B=120° ,AC=7,AB=5,则 △ ABC 的面积为________. 15 3 AC AB 7 5 【解析】 解法 1:由正弦定理,有sinB=sinC,即sin120° sinC, = 4 5sin120° 5 3 所以 sinC= = 14 , 7 所以 cosC= 1-sin2C= +C=60° , 3 11 1 5 3 3 3 所以 si nA=sin(60° -C)=sin60° cosC-cos60° sinC= 2 × -2× 14 = 14 , 14 1 1 3 3 15 3 所以 S△ ABC=2AB· ACsinA=2× 7× 14 = 4 . 5× ?5 3?2 11 ? = ,又因为 A+B+C=180° 1-? ,所以 A ? 14 ? 14

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52+x2-72 2 解法 2:设 BC=x(x>0),由余弦定理,有 cos120° = 10x ,整理得 x +5x -24=0, 解得 x=3,或 x=-8(舍去),即 BC=3 1 1 1 3 15 3 所以 S△ ABC=2AB· BCsinB=2× 3× 5× sin120° 2× 3× 2 = 4 . = 5× 课标文数 17.C8[2011· 山东卷] 在△ ABC 中, 内角 A, C 的对边分别为 a, B, b, cosA-2cosC 2c-a sinC 1 c.已知 = b .(1)求sinA 的值;(2)若 cosB=4,△ ABC 的周长为 5,求 cosB b 的长. 2c-a 2ksinC-ksinA a b c 【解答】 (1)由正弦定理,设sinA=sinB=sinC=k.则 b = = ksinB 2sinC-sinA . sinB cosA-2cosC 2sinC-sinA 所以原等式可化为 = .即(cosA-2cosC)sinB=(2sinC- cosB sinB sinA)cosB, 化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C), 又因为 A+B+C=π, 所以原等式可化为 sinC =2sinA, sinC sinC 1 因此sinA=2.(2)由正弦定理及sinA=2 得 c=2a,由余弦定理及 cosB=4得 1 b2=a2+c2-2accosB=a2+4a2-4a2× =4a2.所以 b=2a.又 a+b+c=5.从而 a 4 =1, 因此 b=2. 课标理数 18.C8[2011· 浙江卷] 在△ ABC 中, A, C 所对的边分别为 a, 角 B, b, c. 1 5 已知 sinA+sinC=psinB(p∈R), ac=4b2.(1)当 p=4, 且 b=1 时, a, 的值; 求 c (2)若角 B 为锐角,求 p 的取值范围. ?a+c=5, ?a=1, ? 4 ? 【解答】 (1)由题设并利用正弦定理,得 ? 解得 ? 1 或 1 ?c=4, ? ?ac=4, ? ? 1 ?a= , ? 4 ?c=1. ? 1 1 (2)由余弦定理,b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-2accosB=p2b2-2b2-2 3 1 ?3 ? b2cosB,即 p2=2+2cosB,因为 0<cosB<1,得 p2∈?2,2?,由题设知 p>0,所 ? ? 6 以 2 <p< 2.

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课标文数 17.C9[2011· 江西卷] 在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b, 2 3 c,已知 3acosA=ccosB+bcosC.(1)求 cosA 的值;(2)若 a=1,cosB+cosC= 3 , 求边 c 的值. 【解答】 (1)由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC, 1 有 ccosB+bcosC=a,代入已知条件得 3acosA=a,即 cosA=3. 1 2 2 1 2 2 (2)由 cosA=3得 sinA= 3 ,则 cosB=-cos(A+C)=-3cosC+ 3 sinC,代 2 3 3 入 cosB+cosC= 3 , cosC+ 2sinC= 3, 得 从而得 sin(C+φ)=1, 其中 sinφ= 3 , 6 π cosφ= 3 ,0<φ<2. π 6 asinC 3 则 C+φ=2,于是 sinC= 3 ,由正弦定理得 c= sinA = 2 . 课标文数 16.C9[2011· 天津卷] 在△ ABC 中, 内角 A, C 的对边分别为 a, B, b, π? ? c.已知 B=C,2b= 3a.(1)求 cosA 的值;(2)求 cos?2A+4?的值. ? ? 3 课标文数 16.C9[2011· 天津卷] 【解答】 (1)由 B=C, 2b= 3a, 可得 c=b= 2 a. 3 2 3 2 a +4a -a2 2 2 2 b +c -a 4 1 所以 cosA= 2bc = =3. 3 3 2× 2 a× 2 a 1 2 2 (2)因为 cosA=3,A∈(0,π),所以 sinA= 1-cos2A= 3 ,故 cos2A=2cos2A 7 -1=-9. 4 2 sin2A=2sinAcosA= 9 . 8+7 2 π? π π ? 7? 2 4 2 2 ? 所以 cos?2A+4?=cos2Acos4-sin2Asin4=?-9?× 2 - 9 × 2 =- 18 . ? ? ? ? ?π ? 大纲理数 16.C9[2011· 重庆卷] 设 a∈R,f(x)=cosx(asinx-cosx)+cos2?2-x?满 ? ? π? π 11π? ? ? 足 f?-3?=f(0).求函数 f(x)在?4, 24 ?上的最大值和最小值. ? ? ? ? a 大纲理数 16.C9[2011· 重庆卷] 【解答】 f(x)=asinxcosx-cos2x+sin2x=2sin2x -cos2x. 3a 1 ? π? 由 f?-3?=f(0)得- 2 ·+2=-1,解得 a=2 3.因此 f(x)= 3sin2x-cos2x= 2 ? ? π? ? 2sin?2x-6?. ? ?
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π ?π π? π ?π π? ?π 11π? 当 x∈ ?4,3? 时,2x- 6 ∈ ?3,2? ,f(x)为增函数,当 x∈ ?3, 24 ? 时 ,2x- 6 ? ? ? ? ? ? π 3π? π 11π? π? ? ? ? ?π? ∈?2, 4 ?, f(x)为减函数. 所以 f(x)在?4, 24 ?上的最大值为 f?3?=2.又因 f?4?= 3, ? ? ? ? ? ? ? ? ?11π? f? 24 ?= 2, ? ? ?π 11π? ?11π? 故 f(x)在?4, 24 ?上的最小值为 f? 24 ?= 2. ? ? ? ? 大纲文数 18.C9[2011· 重庆卷] 设函数 f(x)=sinxcosx- 3cos(x+π)cosx(x∈R). (1)求 f(x)的最小正周期; ?π 3? (2)若函数 y=f(x)的图象按 b=? , ?平移后得到函数 y=g(x)的图象,求 y= ?4 2 ? π? ? g(x)在?0,4?上的最大值.大纲文数 18.C9[2011· 重庆卷] ? ? 1 1 3 1 3 【解答】 (1)f(x)=2sin2x+ 3cos2x=2sin2x+ 2 (1+cos2x)=2sin2x+ 2 cos2x 3 +2 π? 3 2π ? =sin?2x+3?+ 2 .故 f(x)的最小正周期为 T= 2 =π. ? ? π? 3 3 3 ? ? π? π? ? π? ? (2)依题意 g(x)=f?x-4?+ 2 =sin?2?x-4?+3?+ 2 + 2 =sin?2x-6?+ 3. ? ? ? ? ? ? ? ? π? π ? π π? ? 当 x∈?0,4?时,2x-6∈?-6,3?,g(x)为增函数, ? ? ? ? π? ? ?π? 3 3 所以 g(x)在?0,4?上的最大值为 g?4?= 2 . ? ? ? ?

[2011· 济南三模] 函数 f(x)=2cos2x- 3sin2x(x∈R)的最小正周期和最大值分 别为( ) A.2π,3B.2π,1C.π,3D.π,1

π? ? [2011· 东城模拟] 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)?A>0,ω>0,|φ|<2?的部分图象如 ? ? 图所示. (1)求 f(x)的最小正周期及解析式; π? ? (2)设 g(x)=f(x)-cos 2x,求函数 g(x)在区间?0,2?上的最大值和最小值. ? ?

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[2011· 东北三校一模] 在△ ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对的边分别为 a,b,c, 若∠A∶∠B=1∶2,且 a∶b=1∶ 3,则 cos2B 的值是( ) 1 1 3 3 A.-2 B.2C.- 2 D. 2

[2011· 北京西城一模] 在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,S 1 表示△ ABC 的面积,若 acosB+bcosA=csinC,S=4(b2+c2-a2),则∠B=( ) A.90° B.60° C.45° D.30°

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