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商都县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

商都县第二高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍, 其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一,该术相当于给出了由圆锥的底面 周长 L 与高 h,计算其体积 V 的近似公式 V≈ 那么,近似公式 V≈ A. B. C. L2h,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 π 近似取为 3, )

姓名__________

分数__________

L2h 相当于将圆锥体积公式中的 π 近似取为( D. ) C.120 种

2. 高三(1)班从 4 名男生和 3 名女生中推荐 4 人参加学校组织社会公益活动,若选出的 4 人中既有男生又 有女生,则不同的选法共有( A.34 种 B.35 种 D.140 种 )

3. 直线 x﹣2y+2=0 经过椭圆

的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率为(

A.

B.

C.

D.

4. 已知函数 f(x)=2x﹣

+cosx,设 x1,x2∈(0,π)(x1≠x2),且 f(x1)=f(x2),若 x1,x0,x2 成等 )

差数列,f′(x)是 f(x)的导函数,则( A.f′(x0)<0 C.f′(x0)>0 B.f′(x0)=0 D.f′(x0)的符号无法确定

5. 若直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 C : f ( x) ? x ? 1 ? A.-1 B.

1 没有公共点,则实数 k 的最大值为( ex



1 2

C.1

D. 3

【命题意图】考查直线与函数图象的位置关系、函数存在定理,意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算 求解能力. 6. 已知圆 C:x2+y2=4,若点 P(x0,y0)在圆 C 外,则直线 l:x0x+y0y=4 与圆 C 的位置关系为( A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定 7. 一个几何体的三个视图如下,每个小格表示一个单位, 则该几何体的侧面积为( ) )

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A. 4 ? 能力. 8. 若 sin( A、 ?

B. 2 5?

C. 5?

D. 2? ? 2 5?

【命题意图】本题考查空间几何体的三视图,几何体的侧面积等基础知识,意在考查学生空间想象能力和计算

?
3

?? ) ?

7 8

1 ? ,则 cos( ? 2? ) ? 4 3 1 1 7 B、 ? C、 D、 4 8 4
上一点,F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,I 是△ AF1F2 的内心.若 ,则该椭圆的离心率为( )

9. 点 A 是椭圆

A.

B.

C.

D. )

10.已知 α∈(0,π),且 sinα+cosα= ,则 tanα=( A. B. C. D.

11.设函数 F(x)= ∈R 恒成立,则(
2

是定义在 R 上的函数,其中 f(x)的导函数为 f′(x),满足 f′(x)<f(x)对于 x ) B.f(2)<e2f(0),f D.f(2)<e2f(0),f )

A.f(2)>e f(0),f C.f(2)>e2f(0),f

12.如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, P 是侧面 BB1C1C 内一动点,若 P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距离 相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是(

D1 A1

C1 B1 P

D A
A.直线

C B
B.圆 C.双曲线 D.抛物线
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【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识,意在考查空间想象能力.

二、填空题
13.函数 y=ax+1(a>0 且 a≠1)的图象必经过点 14.曲线 y=x+ex 在点 A(0,1)处的切线方程是
2

(填点的坐标) .
2

15.已知关于的不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集为 (1, 2) ,则关于的不等式 bx ? ax ? 1 ? 0 的解集 为___________. 16.在(x2﹣ )9 的二项展开式中,常数项的值为 17.设幂函数 f ? x ? ? kx? 的图象经过点 ? 4, 2 ? ,则 k ? ? = 18.设某双曲线与椭圆 ▲ . .

x2 y2 ? ? 1 有共同的焦点,且与椭圆相交,其中一个交点的坐标为 27 36
.

( 15,4) ,则此双曲线的标准方程是
三、解答题
19.设函数 f(x)=x3﹣6x+5,x∈R (Ⅰ)求 f(x)的单调区间和极值;

(Ⅱ)若关于 x 的方程 f(x)=a 有 3 个不同实根,求实数 a 的取值范围.

20.如图所示,一动圆与圆 x2+y2+6x+5=0 外切,同时与圆 x2+y2﹣6x﹣91=0 内切,求动圆圆心 M 的轨迹方程, 并说明它是什么样的曲线.

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21.(本题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , S n ? (1)求数列 {an } 的通项公式;

3an ? 3 ( n ? N ? ). 2 7 ( n ? N ? ). 2

(2)若数列 {bn } 满足 an ? bn ? log3 a4n?1 ,记 Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ,求证: Tn ?

【命题意图】本题考查了利用递推关系求通项公式的技巧,同时也考查了用错位相减法求数列的前 n 项和.重 点突出运算、论证、化归能力的考查,属于中档难度.

22.(本题满分 12 分) 已知数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn= n(an+1),求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

23.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线 l 过点 P(1,0), 斜率为 ,曲线 C:ρ=ρcos2θ+8cosθ. (Ⅰ)写出直线 l 的一个参数方程及曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求|PA|?|PB|的值.

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24. AA1C1C 是边长为 4 的正方形. AB=3, BC=5. 如图, 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 平面 ABC⊥平面 AA1C1C, (Ⅰ)求证:AA1⊥平面 ABC; (Ⅱ)求证二面角 A1﹣BC1﹣B1 的余弦值; (Ⅲ)证明:在线段 BC1 上存在点 D,使得 AD⊥A1B,并求 的值.

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商都县第二高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】解:设圆锥底面圆的半径为 r,高为 h,则 L=2πr, ∴ ∴π= . =
2 (2πr) h,

故选:B. 2. 【答案】A 【解析】解:从 7 个人中选 4 人共 =34 种. 故选:A. 【点评】本题考查了排列组合题,间接法是常用的一种方法,属于基础题 3. 【答案】A 【解析】直线 x﹣2y+2=0 与坐标轴的交点为(﹣2,0),(0,1), 直线 x﹣2y+2=0 经过椭圆 故 故选 A. 【点评】本题考查了椭圆的基本性质,只需根据已知条件求出 a,b,c 即可,属于基础题型. 4. 【答案】 A 【解析】解:∵函数 f(x)=2x﹣ ∴
'

种选法,只有男生的选法有

种,所以既有男生又有女生的选法有



的一个焦点和一个顶点; .

+cosx,设 x1,x2∈(0,π)(x1≠x2),且 f(x1)=f(x2),



∴存在 x1<a<x2,f (a)=0, ∴ ,∴ ,解得 a= ,

假设 x1,x2 在 a 的邻域内,即 x2﹣x1≈0. ∵ ,

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∴f(x)的图象在 a 的邻域内的斜率不断减少小,斜率的导数为正, ∴x0>a, 又∵x>x0,又∵x>x0 时,f (x)递减, ∴ 故选:A. 【点评】本题考查导数的性质的应用,是难题,解题时要认真审题,注意二阶导数和三阶导数的性质的合理运 用. 5. 【答案】C .
''

1 ,则直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 C : y ? f ? x ? 没有公共点, ex 1 ? 1 ? 等价于方程 g ? x ? ? 0 在 R 上没有实数解.假设 k ? 1 ,此时 g ? 0 ? ? 1 ? 0 , g ? ? ? ?1 ? 1 ? 0 .又函 ? k ?1 ? e k ?1 数 g ? x ? 的图象连续不断,由零点存在定理,可知 g ? x ? ? 0 在 R 上至少有一解,与“方程 g ? x ? ? 0 在 R 上没
【解析】令 g ? x ? ? f ? x ? ? ? kx ? 1? ? ?1 ? k ? x ? 有实数解”矛盾,故 k ? 1 .又 k ? 1 时, g ? x ? ? 为 1 ,故选 C. 6. 【答案】C
2 2 2 2 【解析】解:由点 P(x0,y0)在圆 C:x +y =4 外,可得 x0 +y0 >4,

1 ? 0 ,知方程 g ? x ? ? 0 在 R 上没有实数解,所以 k 的最大值 ex

求得圆心 C(0,0)到直线 l:x0x+y0y=4 的距离 d= 故直线和圆 C 相交, 故选:C.



=2,

【点评】本题主要考查点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式的应用,属于基础题. 7. 【答案】B

8. 【答案】A

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【解析】 选 A,解析: cos[? ? ( ? ? 2? )] ? ? cos( ? ? 2? ) ? ?[1 ? 2sin (
2

2 3

2 3

?
3

? ? )] ? ?

7 8

9. 【答案】B 【解析】解:设△AF1F2 的内切圆半径为 r,则 S△IAF1= |AF1|r,S△IAF2= |AF2|r,S△IF1F2= |F1F2|r, ∵ ∴ |AF1|r=2 × |F1F2|r﹣ |AF2|r, |F1F2|.∴a=2 = . , ,

整理,得|AF1|+|AF2|=2 ∴椭圆的离心率 e= = 故选:B. 10.【答案】D

2 【解析】解:将 sinα+cosα= ①两边平方得:(sinα+cosα) =1+2sinαcosα=

,即 2sinαcosα=﹣

<0,

∵0<α<π,∴

<α<π,

∴sinα﹣cosα>0,
2 ∴(sinα﹣cosα) =1﹣2sinαcosα=

,即 sinα﹣cosα= ②,

联立①②解得:sinα= ,cosα=﹣ , 则 tanα=﹣ . 故选:D. 11.【答案】B 【解析】解:∵F(x)= ∴函数的导数 F′(x)= ∵f′(x)<f(x), ∴F′(x)<0, 即函数 F(x)是减函数,
2 则 F(0)>F(2),F(0)>F<e f(0),f,

, = ,

故选:B

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12.【答案】D.

第Ⅱ卷(共 110 分)

二、填空题
13.【答案】 (0,2)

0 【解析】解:令 x=0,得 y=a +1=2 x ∴函数 y=a +1(a>0 且 a≠1)的图象必经过点 (0,2)

故答案为:(0,2). 【点评】本题考查指数函数的单调性与特殊点,解题的关键是熟练掌握指数函数的性质,确定指数为 0 时,求 函数的图象必过的定点 14.【答案】 2x﹣y+1=0 .
x x 【解析】解:由题意得,y′=(x+e )′=1+e , 0 ∴点 A(0,1)处的切线斜率 k=1+e =2,

则点 A(0,1)处的切线方程是 y﹣1=2x,即 2x﹣y+1=0, 故答案为:2x﹣y+1=0. 【点评】本题考查导数的几何意义,以及利用点斜式方程求切线方程,注意最后要用一般式方程来表示,属于 基础题. 15.【答案】 (?? , ) ? (1,?? )

1 2

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考 点:一元二次不等式的解法. 16.【答案】 84 .
2 9 【解析】解:(x ﹣ ) 的二项展开式的通项公式为 Tr+1=

?(﹣1)r?x18﹣3r,

令 18﹣3r=0,求得 r=6,可得常数项的值为 T7= 故答案为:84.

=

=84,

【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,属于基础题. 17.【答案】 【解析】
1 3 ? 试题分析:由题意得 k ? 1, 4 ? 2 ? ? ? ? k ? ? ? 2 2 考点:幂函数定义
3 2

18.【答案】 【解析】

y2 x2 ? ?1 4 5 x2 y2 ? ? 1 的焦点在 y 轴上,且 c 2 ? 36 ? 27 ? 9 ,故焦点坐标为 ?0,?3? 由双曲 27 36
2 2

试题分析:由题意可知椭圆 线的定义可得 2a ? 曲线的标准方程为

? 15 ? 0? ? ?4 ? 3?

?

? 15 ? 0? ? ?4 ? 3?
2

2

? 4 ,故 a ? 2 , b 2 ? 9 ? 4 ? 5 ,故所求双

y2 x2 y2 x2 ? ? 1 .故答案为: ? ?1. 4 5 4 5

考点:双曲线的简单性质;椭圆的简单性质.

三、解答题
19.【答案】

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【解析】解:(Ⅰ) ∴当 ∴f(x)的单调递增区间是 当 ∴当 即方程 f(x)=α 有三解. 20.【答案】 【解析】解:(方法一)设动圆圆心为 M(x,y),半径为 R,设已知圆的圆心分别为 O1、O2,
2 2 2 2 将圆的方程分别配方得:(x+3) +y =4,(x﹣3) +y =100,

, ,单调递减区间是 ;当 的图象有 3 个不同交点,

(Ⅱ)由(Ⅰ)的分析可知 y=f(x)图象的大致形状及走向,

当动圆与圆 O1 相外切时,有|O1M|=R+2…① 当动圆与圆 O2 相内切时,有|O2M|=10﹣R…② 将①②两式相加,得|O1M|+|O2M|=12>|O1O2|, ∴动圆圆心 M(x,y)到点 O1(﹣3,0)和 O2(3,0)的距离和是常数 12, 所以点 M 的轨迹是焦点为点 O1(﹣3,0)、O2(3,0),长轴长等于 12 的椭圆. ∴2c=6,2a=12, ∴c=3,a=6
2 ∴b =36﹣9=27

∴圆心轨迹方程为

,轨迹为椭圆. ,移项再两边分别平方得:

(方法二):由方法一可得方程 2
2 2 两边再平方得:3x +4y ﹣108=0,整理得

所以圆心轨迹方程为

,轨迹为椭圆.

【点评】本题以两圆的位置关系为载体,考查椭圆的定义,考查轨迹方程,确定轨迹是椭圆是关键.

21.【答案】 【 解 析 】

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22.【答案】解:(1)∵an+1=2an+1, ∴an+1+1=2(an+1), 又∵a1=1, ∴数列{an+1}是首项、公比均为 2 的等比数列, ∴an+1=2n,

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∴an=﹣1+2n; 6 分
n n 1 (2)由(1)可知 bn= n(an+1)= n?2 =n?2 ﹣ ,

∴Tn=1?20+2?2+…+n?2n﹣1, 2Tn=1?2+2?22…+(n﹣1)?2n﹣1+n?2n,
2 n 1 n 错位相减得:﹣Tn=1+2+2 …+2 ﹣ ﹣n?2

=

﹣n?2

n

=﹣1﹣(n﹣1)?2n, 于是 Tn=1+(n﹣1)?2n.

n 则所求和为 1 ? 2n
23.【答案】

6分 ,

【解析】解:(Ⅰ)∵直线 l 过点 P(1,0),斜率为 ∴直线 l 的一个参数方程为 (t 为参数);

2 ∵ρ=ρcos2θ+8cosθ,∴ρ(1﹣cos2θ)=8cosθ,即得(ρsinθ) =4ρcosθ, 2 2 ∴y =4x,∴曲线 C 的直角坐标方程为 y =4x.

(Ⅱ) 把

2 2 代入 y =4x 整理得:3t ﹣8t﹣16=0,

设点 A,B 对应的参数分别为 t1,t2,则 ∴ .



【点评】本题考查了直线参数方程及其应用、极坐标方程化为直角坐标方程,考查了推理能力与计算能力,属 于中档题.

24.【答案】 【解析】(I)证明:∵AA1C1C 是正方形,∴AA1⊥AC. 又∵平面 ABC⊥平面 AA1C1C,平面 ABC∩平面 AA1C1C=AC, ∴AA1⊥平面 ABC. (II)解:由 AC=4,BC=5,AB=3.

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2 2 2 ∴AC +AB =BC ,∴AB⊥AC.

建立如图所示的空间直角坐标系,则 A1(0,0,4),B(0,3,0),B1(0,3,4),C1(4,0,4), ∴ 设平面 A1BC1 的法向量为 , , . =(x2,y2,z2).

,平面 B1BC1 的法向量为



,令 y1=4,解得 x1=0,z1=3,∴



,令 x2=3,解得 y2=4,z2=0,∴



=

= .

=



∴二面角 A1﹣BC1﹣B1 的余弦值为

(III) 设点 D 的竖坐标为 t, (0<t<4) , 在平面 BCC1B1 中作 DE⊥BC 于 E, 可得 D ∴ ∵ ∴ ∴ . = ,∴ , ,解得 t= . , =(0,3,﹣4),



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【点评】本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法 向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法,考查了空间想象能力、推理能力和计 算能力.

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