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第七章 立体几何


第七章 立体几何
(时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.已知某空间几何体的主视图、侧视图、俯视图均为如图所示的等腰直角三角形,如果直角三角形 的直角边长为 1,那么这个几何体的表面积为( A. 2 2 3+ 2 B. 2 C. 3 2 ) 3+ 3 D. 2

2.已知 a、b 为两条不同的直线,α、β 为两个不同的平面,且 a⊥α,b⊥β,则下列命题中为假命 题的是 A.若 a∥b,则 α∥β C.若 a,b 相交,则 α,β 相交 B.若 α⊥β,则 a⊥b D.若 α,β 相交,则 a,b 相交 ) ( )

3.设 α,β,γ 是三个互不重合的平面,m,n 是两条不重合的直线,则下列命题中正确的是( A.若 α⊥β,β⊥γ,则 α⊥γ C.若 α⊥β,m⊥α,则 m∥β B.若 α∥β,m?β,m∥α,则 m∥β D.若 m∥α,n∥β,α⊥β,则 m⊥n ( )

4.已知两条不同直线 l1 和 l2 及平面 α,则直线 l1∥l2 的一个充分条件是 A.l1∥α 且 l2∥α C.l1∥α 且 l2?α B.l1⊥α 且 l2⊥α D.l1∥α 且 l2?α

5.若平面 α,β,满足 α⊥β,α∩β=l,P∈α,P?l,则下列命题中的假命题为( A.过点 P 垂直于平面 α 的直线平行于平面 β B.过点 P 在平面 α 内作垂直于 l 的直线必垂直于平面 β C.过点 P 垂直于平面 β 的直线在平面 α 内 D.过点 P 垂直于直线 l 的直线在平面 α 内

)

6.用一些棱长是 1 cm 的小正方体堆放成一个几何体,其正视图和俯视图如图所示,则这个几何体 的体积最多是 A.6 cm3 C.8 cm3 B.7 cm3 D.9 cm3 ( )

7.过平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 任意两条棱的中点作直线,其中与平面 DBB1D1 平行的直线共 有 A.4 条 B.6 条 C.12 条 D.8 条 ( )

8.已知三棱锥的三个侧面两两垂直,三条侧棱长分别为 4、4、7,若此三棱锥的各个顶点都在同 一个球面上,则此球的表面积是 (
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)

A.81π

B.36π

81π C. 4

D.144π

9.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为棱 DC 的中点,则 D1P 与 BC1 所在直线所成角的余 弦值等于 ( )

A.

4 5

B.

10 5

1 C. 2

D.

5 10

10.]如图, 在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 已知 AB=1, D 在棱 BB1 上, 且 BD=1, 则 AD 与平面 AA1C1C 所成角的正弦值为 A. 6 4 B. 3 4 C. 6 2 ( ) D. 7 2

11.已知直线 m、n 及平面 α,其中 m∥n,那么在平面 α 内到两条直线 m、n 距离相等的点的集合 可能是:(1)一条直线;(2)一个平面;(3)一个点;(4)空集.其中正确的是( A.(1)(2)(3) B.(1)(4) C.(1)(2)(4) D.(2)(4) )

12.设有如下三个命题: 甲:相交直线 l、m 都在平面 α 内,并且都不在平面 β 内; 乙:直线 l、m 中至少有一条与平面 β 相交; 丙:平面 α 与平面 β 相交. 当甲成立时 A.乙是丙的充分而不必要条件 C.乙是丙的充分且必要条件 B.乙是丙的必要而不充分条件 D.乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件 ( )

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请把正确答案填在题中横线上) 13.)设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为 m).

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则该几何体的体积为

m3.

14.[理]如图,AD⊥平面 BCD,∠BCD=90° ,AD=BC=CD=a,则二面角 C-AB-D 的大小为 __________.

4 15.母线长为 1 的圆锥的侧面展开图的圆心角等于 π,则该圆锥的体积为________. 3 16.棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的 8 个顶点都在球 O 的表面上,E、F 分别是棱 AA1、DD1 的中点,则直线 EF 被球 O 截得的线段长为________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 17.(本小题满分 12 分)(如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图(其中正视图 为直角梯形,俯视图为正方形,侧视图为直角三角形,尺寸如图所示).

(1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2)证明:BD∥平面 PEC; (3)若 G 为 BC 上的动点,求证:AE⊥PG.

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18.(本小题满分 12 分)已知直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=1+ 3, 过 A 作 AE⊥CD,垂足为 E,G、F 分别为 AD、CE 的中点,现将△ADE 沿 AE 折叠,使 DE⊥ EC.

(1)求证:BC⊥平面 CDE; (2)求证:FG∥平面 BCD; (3)求四棱锥 D-ABCE 的体积.

19.(本小题满分 12 分)如图,PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面,AD=PA=2,CD=2 2,E、F 分 别是 AB、PD 的中点.

(1)求证:AF∥平面 PCE; (2)求证:平面 PCE⊥平面 PCD; (3)求四面体 PEFC 的体积.

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20.[理](本小题满分 12 分)如图所示,四棱锥 P-ABCD 中,AB⊥AD,AD⊥DC,PA⊥底面 ABCD, 1 1 PA=AD=DC= AB=1,M 为 PC 的中点,N 点在 AB 上且 AN= NB. 2 3 (1)证明:MN∥平面 PAD; (2)求直线 MN 与平面 PCB 所成的角.

21.[(本小题满分 12 分)(如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC =BC=CC1=2,AC⊥BC,D 为 AB 的中点. (1)求证:AC1∥平面 B1CD; (2)求二面角 B-B1C-D 的正弦值.

22.[理](本小题满分 14 分)()如图,正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB=4,点 E 在 CC1 上, 且 CE=λCC1. (1)λ 为何值时,A1C⊥平面 BED; (2)若 A1C⊥平面 BED,求二面角 A1-BD-E 的余弦值.

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