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人教版高考必修数学教案:二元一次不等式组与平面区域

第 25 课时§3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 发 现 问 题 情景导思 半平面内的点,其坐标适合另一个不等式 Ax ? By ? C ? ( 或 ? ) 0 。 一 般 地 , 若 Ax ? By ? C ? 0( A ? 0 ) , 则当 B ? 0 时, 表示点 ( x, y ) 在直线 Ax ? By ? C ? 0 的上 方 ; 当 B ? 0 时 , 表 示 点 ( x, y ) 在 直 线 二元一次不等式(组)的解集是 有序实数对,而点的坐标也是有序实 数对,因此,有序实数对就可以看成 是平面内点的坐标,进而,二元一次 不等式(组)的解集就可以看成是直 角坐标系内的点构成的集合。 Ax ? By ? C ? 0 的 下 方 。 若 Ax ? By ? C ? 0( A ? 0 ) , 与上述情况相 反。 知 识 点 3 . 判 断 不 等 式 互 动 课 堂 知识清单 我们知道,坐标平面内的一条直线 Ax ? By ? C ? 0 所表示的平面区域,可在 直线 Ax ? By ? C ? 0 的某一侧的半平面内 选取一个特殊点, 如选原点或坐标轴上的点 来 验 证 Ax ? By ? C 的 符 号 的 正 负 , 当 Ax ? By ? C ? 0 把整个平面分成三部分, 即直线两侧的点集及直线上的点集, 它们构 成不同的平面区域。 把平面内的任意一点的 坐标 ( x, y ) 代入三项式 Ax ? By ? C ,得到 一个实数,或大于 0,或等于 0,或小于 0。 知识点 1 二元一次不等式 Ax ? By ? C ? 0 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 表 示 直 线 C ? 0 时,常选用原点 (0,0) 。例如判断 y ? 2 x ? 3 ? 0 所表示的平面区域时,可选 原点 (0,0) ,将其坐标代入,不适合此不等 式 , 说 明 原 点 一 定 不 在 不 等 式 Ax ? By ? C ? 0 某一侧的所在点组成的平 面区域(半平面) ,不含边界直线,不等式 y ? 2 x ? 3 ? 0 所表示的区域内,于是不等 式 y ? 2x ? 3 ? 0 所 表 示 的 应 是 直 线 Ax ? By ? C ? 0 所表示的平面区域(半平 面) ,包括边界直线。 知识点 2.对于直线 Ax ? By ? C ? 0 同一侧的所有点 ( x, y ) ,使得 Ax ? By ? C 的值的符号相同,也就是位于同一平面的 点 , 其 坐 标 适 合 同 一 个 不 等 式 y ? 2 x ? 3 ? 0 与原点异侧的半平面(不包 括边界) 。 知识点 4.由几个不等式组成的不等式组所 表示的平面区域, 是各个不等式所表示的平 面区域的公共部分。 知识点 5.逆用不等式(组)确定平面区域 的方法: “直线定界,特殊点定域” ,注意运 用两点法确定直线方程,并且注意实、需线 Ax ? By ? C ? (或 ? ) 0 ;而位于另一个 的区分。 示的平面区域是各个不等式表示的平面区 域的公共部分。不等式 y ? ?3x ? 12表示直 学法指导 【例 1】 画出不等式 x ? 4 y ? 4 表示的平 线 y= ? 3x ? 12 下 方 的 区 域 ; 不 等 式 x ? 2 y 表示直线 y ? 面区域。 【解析】 先画直线 x ? 4 y ? 4 (画成虚 1 x 上方的区域。 取两 2 区域重叠的部分就是不等式组所表示的区 域。图中的阴影部分就是(不包括直线) 。 线). 取原点( 0 , 0 ) ,代入 x +4y-4, ∵ 0+4 ×0-4=-4<0, ∴ 原 点在 x ? 4 y ? 4 表示的平面 区域 内, 不等式 x ? 4 y ? 4 表示的区域如图: y 12 8 3x+y-12=0 x-2y=0 4 O 4 8 X 点评: 解题的关键在于正确的描绘出边 界直线,然后根据给出的不等式,利用所在 直线外任一特殊点, (一般选用点 (0,0) 、 (1,0) 或 (0,1) )判断出所表示的平面区域。 【例 3】画出下列不等式表示的区域 【点评】画二元一次不等式表示的平面 (1) ( x ? y)(x ? y ? 1) ? 0 ; (2) x ? y ? 2x 【解析】(1)转化为等价的不等式组; 区域常采用“直线定界,特殊点定域” 的方法。特殊地,当 C ? 0 时,常把原 点作为此特殊点。 变式 1、画出不等式 4 x ? 3 y ? 12 所表 示的平面区域。 变式 2、 画出不等式 x ? 1 所表示的平面 区域。 ?x ? y ? 0 ? 0 ? x ? y ?1 ? ?x ? y ? 1 ? 0 或 ?x ? y ? 0 矛盾无解,故点 ( x, y ) 在一带形 ? ?x ? y ? 1 区域内(含边界) 。 (2) (2) 注意到不等式的传递性,由 ? y ? ?3x ? 12 例 2 画出不等式组 ? 表示的平 ?x ? 2 y 面区域。 【解析】 由于所求平面区域的点坐标要同时 满足两个不等式, 因此二元一次不等式组表 x ? 2 x ,得 x ? 0 ,又用 ? y 代 y ,不等式 仍成立,区域关于 x 轴对称。 由 x ? 2 x , ?x ? y ? 0 得 x ? 0 ;当 y ? 0 时,有 ? 点 ?2 x ? y ? 0 ( x, y ) 在一条形区域内(边界);当 y ? 0 , 由对称性得出。 75 12 ,? ) 。于是看出区域内 19 19 75 点的横坐标在 (0, ) 内,取 x =1,2,3, 19 B(0,?3) , C ( ? ? y ? ?1 ? 4 ? 当 x =1 时,代入原不等式组有 ? y ? 3 ? 12 ? y?? ? 5 ? ?? 12 ? y ? ?1 ,得 y =-2,∴区域内有 5 整

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