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必修2第三章教案 直线的方程(3)


高一数学 必修二 直线与方程

直线的方程(3)
一 、新知学习 1.直线的一般式方程 命题 1 直角坐标平面内的每一条直线方程都可以写成 Ax ? By ? C ? 0 ( A , B 不同时为 0) . 命题 2 每一个关于 x , y 的二元一次方程 Ax ? By ? C ? 0 ( A , B 不同时为 0)都表示直线. 把关于 x , y 的二元一次方程 Ax ? By ? C ? 0 ( A , B 不同时为 0)叫做直线的一般式方程.
命题 1 的证明:设直线 l 为坐标平面内的任意一条直线, P 是 l 上任意一点. 0 (x0 , y0 ) (ⅰ)当直线 l 的斜率 k 存在时,其方程为 y ? y0 ? k(x ? x0 ) ,方程可变形为 kx ? y ? kx0 ? y0 ? 0 ,因此可写成 Ax ? By ? C ? 0 的形式. (ⅱ)当直线的斜率不存在时,其方程为 x ? x0 ,方程可变形为 x ? 0 y ? x0 ? 0 ,也认为可写成 Ax ? By ? C ? 0 的形式. 综上,在直角坐标平面内,每一条直线的方程都可以写成形如 Ax ? By ? C ? 0 ( A , B 不同时为 0)的形式. 命题 2 的证明:设 Ax ? By ? C ? 0 ( A , B 不同时为 0)为任意一个二元一次方程. (ⅰ)当 B ? 0 时,方程可变形为 y ? ? x ?
A B
C? C A ? ,它表示过点 ? 0, ? ? ,斜率为 ? 的直线. B? B ? B

(ⅱ)当 B ? 0 时,必有 A ? 0 ,方程可变形为 x ? ?

C ,它表示垂直于 x 轴的直线. A

综上,每一个关于 x , y 的二元一次方程 Ax ? By ? C ? 0 ( A , B 不同时为 0) ,它都表示一条直线.

2.直线的五种方程小结
形式 点 特 殊 形 式 斜 式 两 一般情况 点 式 截距式 横纵截距分别为 a 与
b(a,b ? 0)

求方程需具备的条件 过点 (x0 , y0 ) ,斜率为 k 纵截距为 b ,斜率为 k

方程
y ? y0 ? k(x ? x0 )
y ? kx ? b
y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

应用范围 不含与 x 轴垂直的直线 不含与 y 轴垂直的直线
x1 ? x2 , y1 ? y2 ,即不含

一般情况 斜截式

过两点 (x1, y1) 和 (x2 , y2 )

与坐标轴垂直的直线 不含与坐标轴垂直的直 线,不含过原点的直线
k 不存在 k ?0

x y ? ?1 a b
x ? a , y 轴的方程 x ? 0

垂直于 x 轴且过点 (a,0) 特殊的直线 方程 一 般 式 化成截距式 化成斜截式 三个独立条件 垂直于 y 轴且过点 (0, b)

y ? b , x 轴的方程 y ? 0

Ax ? By ? C ? 0 ( A, B 不同时为 0)
y?? A C x? B B

任何情况 斜率 k ? ? ( B ? 0)
A B

x y ? ?1 C C ? ? A B

横截距 ?

C C ,纵截距 ? A B

3.由直线方程求斜率的方法 (ⅰ)方程 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 表明,直线斜率为因式 ( x ? x1 ) 的系数. (ⅱ)方程 y ? kx ? b 表明,直线斜率为 x 项的系数. (ⅲ)方程 x ? x1 表明,直线斜率不存在. (ⅳ)方程 y ? y1 表明,直线斜率 k ? 0 .
1

高一数学 必修二 直线与方程

(ⅴ)当 B ? 0 时,由方程 Ax ? By ? C ? 0 得到直线斜率为 k ? ?

A . B

二、知识迁移 A.概念理解 1.判断题: (1)任何直线方程都能表示为一般式. (2)如何一条直线的一般式方程都能与其它四种形式互化. (3)对于二元一次方程 Ax ? By ? C ? 0 ,当 A ? 0 , B ? 0 时,方程表示垂直于 x 轴的直线.
结果: (1)正确. (2)错误. (3)错误.

2.填空:

1 (1)经过点 A(?2,1) ,斜率是 的直线的一般式方程为 . 3 (2) 若直线 l 的一般式方程为 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 , 则直线 l 的斜率是 (3)将直线 l 的一般式方程 x ? 2 y ? 4 ? 0 化为截距式方程为
结果: (1) x ? 3y ? 5 ? 0 . (2)
x y 2 ,4. (3) ? ?1 . ?4 2 3

, 在 y 轴上的截距为 .



3.思考:直线 l1 : Ax ? By ? C ? 0 与直线 l2 : Ax ? By ? m ? 0 ,其中 A2 ? B 2 ? 0 , m ? C ,直线 l1 与 l2 的位置关系如何?
解:若 B ? 0 ,则 A ? 0 , l1 : x ? ?
C m , l2 : x ? ? ,显然 l1 ∥ l2 . A A

若 B ? 0 , l1 的斜率为 ? 所以 l1 ∥ l2 .

C m A A ,在 y 轴上的截距为 ? , l2 的斜率为 ? ,在 y 轴上的截距为 ? ,所以 l1 与 l2 斜率相等,截距不等, B B B B

4.根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程. (1)斜率为 3 ,且经过点 A(5,3) . (2)斜率为 4,在 y 轴上的截距为 ?2 . (3)经过 A(?1,5) , B (2, ?1) 两点. (4)在 x , y 轴上的截距分别是 ?3 , ?1 .
结果: (1) 点斜式方程: y ? 3 ? 3( x ? 5) , 一般式方程: 3x ? y ? 3 ? 5 3 ? 0 . (2) 斜截式方程: y ? 4x ? 2 , 一般式方程:4x ? y ? 2 ? 0 . (3)两点式方程:
x y y ? 5 x ? (?1) ,一般式方程: 2x ? y ? 3 ? 0 . (4)截距式方程: ? ? 1 ,一般式方程: x ? 3y ? 3 ? 0 . ? ?3 ?1 ?1 ? 5 2 ? (?1)

5.已知三角形的三个顶点 A(?5,0) , B (3, ?3) , C (0, 2) ,求 BC 边所在直线的方程,以及该边 上中线所在直线的方程.
解:过 B(3, ?3) , C(0,2) 的两点式方程为
y ?2 x?0 ,整理得 5x ? 3y ? 6 ? 0 .这就是 BC 边所在直线的方程. ? ?3 ? 2 3 ? 0

2

高一数学 必修二 直线与方程
? 3 ? 0 ?3 ? 2 ? ?3 1? , BC 边上的中线是顶点 A 与 BC 边中点 M 所连线段,由中点坐标公式可得点 M 的坐标为 ? ? ,即 ? , ? ? . 2 ? ? 2 ?2 2?

y ?0 x?5 1 13 5 ?3 1? 过 A(?5,0) , M ? , ? ? 的直线的方程为 ,整理得 x ? y ? ? 0 ,即 x ? 13y ? 5 ? 0 .这就是 BC 边上中线所在直线的 ?
?2 2?

1 ? ?0 2

3 ?5 2

2

2

2

方程.

4 6. (1)已知直线经过点 A(6, ?4) ,斜率为 ? ,求直线的点斜式和一般式方程. 3 (2)把直线 l 的一般式方程 x ? 2 y ? 6 ? 0 化成斜截式,求出直线 l 的斜率以及它在 x 轴与 y 轴
上的截距,并画出图形.
结果: (1)点斜式方程: y ? 4 ? ? ( x ? 6) ,一般式方程: 4x ? 3y ?12 ? 0 .
4 3

(2)斜截式方程: y ? x ? 3 ,在 x 轴上的截距: ?6 ,在 y 轴上的截距:3.

1 2

B.直线的一般式方程与其他形式的转化

4 (1)下列直线中,斜率为 ? ,且不经过第一象限的是 3 A. 3 x ? 4 y ? 7 ? 0 B. 4 x ? 3 y ? 7 ? 0 C. 4 x ? 3 y ? 42 ? 0
例 (2)直线 3x ? 5 y ? 9 ? 0 在 x 轴上的截距等于 A. 3
解: (1)B. (2)D.

D. 3x ? 4 y ? 42 ? 0

B. ? 5

C.

9 5

D. ?3 3

变式 图形.

已知直线 l 经过点 A(?5,6) 和点 B (?4,8) ,求直线 l 的一般式方程和截距式方程,并画出
y ?6 x?5 x y ,整理得 2x ? y ? 16 ? 0 ,化为截距式得 ? ? ? 0 ,所以直 8 ? 6 ?4 ? 5 ?8 16

解:因为直线 l 经过点 A(?5,6) 和 B(?4,8) ,所以由两点式得

线 l 的一般式方程为 2x ? y ? 16 ? 0 ,截距式方程为

x y ? ? 0 .图略. ?8 16

C.由含参一般式求参数的值或取值范围 例 (1)若方程 (m2 ? 5m ? 6) x ? (m2 ? 3m) y ? 1 ? 0 表示一条直线,则实数 m 满足 .

(2)当实数 m 为何值时,直线 (2m2 ? m ? 3) x ? (m2 ? m) y ? 4m ? 1: (ⅰ)倾斜角为 45 ? ; (ⅱ)在 x 轴上的截距为 1.
解: (1)m ? ?3 . (2) (ⅰ) 因为已知直线的倾斜角为 45? , 所以此直线的斜率为 1, 所以 ?
?m ? 0且m ? 1, 所以 m ? ?1 . ? m ? ?1或m ? 1.

? m2 ? m ? 0, ? 2m 2 ? m ? 3 所以 ? 2 ?1 , 2 2 m ?m ? ?2m ? m ? 3 ? ?(m ? m),

解得 ?

3

高一数学 必修二 直线与方程 (ⅱ)因为已知直线在 x 轴上的截距为 1,令 y ? 0 得 x ?
3 ? m ? 1且m ? ? , ? 1 ? 2 解得 ? 所以 m ? ? 或 m ? 2 . 2 ? m ? ? 1 或m ? 2. ? ? 2

? 2m2 ? m ? 3 ? 0, 4m ? 1 4m ? 1 ? ,所以 2 ? 1 ,所以 ? 2 2m2 ? m ? 3 2m ? m ? 3 ? ?4m ? 1 ? 2m ? m ? 3,

变式 1 已知直线 (2m2 ? m ? 3) x ? (m2 ? m) y ? 4m ? 1在 y 轴上的截距为 1,求实数 m 的值.
? m ? 0且m ? 1, ?m2 ? m ? 0, 5 ? 21 4m ? 1 ? ? ,所以 解得 . ? 1 ? ? 5 ? 21 所以 m ? 2 2 m2 ? m ? . ? 4m ? 1 ? m ? m, ?m ? ? 2

解:依题意得

变式 2 直线 l : ax ? y ? 2 ? a ? 0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则 a 的值是
结果: ?2 或 1.



D.一般式形式下直线平行于垂直问题 例 (1)过点 ( ?1,3) 且平行于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为 A. x ? 2 y ? 7 ? 0 B. 2 x ? y ? 1 ? 0 C. x ? 2 y ? 5 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0 (2)已知直线 x ? y ? m ? 0 与直线 x ? (3 ? 2m) y ? 0 互相垂直,则实数 m 的值为
结果: (1)A. (2)2.



变式 1 求过点 (0, 2) 分别满足下列条件的直线 l 的方程. (1)直线 l 与直线 3x ? 4 y ? 1 ? 0 平行. (2)直线 l 与直线 5x ? 3 y ? 6 ? 0 垂直.
解: (1)因为直线 l 与直线 3x ? 4 y ? 1 ? 0 平行,所以直线 l 的斜率为
3 3 ,所以直线 l 的方程为 y ? x ? 2 ,即 3x ? 4 y ? 8 ? 0 . 4 4

(2)直线 l 与直线 5x ? 3y ? 6 ? 0 垂直且直线 5x ? 3y ? 6 ? 0 的斜率为 ? ,所以直线 l 的斜率为 即 3x ? 5y ? 10 ? 0 .

5 3

3 3 ,所以直线 l 的方程为 y ? x ? 2 , 5 5

变式 2 过点 M (0,1) 作直线 l ,使它被两条直线 l1 : x ? 3 y ? 10 ? 0 ,l2 : 2 x ? y ? 8 ? 0 截得的线段 恰好被 M 平分,求此直线的方程.
解:设直线与直线 l1 , l2 分别相交于点 A(x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) ,所以 x1 ? 3y1 ? 10 ? 0 ,即 x1 ? 3y1 ?10 ,所以点 A(3y1 ?10, y1 ) ,同理可得点
? 3 y1 ? 10 ? x2 ? 0, ? ? 2 解得 x2 ? 4 , y1 ? 2 .因此点 A(?4,2) , B(4,0) .由直线的两点式方 B(x2 , ?2x2 ? 8) .因为线段 AB 的中点为 M (0,1) ,所以 ? ? y1 ? 2 x2 ? 8 ? 1, ? ? 2

程得所求直线方程为

y ?0 x?4 ,即 x ? 4 y ? 4 ? 0 . ? 2 ? 0 ?4 ? 4

4


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