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永年区二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

永年区二中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 已知 f(x)为定义在(0,+∞)上的可导函数,且 f(x)>xf′(x)恒成立,则不等式 x2f( )﹣f(x) >0 的解集为( ) D.(2,+∞) 个单位, 得到函数 y=g (x) 的图象, 则它的一个对称中心是 ( D. ) A.(0,1) B.(1,2) C.(1,+∞) 2. 将函数 f =sin2x 的图象向右平移 (x) A. B. C.

姓名__________

分数__________

3. 高一新生军训时,经过两天的打靶训练,甲每射击 10 次可以击中 9 次,乙每射击 9 次可以击中 8 次.甲、 乙两人射击同一目标(甲、乙两人互不影响),现各射击一次,目标被击中的概率为( A. A. (4,??) B. B. [4,??) C. C. (??,4) D. ) D. (??,4] )

4. 若关于 x 的不等式 | x ? 1 | ? | x ? 2 | ?m ? 7 ? 0 的解集为 R ,则参数 m 的取值范围为(

【命题意图】本题考查含绝对值的不等式含参性问题,强化了函数思想、化归思想、数形结合思想在本题中的 应用,属于中等难度. 5. 已知双曲线 C: ﹣ =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过点 F1 作直线 l⊥x 轴交双曲线 C )

的渐近线于点 A,B 若以 AB 为直径的圆恰过点 F2,则该双曲线的离心率为( A. B. C.2 D.

6. 已知函数 f(x)=2x﹣

+cosx,设 x1,x2∈(0,π)(x1≠x2),且 f(x1)=f(x2),若 x1,x0,x2 成等 )

差数列,f′(x)是 f(x)的导函数,则( A.f′(x0)<0 C.f′(x0)>0 B.f′(x0)=0 D.f′(x0)的符号无法确定

7. 已知函数 f =Asin |φ|< ω>0, (x) (ωx+φ) (a>0,

) 的部分图象如图所示, 则f (x) 的解析式是 (



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A.f(x)=sin(3x+ 8. 在 ( ) A.等腰直角 C.等腰

) B.f(x)=sin(2x+ 、 、

) C.f(x)=sin(x+ 所对的边,若



D.f(x)=sin(2x+



中, 、 、 分别为角

,则此三角形的形状一定是

B.等腰或直角 D.直角
2

9. 已知点 F 是抛物线 y =4x 的焦点,点 P 在该抛物线上,且点 P 的横坐标是 2,则|PF|=( A.2 10.若 f ( x) ? ? A.8 B.3 C.4 ) D.5



? f ( x ? 2), ( x ? 2) 则 f (1) 的值为( ?x ( x ? 2) ?2 , 1 1 B. C.2 D. 2 8


11.如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两个半圆.在扇形 OAB 内随机取一点, 则此点取自阴影部分的概率是(

A.1﹣

B. ﹣

C.

D. ) C.?x∈N+,(x﹣1)2>0 D.?x∈R,tanx=2

12.下列命题中的假命题是( A.?x∈R,2x﹣1>0

B.?x∈R,lgx<1

二、填空题
13.曲线 y=x2 和直线 x=0,x=1,y=
2

所围成的图形的面积为


2

14.已知关于的不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集为 (1, 2) ,则关于的不等式 bx ? ax ? 1 ? 0 的解集 为___________.

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15.已知集合 M={x||x|≤2,x∈R},N={x∈R|(x﹣3)lnx2=0},那么 M∩N= 16.抛物线 y =﹣8x 上到焦点距离等于 6 的点的坐标是 17.已知 | a |? 2 , | b |? 1 , ?2a 与 b 的夹角为
2



. .

1 3

? ,则 | a ? 2b |? 3

18.对于映射 f:A→B,若 A 中的不同元素有不同的象,且 B 中的每一个元素都有原象,则称 f:A→B 为一 一映射,若存在对应关系 Φ,使 A 到 B 成为一一映射,则称 A 到 B 具有相同的势,给出下列命题: ①A 是奇数集,B 是偶数集,则 A 和 B 具有相同的势; ②A 是平面直角坐标系内所有点形成的集合,B 是复数集,则 A 和 B 不具有相同的势; ③若区间 A=(﹣1,1),B=R,则 A 和 B 具有相同的势. 其中正确命题的序号是 .

三、解答题
19.已知函数 f(x)=2|x﹣2|+ax(x∈R). (1)当 a=1 时,求 f(x)的最小值; (2)当 f(x)有最小值时,求 a 的取值范围; (3)若函数 h(x)=f(sinx)﹣2 存在零点,求 a 的取值范围.

20.(本小题满分 12 分) 如图(1),在三角形 PCD 中, AB 为其中位线,且 2 BD ? PC ,若沿 AB 将三角形 PAB 折起,使

?PAD ? ? ,构成四棱锥 P ? ABCD ,且
(1)求证:平面 BEF ? 平面 PAB ; (2)当 异面直线 BF 与 PA 所成的角为

PC CD ? ? 2. PF CE

? 时,求折起的角度. 3

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21.已知函数 f(x)=ax3+bx2﹣3x 在 x=±1 处取得极值.求函数 f(x)的解析式.

22. 在直接坐标系

中, 直线 的方程为

, 曲线 的参数方程为

( 为参数) 。

(1)已知在极坐标(与直角坐标系

取相同的长度单位,且以原点 为极点,以 轴正半轴为

极轴)中,点 的极坐标为(4, ),判断点 与直线 的位置关系; (2)设点 是曲线 上的一个动点,求它到直线 的距离的最小值。

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23.已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3),且点 F(2,0)为其右焦点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在平行于 OA 的直线 l,使得直线 l 与椭圆 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的距离等于 4?若存在, 求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

24.设圆 C 满足三个条件①过原点;②圆心在 y=x 上;③截 y 轴所得的弦长为 4,求圆 C 的方程.

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永年区二中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】解:令 F(x)= 则 F′(x)= ,(x>0), ,

∵f(x)>xf′(x),∴F′(x)<0, ∴F(x)为定义域上的减函数,
2 由不等式 x f( )﹣f(x)>0,

得:





∴ <x,∴x>1, 故选:C. 2. 【答案】D 【解析】解:函数 y=sin2x 的图象向右平移 考察选项不难发现: 当 x= ∴( 时,sin(2× ﹣ )=0; 个单位,则函数变为 y=sin[2(x﹣ )]=sin(2x﹣ );

,0)就是函数的一个对称中心坐标.

故选:D. 【点评】本题是基础题,考查三角函数图象的平移变换,函数的对称中心坐标问题,考查计算能力,逻辑推理 能力,常考题型. 3. 【答案】 D 【解析】【解答】解:由题意可得,甲射中的概率为 故两人都击不中的概率为(1﹣ 故目标被击中的概率为 1﹣ = )(1﹣ )= , , ,乙射中的概率为 ,

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故选:D. 【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式,所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系, 属于基础题. 4. 【答案】A

5. 【答案】D 【解析】解:设 F1(﹣c,0),F2(c,0),则 l 的方程为 x=﹣c, 双曲线的渐近线方程为 y=± x,所以 A(﹣c, ∵AB 为直径的圆恰过点 F2 ∴F1 是这个圆的圆心 ∴AF1=F1F2=2c ∴ c=2c,解得 b=2a ∴离心率为 = 故选 D. 【点评】本题考查了双曲线的性质,如焦点坐标、离心率公式. 6. 【答案】 A 【解析】解:∵函数 f(x)=2x﹣ ∴
'

c)B(﹣c,﹣

c)

=

+cosx,设 x1,x2∈(0,π)(x1≠x2),且 f(x1)=f(x2),



∴存在 x1<a<x2,f (a)=0, ∴ ,∴ ,解得 a= ,

假设 x1,x2 在 a 的邻域内,即 x2﹣x1≈0. ∵ ∴ , ,

∴f(x)的图象在 a 的邻域内的斜率不断减少小,斜率的导数为正, ∴x0>a, 又∵x>x0,又∵x>x0 时,f (x)递减,
''

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∴ 故选:A.



【点评】本题考查导数的性质的应用,是难题,解题时要认真审题,注意二阶导数和三阶导数的性质的合理运 用. 7. 【答案】D 【解析】解:由图象知函数的最大值为 1,即 A=1, 函数的周期 T=4( ﹣ )=4× = ,

解得 ω=2,即 f(x)=2sin(2x+φ), 由五点对应法知 2× 解得 φ= , ), +φ= ,

故 f(x)=sin(2x+ 故选:D 8. 【答案】B 【解析】 因为 即

,所以由余弦定理得 ,所以 或 ,



即此三角形为等腰三角形或直角三角形,故选 B 答案:B 9. 【答案】B
2 【解析】解:抛物线 y =4x 的准线方程为:x=﹣1,

∵P 到焦点 F 的距离等于 P 到准线的距离,P 的横坐标是 2, ∴|PF|=2+1=3. 故选:B. 【点评】本题考查抛物线的性质,利用抛物线定义是解题的关键,属于基础题. 10.【答案】B

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【解析】 试题分析: f ?1? ? f ? 3? ? 2 考点:分段函数。 11.【答案】A 【解析】解:设扇形的半径为 r,则扇形 OAB 的面积为 ,
?3

?

1 ,故选 B。 8

连接 OC,把下面的阴影部分平均分成了 2 部分,然后利用位移割补的方法,分别平移到图中划线部分,则阴 影部分的面积为: ﹣ ,

∴此点取自阴影部分的概率是 故选 A.



12.【答案】C
x 1 【解析】解:A.?x∈R,2 ﹣ =

0 正确;

B.当 0<x<10 时,lgx<1 正确; C.当 x=1,(x﹣1)2=0,因此不正确; D.存在 x∈R,tanx=2 成立,正确. 综上可知:只有 C 错误. 故选:C. 【点评】本题考查了指数函数与对数函数、正切函数的单调性,属于基础题.

二、填空题
13.【答案】 .

【解析】解:∵曲线 y=x 和直线:x=1 的交点为(1,1),和直线 y= 的一个交点为( , )

2

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∴曲线 y=x 和直线 x=0,x=1,y=
3 ﹣ x)

2

所围成的图形的面积为 S=



)dx+

dx=( x

+( x3﹣ x)

= .

故答案为: . 14.【答案】 (?? , ) ? (1,?? ) 【 解 析 】

1 2

考 点:一元二次不等式的解法. 15.【答案】 {1,﹣1} .

【解析】解:合 M={x||x|≤2,x∈R}={x|﹣2≤x≤2}, N={x∈R|(x﹣3)lnx2=0}={3,﹣1,1}, 则 M∩N={1,﹣1}, 故答案为:{1,﹣1}, 【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 16.【答案】 (﹣4, ) . =2.

2 【解析】解:∵抛物线方程为 y =﹣8x,可得 2p=8,

∴抛物线的焦点为 F(﹣2,0),准线为 x=2. 设抛物线上点 P(m,n)到焦点 F 的距离等于 6, 根据抛物线的定义,得点 P 到 F 的距离等于 P 到准线的距离, 即|PF|=﹣m+2=6,解得 m=﹣4,
2 ∴n =8m=32,可得 n=±4



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因此,点 P 的坐标为(﹣4, 故答案为:(﹣4, ).

).

【点评】本题给出抛物线的方程,求抛物线上到焦点的距离等于定长的点的坐标.着重考查了抛物线的定义与 标准方程等知识,属于基础题. 17.【答案】 2 【解析】解析:本题考查向量夹角与向量数量积的应用. a 与 b 的夹角为 ∴ | a ? 2b |?

2? , a ? b ? ?1 , 3

(a ? 2b) 2 ? | a |2 ?4a ? b ? 4 | b |2 ? 2 .

18.【答案】 ①③ .

【解析】解:根据一一映射的定义,集合 A={奇数}→B={偶数},不妨给出对应法则加 1.则 A→B 是一一映 射,故①正确; 对②设 Z 点的坐标(a,b),则 Z 点对应复数 a+bi,a、b∈R,复合一一映射的定义,故②不正确; 对③,给出对应法则 y=tan ③正确. 故选:①③ 【点评】本题借助考查命题的真假判断,考查一一映射的定义,属于基础题型,考查考生对新定义题的理解与 应用能力. x,对于 A,B 两集合可形成 f:A→B 的一一映射,则 A、B 具有相同的势;∴

三、解答题
19.【答案】

【解析】解:(1)当 a=1 时,f(x)=2|x﹣2|+x= 所以,f(x)在(﹣∞,2)递减,在[2,+∞)递增, 故最小值为 f(2)=2; …(4 分) (2)f(x)= 要使函数 f(x)有最小值,需 ∴﹣2≤a≤2,…(8 分) 故 a 的取值范围为[﹣2,2]. …(9 分) ,…(6 分) ,

…(2 分)

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(3)∵sinx∈[﹣1,1],∴f(sinx)=(a﹣2)sinx+4, “h(x)=f(sinx)﹣2=(a﹣2)sinx+2 存在零点”等价于“方程(a﹣2)sinx+2=0 有解”, 亦即 ∴ 有解, ,…(11 分)

解得 a≤0 或 a≥4,…(13 分) ∴a 的取值范围为(﹣∞,0]∪[4,+∞)…(14 分) 【点评】 本题主要考查分段函数的应用, 利用分段函数的表达式结合一元二次函数的性质, 是解决本题的关键.

20.【答案】(1)证明见解析;(2) ? ? 【解析】

2? . 3

BA ? AD 从而得到 BA ? 平面 PAD , 试题分析: (1) 可先证 BA ? PA , 再证 CD ? FE , CD ? BE 可得 CD ?
平面 BEF ,由 CD // AB ,可证明平面 BEF ? 平面 PAB ; (2)由 ?PAD ? ? ,取 BD 的中点 G ,连接 FG, AG , 可得 ?PAG 即为异面直线 BF 与 PA 所成的角或其补角,即为所折起的角度.在三角形中求角即可. 1 试题解析:

(2)因为 ?PAD ? ? ,取 BD 的中点 G ,连接 FG, AG ,所以 FG // CD , FG ?

1 CD ,又 AB // CD , 2

1 AB ? CD ,所以 FG // AB , FG ? AB ,从而四边形 ABFG 为平行四边形,所以 BF // AG ,得;同时, 2
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因为 PA ? AD , ?PAD ? ? ,所以 ?PAD ? ? ,故折起的角度 ? ?

2? . 3

考点:点、线、面之间的位置关系的判定与性质. 21.【答案】
2 【解析】解:(1)f'(x)=3ax +2bx﹣3,依题意,f'(1)=f'(﹣1)=0,



,解得 a=1,b=0.

3 ∴f(x)=x ﹣3x.

【点评】本题考查了导数和函数极值的问题,属于基础题. 22.【答案】(1)点 P 在直线 上 (2) 【解析】(1)把极坐标系下的点 所以点 P 在直线 上, (2)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为 从而点 Q 到直线 的距离为 , 化为直角坐标,得 P(0,4)。 ,

因为点 P 的直角坐标(0,4)满足直线 的方程

, 23.【答案】

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【解析】解:(1)依题意,可设椭圆 C 的方程为 F(﹣2,0),从而有

(a>0,b>0),且可知左焦点为

,解得 c=2,a=4, .

2 2 2 2 又 a =b +c ,所以 b =12,故椭圆 C 的方程为

(2)假设存在符合题意的直线 l,其方程为 y= x+t,



2 2 得 3x +3tx+t ﹣12=0,

因为直线 l 与椭圆有公共点,所以有△=(3t) ﹣4×3(t ﹣12)≥0,解得﹣4 另一方面,由直线 OA 与 l 的距离 4= 由于±2 ?[﹣4 ,4 ,从而 t=±2 ,

2

2

≤t≤4



],所以符合题意的直线 l 不存在.

【点评】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、 数形结合思想、化归与转化思想.

24.【答案】 【解析】解:根据题意画出图形,如图所示:

当圆心 C1 在第一象限时,过 C1 作 C1D 垂直于 x 轴,C1B 垂直于 y 轴,连接 AC1, 由 C1 在直线 y=x 上,得到 C1B=C1D,则四边形 OBC1D 为正方形, ∵与 y 轴截取的弦 OA=4,∴OB=C1D=OD=C1B=2,即圆心 C1(2,2), 在直角三角形 ABC1 中,根据勾股定理得:AC1=2 ,

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2 2 则圆 C1 方程为:(x﹣2) +(y﹣2) =8;

当圆心 C2 在第三象限时,过 C2 作 C2D 垂直于 x 轴,C2B 垂直于 y 轴,连接 AC2, 由 C2 在直线 y=x 上,得到 C2B=C2D,则四边形 OB′C2D′为正方形,∵与 y 轴截取的弦 OA′=4,∴OB′=C2D′, =OD′=C2B′=2,即圆心 C2(﹣2,﹣2), 在直角三角形 A′B′C2 中,根据勾股定理得:A′C2=2 则圆 C1 方程为:(x+2) +(y+2) =8,
2 2 2 2 ∴圆 C 的方程为:(x﹣2) +(y﹣2) =8 或(x+2) +(y+2) =8. 2 2



【点评】本题考查了角平分线定理,垂径定理,正方形的性质及直角三角形的性质,做题时注意分两种情况, 利用数形结合的思想,分别求出圆心坐标和半径,写出所有满足题意的圆的标准方程,是中档题.

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