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2015-2016学年高中数学 第一章 集合与函数概念章末检测 新人教A版必修1


【创新设计】2015-2016 学年高中数学 第一章 集合与函数概念章末 检测 新人教 A 版必修 1
一、选择题 1.已知集合 M={x|-3<x<1},N={-3,-2,-1,0,1},则 M∩N 等于( A.{-2,-1,0,1} B.{-3,-2,-1,0} C.{-2,-1,0} D.{-3,-2,-1} 答案 C 解析 运用集合的运算求解.M∩N={-2,-1,0},故选 C. 2.设全集为 R,函数 f(x)= 1-x 的定义域为 M,则?RM 为( A.[-1,1] B.(-1,1) C.(-∞,-1]∪[1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 答案 D 解析 由 1-x ≥0,知-1≤x≤1. ∴M=[-1,1],∴?RM=(-∞,-1)∪(1,+∞). 3.设全集 U=R, M={x|x<-2, 或 x>2}, N={x|1<x<3}, 则图中阴影部分所表示的集合是( )
2 2

)

)

A.{x|-2≤x<1}

B.{x|-2≤x≤2}

C.{x|1<x≤2} D.{x|x<2} 答案 C 解析 阴影部分所表示集合是 N∩(?UM), 又∵?UM={x|-2≤x≤2}, ∴N∩(?UM)={x|1<x≤2}. 4.下列图象中不能作为函数图象的是( )

1

答案 B 解析 选项 B 对于给定的变量有两个值与其对应,不是函数的图象. 5.已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( A.1 B.3 C.5 D.9 答案 C 解析 用列举法把集合 B 中的元素一一列举出来. 当 x=0,y=0 时,x-y=0;当 x=0,y=1 时,x-y=-1; 当 x=0,y=2 时,x-y=-2;当 x=1,y=0 时,x-y=1; 当 x=1,y=1 时,x-y=0;当 x=1,y=2 时,x-y=-1; 当 x=2,y=0 时,x-y=2;当 x=2,y=1 时,x-y=1; 当 x=2,y=2 时,x-y=0.根据集合中元素的互异性知,B 中元素有 0,-1,-2,1,2,共 5 个. 6.函数 y=x -2x+3,-1≤x≤2 的值域是( A.R B.[3,6]
2

)

)

C.[2,6] D.[2,+∞) 答案 C 解析 画出函数的图象,如图所示,观察函数的图象可得图象上所有点的纵坐标的取值范围 是[2,6],所以值域是[2,6].

7.设 f(x)=?

? ?x+3

?x>10?, ?x≤10?,

?f?f?x+5?? ?

则 f(5)的值是(

)

2

A.24 B.21 C.18 答案 A

D.16

解析 f(5)=f(f(10))=f(f(f(15)))=f(f(18))=f(21)=24. 8.函数 f(x)=ax +2(a-1)x+2 在区间(-∞,4]上为减函数,则 a 的取值范围为( 1 1 A.0<a≤ B.0≤a≤ 5 5 1 1 C.0<a< D.a> 5 5 答案 B 解析 当 a≠0 时,函数 f(x)的对称轴为 x=- ∵f(x)在(-∞,4]上为减函数, ∴图象开口朝上,a>0 且-
2

)

a-1 , a

a-1 1 ≥4,得 0<a≤ . a 5

当 a=0 时,f(x)=-2x+2,显然在(-∞,4]上为减函数. 9.函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,若 f(a)≤f(2),则实数 a 的 取值范围是( A.a≤2 )

B.a≥-2

C.-2≤a≤2 D.a≤-2 或 a≥2 答案 D 解析 ∵y=f(x)是偶函数,且在(-∞,0]上是增函数, ∴y=f(x)在[0,+∞)上是减函数,由 f(a)≤f(2), 得 f(|a|)≤f(2). ∴|a|≥2,得 a≤-2 或 a≥2. 3 1 10.设数集 M={x|m≤x≤m+ },N={x|n- ≤x≤n},且 M、N 都是集合{x|0≤x≤1}的子集, 4 3 如果把 b-a 叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”, 那么集合 M∩N 的“长度”的最小值是( A. C. 1 2 B. 3 3 1 5 D. 12 12 )

答案 C 3 1 解析 由集合长度的定义知 M 的长度为 ,N 的长度为 ,若要使 M∩N 的长度最小则应使 M 的 4 3 左端点 m 与 N 的右端点 n 离得最远,又∵M、N 都是集合{x|0≤x≤1}的子集,∴应使 m=0,n 3 2 2 3 3 2 1 =1.此时 M={x|0≤x≤ }, N={x| ≤x≤1}, 此时 M∩N={x| ≤ x≤ }, 其长度为 - = . 4 3 3 4 4 3 12
3

二、填空题 11.已知函数 f(x)= x-1.若 f(a)=3,则实数 a=________. 答案 10 解析 因为 f(a)= a-1=3,所以 a-1=9,即 a=10. 12.设集合 A={x|1<x<2},B={x|x<a},满足 A? B,则实数 a 的取值范围是________. 答案 {a|a≥2} 解析 如图,可知 a≥2.

13 .已知函数 f(x) = 4x - mx +5 在区间 [ - 2,+∞)上是增函数,则 f(1)的取值范围是 ________. 答案 [25,+∞) 解析 函数 f(x)的增区间为[ ,+∞),函数在区间[-2,+∞)上是增函数,所以 ≤-2, 8 8

2

m

m

m≤-16,-m≥16.f(1)=4-m+5≥4+16+5=25.
14.已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=x -4x,那么,不等式 f(x+2) <5 的解集是________. 答案 {x|-7<x<3} 解析 设 x<0,则-x>0.
2

∵当 x≥0 时,f(x)=x -4x, ∴f(-x)=(-x) -4(-x). ∵f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴f(-x)=f(x) ∴f(x)=x +4x(x<0),
?x -4x,x≥0, ? ∴f(x)=? 2 ?x +4x,x<0. ? ? ?x -4x=5, 由 f(x)=5 得? ?x≥0 ?
2 2 2 2

2

? ?x +4x=5, 或? ?x<0, ?

2

∴x=5 或 x=-5.

4

观察图象可知由 f(x)<5,得-5<x<5. ∴由 f(x+2)<5,得-5<x+2<5,∴-7<x<3. ∴不等式 f(x+2)<5 的解集是{x|-7<x<3}. 三、解答题 15.已知集合 A={x|2-a≤x≤2+a},B={x|x≤1,或 x≥4}. (1)当 a=3 时,求 A∩B; (2)若 A∩B=?,求实数 a 的取值范围. 解 (1)当 a=3 时,A={x|-1≤x≤5},B={x|x≤1 或 x≥4}, ∴A∩B={x|-1≤x≤1,或 4≤x≤5}. (2)(ⅰ)若 A=?,此时 2-a>2+a, ∴a<0,满足 A∩B=?. (ⅱ)当 a≥0 时,A={x|2-a≤x≤2+a}≠?,
?2-a>1, ? ∵A∩B=?,∴? ? ?2+a<4,

∴0≤a<1.

综上可知,实数 a 的取值范围是(-∞,1). 16.已知函数 f(x)=-2x+m,其中 m 为常数. (1)求证:函数 f(x)在 R 上是减函数; (2)当函数 f(x)是奇函数时,求实数 m 的值. (1)证明 任取 x1<x2∈R,则 f(x1)-f(x2)=-2x1+m-(-2x2+m)=2(x2-x1). 又∵x1<x2,∴x2-x1>0. ∴f(x1)-f(x2)>0. ∴f(x1)>f(x2). ∴f(x)为 R 上的减函数. (2)解 ∵f(x)为奇函数, ∴f(-x)=2x+m=-f(x)=2x-m, ∴m=0. 17.函数 f(x)=4x -4ax+a -2a+2 在区间[0,2]上有最小值 3,求 a 的值. 解 f(x)=4(x- ) -2a+2, 2 ①当 ≤0,即 a≤0 时,函数 f(x)在[0,2]上是增函数. 2 ∴f(x)min=f(0)=a -2a+2. 由 a -2a+2=3,得 a=1± 2. ∵a≤0,∴a=1- 2.
2 2 2 2

a

2

a

5

②当 0< <2,即 0<a<4 时, 2

a

a f(x)min=f( )=-2a+2.
2 1 由-2a+2=3,得 a=- ?(0,4),舍去. 2 ③当 ≥2,即 a≥4 时,函数 f(x)在[0,2]上是减函数, 2

a

f(x)min=f(2)=a2-10a+18.
由 a -10a+18=3,得 a=5± 10. ∵a≥4,∴a=5+ 10. 综上所述,a=1- 2或 a=5+ 10. 18.若 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切 x,y>0,满足 f( )=f(x)-f(y). (1)求 f(1)的值; 1 (2)若 f(6)=1,解不等式 f(x+3)-f( )<2. 3 解 (1)在 f( )=f(x)-f(y)中,令 x=y=1, 则有 f(1)=f (1)-f(1),∴f(1)=0. (2)∵f(6)=1, 1 ∴f(x+3)-f( )<2=f(6)+f(6), 3 ∴f(3x+9)-f(6)<f(6), 即 f(
2

x y

x y

x+3
2

)<f(6).

∵f(x)是(0,+∞)上的增函数,

x+3 ? ? 2 >0, ∴? x+3 ? ? 2 <6,
解得-3<x<9. 即不等式的解集为(-3,9).

6


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