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永寿县外国语学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

永寿县外国语学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 已知直线 l⊥平面 α,直线 m?平面 β,有下面四个命题: (1)α∥β?l⊥m,(2)α⊥β?l∥m, (3)l∥m?α⊥β,(4)l⊥m?α∥β, 其中正确命题是( ) A.(1)与(2) B.(1)与(3) C.(2)与(4) D.(3)与(4)   2. 已知| |=3,| |=1, 与 的夹角为 A.2   3. B. ,那么| ﹣4 |等于( C. ) D.13 )

姓名__________

分数__________

是 z 的共轭复数,若 z+ =2,(z﹣ )i=2(i 为虚数单位),则 z=( C.﹣1+i D.1﹣i

A.1+i B.﹣1﹣i )

4. 棱长为 2 的正方体被一个平面截去一部分后所得的几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(

A. ) A.1372  

B.18

C.

D.

5. 将正方形的每条边 8 等分,再取分点为顶点(不包括正方形的顶点),可以得到不同的三角形个数为( B.2024 C.3136 D.4495

?2 x ? y ? 2 ? 0, ? 2 2 6. 如果点 P 在平面区域 ? x ? 2 y ? 1 ? 0, 上,点 Q 在曲线 x ? ( y ? 2) ? 1 上,那么 | PQ | 的最小值为 ?x ? y ? 2 ? 0 ?
( ) B. A. 5 ? 1

4 ?1 5

C. 2 2 ? 1

D. 2 ? 1

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7. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 m>1,且 am﹣1+am+1﹣am2=0,S2m﹣1=38,则 m 等于( A.38 B.20 C.10 D.9

) )

8. 定义在 R 上的偶函数在[0,7]上是增函数,在[7,+∞)上是减函数,又 f(7)=6,则 f(x)( A.在[﹣7,0]上是增函数,且最大值是 6 B.在[﹣7,0]上是增函数,且最小值是 6 C.在[﹣7,0]上是减函数,且最小值是 6 D.在[﹣7,0]上是减函数,且最大值是 6 9. 命题“若 a>b,则 a﹣8>b﹣8”的逆否命题是( A.若 a<b,则 a﹣8<b﹣8 C.若 a≤b,则 a﹣8≤b﹣8 D.若 a﹣8≤b﹣8,则 a≤b 10.设曲线 y=ax2 在点(1,a)处的切线与直线 2x﹣y﹣6=0 平行,则 a=( A.1 B. C. D.﹣1 ) ) B.若 a﹣8>b﹣8,则 a>b

11.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+3)=f(x),当 0<x≤1 时,f(x)=2x,则 f (2015)=( ) A.2   12.已知△ABC 的周长为 20,且顶点 B (0,﹣4) ,C (0,4) ,则顶点 A 的轨迹方程是( A. C.   (x≠0) (x≠0) B. D. (x≠0) (x≠0) ) B.﹣2 C.﹣ D.

二、填空题
13.若 x,y 满足线性约束条件 14.函数 ,则 z=2x+4y 的最大值为  . 的单调递增区间是      .

15.已知△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,asinA=bsinB+(c﹣b)sinC,且 bc=4,则△ABC 的 面积为      . 16. 【徐州市第三中学 2017~2018 学年度高三第一学期月考】 函数 f ? x ? ? ? x ? x 的单调增区间是__________.
3

17.如图所示是 y=f(x)的导函数的图象,有下列四个命题:

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①f(x)在(﹣3,1)上是增函数; ②x=﹣1 是 f(x)的极小值点; ③f(x)在(2,4)上是减函数,在(﹣1,2)上是增函数; ④x=2 是 f(x)的极小值点. 其中真命题为  (填写所有真命题的序号).

  18 . 已 知 a 、 b 、 c 分 别 是 ?ABC 三 内 角 A、B、C 的 对 应 的 三 边 , 若 c sin A ? ? a cos C , 则

3 sin A ? cos( B ?
转化思想.

3? ) 的取值范围是___________. 4

【命题意图】本题考查正弦定理、三角函数的性质,意在考查三角变换能力、逻辑思维能力、运算求解能力、

三、解答题
19.某商场销售某种品牌的空调器,每周周初购进一定数量的空调器,商场每销售一台空调器可获利 500 元, 若供大于求,则每台多余的空调器需交保管费 100 元 ; 若供不应求,则可从其他商店调剂供应,此时每台空调 器仅获利润 200 元. (Ⅰ)若该商场周初购进 20 台空调器,求当周的利润(单位:元)关于当周需求量 n(单位:台,n∈N)的 函数解析式 f(n); (Ⅱ)该商场记录了去年夏天(共 10 周)空调器需求量 n(单位:台),整理得表: 18 19 20 21 22 周需求量 n 频数 1 2 3 3 1 X 表示当周的利润 以 10 周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率, 若商场周初购进 20 台空调器, (单 位:元),求 X 的分布列及数学期望.

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20.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的极坐标方程是 ? ?

2 ,曲线 C 2 的参数方程是

? x ? 1, ? ? ? ? 1 (t ? 0, ? ? [ , ],? 是参数). 6 2 y ? 2t sin ? ? ? 2 ? (Ⅰ)写出曲线 C1 的直角坐标方程和曲线 C 2 的普通方程;
(Ⅱ)求 t 的取值范围,使得 C1 , C 2 没有公共点.

21.如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, A1 A ? AB, CB ? A1 ABB1 . (1)求证: AB1 ? 平面 A1 BC ; (2)若 AC ? 5, BC ? 3, ?A1 AB ? 60? ,求三棱锥 C ? AA1 B 的体积.

22.如图,A 地到火车站共有两条路径



,据统计,通过两条路径所用的时间互不影响,所

用时间落在个时间段内的频率如下表:
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现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站。 (1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和乙应如何选择各自的路径? (2)用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数,针对(1)的选择方案,求 X 的分布列和数学期望 。

23.如图的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和侧视图在下面画出 (单位:cm). (1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积; (3)在所给直观图中连结 BC′,证明:BC′∥面 EFG.

 

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24.武汉市为增强市民交通安全意识,面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取 100 名按年龄分组:第 1 组[20,25),第 2 组[25,30),第 3 组[30,35),第 4 组[35,40),第 5 组[40,45], 得到的频率分布直方图如图所示. (1)分别求第 3,4,5 组的频率; (2)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参加广场的宣传活动,应从第 3,4,5 组各抽取 多少名志愿者? (3)在(2)的条件下,该市决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验,求第 4 组至少有一名 志愿者被抽中的概率.

 

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永寿县外国语学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】解:∵直线 l⊥平面 α,α∥β,∴l⊥平面 β,又∵直线 m?平面 β,∴l⊥m,故(1)正确; ∵直线 l⊥平面 α,α⊥β,∴l∥平面 β,或 l?平面 β,又∵直线 m?平面 β,∴l 与 m 可能平行也可能 相交,还可以异面,故(2)错误; ∵直线 l⊥平面 α,l∥m,∴m⊥α,∵直线 m?平面 β,∴α⊥β,故(3)正确; ∵直线 l⊥平面 α,l⊥m,∴m∥α 或 m?α,又∵直线 m?平面 β,则 α 与 β 可能平行也可能相交,故( 4)错误; 故选 B. 【点评】 本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系, 其中熟练掌握空间中直线与平面位置关系的 判定及性质定理,建立良好的空间想像能力是解答本题的关键.   2. 【答案】C 【解析】解:| |=3,| |=1, 与 的夹角为 可得 =| || |cos< , >=3×1× = , ,

即有| ﹣4 |= = 故选:C. 【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质,考查向量的平方即为模的平方,考查运算能力,属于基础题.   3. 【答案】D 【解析】解:由于,(z﹣ 又 z+ =2 ② 由①②解得 z=1﹣i 故选 D.   4. 【答案】D 【解析】解:由三视图可知正方体边长为 2,截去部分为三棱锥,作出几何体的直观图如图所示: )i=2,可得 z﹣ =﹣2i ① = .

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故该几何体的表面积为:3×22+3×( 故选:D.   5. 【答案】   C 【解析】 【专题】排列组合.

)+

=



【分析】分两类,第一类,三点分别在三条边上,第二类,三角形的两个顶点在正方形的一条边上,第三个顶 点在另一条边,根据分类计数原理可得. 【解答】解 : 首先注意到三角形的三个顶点不在正方形的同一边上.任选正方形的三边,使三个顶点分别在其 上,有 4 种方法, 再在选出的三条边上各选一点,有 73 种方法.这类三角形共有 4×73=1372 个. 另外,若三角形有两个顶点在正方形的一条边上,第三个顶点在另一条边上,则先取一边使其上有三角形的两 个顶点,有 4 种方法, 再在这条边上任取两点有 21 种方法,然后在其余的 21 个分点中任取一点作为第三个顶点.这类三角形共有 4×21×21=1764 个. 综上可知,可得不同三角形的个数为 1372+1764=3136. 故选:C. 【点评】本题考查了分类计数原理,关键是分类,还要结合几何图形,属于中档题. 6. 【答案】A 【解析】 试题分析:根据约束条件画出可行域 Z ?| PQ | 表示圆上的点到可行域的距离,当在点 A 处时,求出圆心到可 行域的距离内的点的最小距离 5 ,?当在点 A 处最小, | PQ | 最小值为 5 ? 1 ,因此,本题正确答案是 5 ? 1 .

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考点:线性规划求最值. 7. 【答案】C 【解析】解:根据等差数列的性质可得:am﹣1+am+1=2am, 则 am﹣1+am+1﹣am2=am(2﹣am)=0, 解得:am=0 或 am=2, 若 am 等于 0,显然 S2m﹣1= =(2m﹣1)am=38 不成立,故有 am=2, ∴S2m﹣1=(2m﹣1)am=4m﹣2=38, 解得 m=10. 故选 C   8. 【答案】D 【解析】解:∵函数在[0,7]上是增函数,在[7,+∞)上是减函数, ∴函数 f(x)在 x=7 时,函数取得最大值 f(7)=6, ∵函数 f(x)是偶函数, ∴在[﹣7,0]上是减函数,且最大值是 6, 故选:D   9. 【答案】D

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【解析】解:根据逆否命题和原命题之间的关系可得命题“若 a>b,则 a﹣8>b﹣8”的逆否命题是:若 a﹣8≤b﹣8,则 a≤b. 故选 D. 【点评】本题主要考查逆否命题和原命题之间的关系,要求熟练掌握四种命题之间的关系.比较基础.   10.【答案】A 【解析】解:y'=2ax, 于是切线的斜率 k=y'|x=1=2a,∵切线与直线 2x﹣y﹣6=0 平行 ∴有 2a=2 ∴a=1 故选:A 【点评】本题考查导数的几何意义:曲线在切点处的导数值是切线的斜率.   11.【答案】B 【解析】解:因为 f(x+3)=f(x),函数 f(x)的周期是 3, 所以 f(2015)=f(3×672﹣1)=f(﹣1); 又因为函数 f(x)是定义 R 上的奇函数,当 0<x≤1 时,f(x)=2x, 所以 f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2, 即 f(2015)=﹣2. 故选:B. 【点评】本题主要考查了函数的周期性、奇偶性的运用,属于基础题,解答此题的关键是分析出 f(2015)=f( 3×672﹣1)=f(﹣1).   12.【答案】B 【解析】解:∵△ABC 的周长为 20,顶点 B (0,﹣4),C (0,4), ∴BC=8,AB+AC=20﹣8=12, ∵12>8 ∴点 A 到两个定点的距离之和等于定值, ∴点 A 的轨迹是椭圆, ∵a=6,c=4 ∴b2=20, ∴椭圆的方程是

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故选 B. 【点评】本题考查椭圆的定义,注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小,看能不能构成椭圆,本题是一个易 错题,容易忽略掉不合题意的点.  

二、填空题
13.【答案】 38 . 【解析】解:作出不等式组对应的平面区域如图: 由 z=2x+4y 得 y=﹣ x+ , 平移直线 y=﹣ x+ ,由图象可知当直线 y=﹣ x+ 经过点 A 时, 直线 y=﹣ x+ 的截距最大,此时 z 最大, 由 ,解得 ,

即 A(3,8), 此时 z=2×3+4×8=6+32=32, 故答案为:38

  14.【答案】 [2,3) . 【解析】解:令 t=﹣3+4x﹣x2>0,求得 1<x<3,则 y= 本题即求函数 t 在(1,3)上的减区间. 利用二次函数的性质可得函数 t 在(1,3)上的减区间为[2,3), ,

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故答案为:[2,3).   15.【答案】   . 【解析】解:∵asinA=bsinB+(c﹣b)sinC, ∴由正弦定理得 a2=b2+c2﹣bc,即:b2+c2﹣a2=bc, ∴由余弦定理可得 b2=a2+c2﹣2accosB, ∴cosA= ∵bc=4, ∴S△ABC= bcsinA= 故答案为: 【点评】本题主要考查了解三角形问题.考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用,考查了三角形面积公式的 应用,属于中档题.   16.【答案】 ( ? = . = = ,A=60°.可得:sinA= ,

3 3 , 3 3

【解析】 f ? ? x ? ? ?3 x 2 ? 1 ? 0 ? x ? ? ? 17.【答案】 ① 

? ? ?

? 3 3? 3 3? ,所以增区间是 ? ? , ? ? 3 , 3 ? ? 3 3 ? ? ? ?

【解析】解:由图象得:f(x)在(1,3)上递减,在(﹣3,1),(3,+∞)递增, ∴①f(x)在(﹣3,1)上是增函数,正确, x=3 是 f(x)的极小值点,②④不正确; ③f(x)在(2,4)上是减函数,在(﹣1,2)上是增函数,不正确, 故答案为:①.   18.【答案】 (1, 【

6? 2 ) 2
解 析 】

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三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(I)当 n≥20 时,f(n)=500×20+200×(n﹣20)=200n+6000, 当 n≤19 时,f(n)=500×n﹣100×(20﹣n)=600n﹣2000, ∴ .

( II)由(1)得 f(18)=8800,f(19)=9400,f(20)=10000,f(21)=10200,f(22)=10400, ∴P(X=8800)=0.1,P(X=9400)=0.2,P(X=10000)=0.3,P(X=10200)=0.3,P(X=10400)=0.1, X 的分布列为 X 8800 9400 10000 10200 P 0.1 0.2 0.3 0.3 ∴EX=8800×0.1+9400×0.2+10000×0.3+10200×0.3+10400×0.1=9860.   20.【答案】 【解析】 【解析】(Ⅰ)曲线 C1 的直角坐标方程是 x ? y ? 2 ,
2 2

10400 0.1

1 1 ? y ? 2t ? ) …………5 分 2 2 2 2 (Ⅱ)对于曲线 C1 : x ? y ? 2 ,令 x ? 1 ,则有 y ? ?1 .
曲线 C 2 的普通方程是 x ? 1(t ?

?t ? 0 ?t ? 0 ? ? 或? 故当且仅当 ? 1 时, C1 , C 2 没有公共点, 1 t ? ? 1 ?2t ? ? -1 ? ? 2 ? 2 1 解得 t ? .……10 分 2 21.【答案】(1)证明见解析;(2) 4 3 .
【解析】 试题分析:(1)有线面垂直的性质可得 BC ? AB1 ,再由菱形的性质可得 AB1 ? A1 B ,进而有线面垂直的判 定定理可得结论;(2)先证三角形 A1 AB 为正三角形,再由于勾股定理求得 AB 的值,进而的三角形 A1 AB

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的面积,又知三棱锥的高为 BC ? 3 ,利用棱锥的体积公式可得结果.

考 点:1、线面垂直的判定定理;2、勾股定理及棱锥的体积公式. 22.【答案】 【解析】(1)Ai 表示事件“甲选择路径 Li 时,40 分钟内赶到火车站”,Bi 表示事件“乙选择路径 Li 时,50 分钟内赶到火车站”,i=1,2,用频率估计相应的概率可得 P(A1)=0。1+0。2+0。3=0。6,P(A2)=0。1+0。4=0。5, P(A1) >P(A2), P(B2) >P(B1), 甲应选择 Li 乙应选择 L2。 P(B1)=0。1+0。2+0。3+0。2=0。8,P(B2)=0。1+0。4+0。4=0。9, (2)A,B 分别表示针对(Ⅰ)的选择方案,甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站,由(Ⅰ)知 ,又由题意知,A,B 独立,

23.【答案】 【解析】解:(1)如图 (2)它可以看成一个长方体截去一个小三棱锥, 设长方体体积为 V1,小三棱锥的体积为 V2,则根据图中所给条件得:V1=6×4×4=96cm3, V2= ? ?2?2?2= cm3, ∴V=v1﹣v2= cm3

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(3)证明:如图,

在长方体 ABCD﹣A′B′C′D′中,连接 AD′,则 AD′∥BC′ 因为 E,G 分别为 AA′,A′D′中点,所以 AD′∥EG,从而 EG∥BC′, 又 EG?平面 EFG,所以 BC′∥平面 EFG;

  2016 年 4 月 26 日 24.【答案】 【解析】解:(1)由题意可知第 3 组的频率为 0.06×5=0.3, 第 4 组的频率为 0.04×5=0.2, 第 5 组的频率为 0.02×5=0.1; (2)第 3 组的人数为 0.3×100=30, 第 4 组的人数为 0.2×100=20, 第 5 组的人数为 0.1×100=10; 因为第 3,4,5 组共有 60 名志愿者, 所以利用分层抽样的方法在 60 名志愿者中抽取 6 名志愿者, 每组抽取的人数分别为:第 3 组 =3;第 4 组 =2;第 5 组 =1;

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应从第 3,4,5 组各抽取 3,2,1 名志愿者. (3)记第 3 组 3 名志愿者为 1,2,3;第 4 组 2 名志愿者为 4,5;第 5 组 1 名志愿者为 6; 在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者有: (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,4),(3,5),(3,6), (4,5),(4,6), (5,6); 共有 15 种,第 4 组 2 名志愿者为 4,5;至少有一名志愿者被抽中共有 9 种, 所以第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率为 .

【点评】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率,频率分布直方图,考查计算能力.  

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