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万源市一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

万源市一中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________ 一、选择题
1. 下列命题中的说法正确的是( ) A.命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为“若 x2=1,则 x≠1” B.“x=﹣1”是“x2+5x﹣6=0”的必要不充分条件 C.命题“?x∈R,使得 x2+x+1<0”的否定是:“?x∈R,均有 x2+x+1>0” D.命题“在△ ABC 中,若 A>B,则 sinA>sinB”的逆否命题为真命题

2. 若实数 x,y 满足

,则(x﹣3)2+y2 的最小值是(



A. B.8 C.20 D.2

3. 下列函数在(0,+∞)上是增函数的是( )

A.

B.y=﹣2x+5

C.y=lnx

D.y=

4. 已知 a∈R,复数 z=(a﹣2i)(1+i)(i 为虚数单位)在复平面内对应的点为 M,则“a=0”是“点 M 在第四 象限”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

5.

已知双曲线

C



x2 a2

?

y2 b2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ),以双曲线 C 的一个顶点为圆心,为半径的圆

被双曲线 C 截得劣弧长为 2? a ,则双曲线 C 的离心率为(



3

A. 6 5

B. 2 10 5

C. 4 2 5

D. 4 3 5

6. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

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A. B. C. D.

7. 已知 e 为自然对数的底数,若对任意的 x ?[1 ,1] ,总存在唯一的 y ?[?1,1] ,使得 ln x ? x ?1? a ? y2ey e
成立,则实数 a 的取值范围是( )

A.[1 , e] e

B. ( 2 , e] e

C. ( 2 , ??) e

D. (2 , e ? 1) ee

【命题意图】本题考查导数与函数的单调性,函数的最值的关系,函数与方程的关系等基础知识,意在考查运

用转化与化归思想、综合分析问题与解决问题的能力.

8. 如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是菱形,AB=2,∠BAD=60°.

(Ⅰ)求证:BD⊥平面 PAC; (Ⅱ)若 PA=AB,求 PB 与 AC 所成角的余弦值; (Ⅲ)当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时,求 PA 的长.

【考点】直线与平面垂直的判定;点、线、面间的距离计算;用空间向量求直线间的夹角、距离.
9. 若{an} 为等差数列, Sn 为其前项和,若 a1 ? 0 , d ? 0 , S4 ? S8 ,则 Sn ? 0 成立的最大自
然数为( )
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A.11 10.设 0<a<1,实数 x,y 满足

B.12

C.13 ,则 y 关于 x 的函数的图象形状大致是(

D.14 )

A.

B.

C.

D.

11

11.设 a , b 为正实数, a ? b ? 2 2 , (a ? b)2 ? 4(ab)3 ,则 loga b =(



A. 0

B. ?1

C.1

D. ?1或 0

【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识,意在考查代数变形能与运算求解能力.
? ? ? ? 12.已知集合 A ? y | y ? ?x2 ? 5 , B ? x | y ? x ? 3 , A B ? ( )

A.?1, ??? B.?1,3? C. ?3,5? D.?3,5?

【命题意图】本题考查二次函数的图象和函数定义域等基础知识,意在考查基本运算能力.

二、填空题

13.已知函数 f(x)=sinx﹣cosx,则

=



14.如果直线 3ax+y﹣1=0 与直线(1﹣2a)x+ay+1=0 平行.那么 a 等于



15.将一张坐标纸折叠一次,使点 ?0, 2? 与点 ?4, 0? 重合,且点 ?7,3?与点 ?m, n? 重合,则 m ? n的

值是



16.将一个半径为 3 和两个半径为 1 的球完全装入底面边长为 6 的正四棱柱容器中,则正四棱柱容器的高的最

小值为



lnx ? 1 ,x ? 1,

17.【2017-2018 学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数 f ? x? ? {

x



2x2 ? mx ? m ? 5,x ? 1,

28

g ? x? ? f ? x? ? m 有三个零点,则实数 m 的取值范围是________.

18.在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,若 c ? cos B ? a ? 1 b , ?ABC 的面积 S ? 3 c ,

2

12

则边 c 的最小值为_______.

【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等基础知识,意在考查基本运算能

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力.
三、解答题
19.设函数 f(x)= x2ex.
(1)求 f(x)的单调区间; (2)若当 x∈[﹣2,2]时,不等式 f(x)>m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

20.如图,M、N 是焦点为 F 的抛物线 y2=2px(p>0)上两个不同的点,且线段 MN 中点 A 的横坐标为



(1)求|MF|+|NF|的值; (2)若 p=2,直线 MN 与 x 轴交于点 B 点,求点 B 横坐标的取值范围.

21.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲. 如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,BC 交⊙O 于 E,过 E 的 (1)求证:CD=DA; (2)若 CE=1,AB= 2,求 DE 的长.
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切线与 AC 交于 D.

22.(本题满分 12 分)已知向量 a ? (sin x, 3 (sin x ? cos x)) , b ? (cosx,sin x ? cosx) , x ? R ,记函数 2
f (x) ? a ?b . (1)求函数 f (x) 的单调递增区间; (2)在 ?ABC中,角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c 且满足 2b ? c ? 2a cosC ,求 f (B) 的取值范围.
【命题意图】本题考查了向量的内积运算,三角函数的化简及性质的探讨,并与解三角形知识相互交汇,对基 本运算能力、逻辑推理能力有一定要求,但突出了基础知识的考查,仍属于容易题.
23.如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=AC=AA1=BC1=2,∠AA1C1=60°,平面 ABC1⊥平面 AA1C1C,AC1 与 A1C 相交于点 D. (1)求证:BD⊥平面 AA1C1C; (2)求二面角 C1﹣AB﹣C 的余弦值.
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24.(本小题满分 12 分) 一个盒子里装有编号为 1、2、3、4、5 的五个大小相同的小球,第一次从盒子里随机抽取 2 个小球,记下球的 编号,并将小球放回盒子,第二次再从盒子里随机抽取 2 个小球,记下球的编号. (Ⅰ)求第一次或第二次取到 3 号球的概率;
(Ⅱ)设? 为两次取球时取到相同编号的小球的个数,求? 的分布列与数学期望.
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万源市一中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D 【解析】解:A.命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为“若 x2≠1,则 x≠1”,故 A 错误, B.由 x2+5x﹣6=0 得 x=1 或 x=﹣6,即“x=﹣1”是“x2+5x﹣6=0”既不充分也不必要条件,故 B 错误, C.命题“?x∈R,使得 x2+x+1<0”的否定是:“?x∈R,均有 x2+x+1≤0﹣5,故 C 错误, D.若 A>B,则 a>b,由正弦定理得 sinA>sinB,即命题“在△ABC 中,若 A>B,则 sinA>sinB”的为真命 题.则命题的逆否命题也成立,故 D 正确 故选:D. 【点评】本题主要考查命题的真假判断,涉及四种命题的关系以及充分条件和必要条件的判断,含有量词的命 题的否定,比较基础.
2. 【答案】A 【解析】解:画出满足条件的平面区域,如图示:


由图象得 P(3,0)到平面区域的最短距离 dmin= , ∴(x﹣3)2+y2 的最小值是: . 故选:A. 【点评】本题考查了简单的线性规划问题,考查数形结合思想,是一道基础题.
3. 【答案】C

【解析】解:对于 A,函数 y=

在(﹣∞,+∞)上是减函数,∴不满足题意;

对于 B,函数 y=﹣2x+5 在(﹣∞,+∞)上是减函数,∴不满足题意; 对于 C,函数 y=lnx 在(0,+∞)上是增函数,∴满足题意;

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对于 D,函数 y= 在(0,+∞)上是减函数,∴不满足题意. 故选:C. 【点评】本题考查了基本初等函数的单调性的判断问题,是基础题目. 4. 【答案】A 【解析】解:若 a=0,则 z=﹣2i(1+i)=2﹣2i,点 M 在第四象限,是充分条件, 若点 M 在第四象限,则 z=(a+2)+(a﹣2)i,推出﹣2<a<2,推不出 a=0,不是必要条件; 故选:A. 【点评】本题考查了充分必要条件,考查了复数问题,是一道基础题. 5. 【答案】B
考点:双曲线的性质. 6. 【答案】 B 【解析】解:三视图复原的几何体是一个半圆锥和圆柱的组合体, 它们的底面直径均为 2,故底面半径为 1, 圆柱的高为 1,半圆锥的高为 2, 故圆柱的体积为:π×12×1=π,
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半圆锥的体积为: 故该几何体的体积 V=π+ = 故选:B

×= , ,

7. 【答案】B









8. 【答案】

【解析】解:(I)证明:因为四边形 ABCD 是菱形,所以 AC⊥BD, 又因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥BD,PA∩AC=A 所以 BD⊥平面 PAC (II)设 AC∩BD=O,因为∠BAD=60°,PA=AB=2, 所以 BO=1,AO=OC= , 以 O 为坐标原点,分别以 OB,OC 为 x 轴、y 轴,以过 O 且垂直于平面 ABCD 的直线为 z 轴,建立空间直角 坐标系 O﹣xyz,则 P(0,﹣ ,2),A(0,﹣ ,0),B(1,0,0),C(0, ,0)

所以 =(1, ,﹣2),

设 PB 与 AC 所成的角为 θ,则 cosθ=|

(III)由(II)知

,设





设平面 PBC 的法向量 =(x,y,z)



=0,

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所以





平面 PBC 的法向量所以 同理平面 PDC 的法向量

, ,因为平面 PBC⊥平面 PDC,

所以 =0,即﹣6+ =0,解得 t= ,
所以 PA= . 【点评】本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的 夹角、距离等问题,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求 解能力

9. 【答案】A 【解析】

考 点:得出数列的性质及前项和. 【方法点晴】本题主要考查了等差出数列的性质及前项和问题的应用,其中解答中涉及到等差数列的性质,等 差数列的前项和等公式的灵活应用的知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及推
理与运算能力,属于中档题,本题的解答中,由“ a1 ? 0 , d ? 0 ”判断前项和的符号问题是解答的关键.

10.【答案】A

【解析】解:0<a<1,实数 x,y 满足

,即 y= ,故函数 y 为偶函数,它的图象关于 y

轴对称, 在(0,+∞)上单调递增,且函数的图象经过点(0,1), 故选:A. 【点评】本题主要指数式与对数式的互化,函数的奇偶性、单调性以及特殊点,属于中档题.

11.【答案】B.

【解析】 (a ? b)2 ? 4(ab)3 ? (a ? b)2 ? 4ab ? 4(ab)3 ,故 1 ? 1 ? 2 2 ? a ? b ? 2 2

ab

ab

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?

(a ? b)2 (ab)2

?8?

4ab ? 4(ab)3 (ab) 2

?

4(ab ?

1 )?8? ab

ab ?

1 ab

?

2 ,而事实上 ab ?

1 ab

?

2

ab ? 1 ? 2 , ab

∴ ab ?1 ,∴ loga b ? ?1,故选 B.

12.【答案】D

? ? 【解析】 A ? ?y | y ? 5?, B ? x | y ? x ? 3 ? ?x | x ? 3?, ? A B ? ?3,5? ,故选 D.

二、填空题

13.【答案】



【解析】解:∵函数 f(x)=sinx﹣cosx= sin(x﹣ ),



= sin(﹣ )=﹣

=﹣ ,

故答案为:﹣ . 【点评】本题主要考查两角差的正弦公式,属于基础题.

14.【答案】



【解析】解:∵直线 3ax+y﹣1=0 与直线(1﹣2a)x+ay+1=0 平行, ∴3aa=1(1﹣2a),解得 a=﹣1 或 a= , 经检验当 a=﹣1 时,两直线重合,应舍去 故答案为: . 【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系,属基础题.
15.【答案】 34 5
【解析】

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点:点关于直线对称;直线的点斜式方程.

16.【答案】 4+



【解析】解:作出正四棱柱的对角面如图,

∵底面边长为 6,∴BC= ,

球 O 的半径为 3,球 O1 的半径为 1,





在 Rt△OMO1 中,OO1=4,





=



∴正四棱柱容器的高的最小值为 4+



故答案为:4+



【点评】本题考查球的体积和表面积,考查空间想象能力和思维能力,是中档题.

17.【答案】

???1,74

? ??

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【解析】
18.【答案】1

三、解答题
19.【答案】

【解析】解:(1)



令 ∴f(x)的单增区间为(﹣∞,﹣2)和(0,+∞); 单减区间为(﹣2,0).… (2)令 ∴x=0 和 x=﹣2,… ∴ ∴f(x)∈[0,2e2]… ∴m<0…

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20.【答案】 【解析】解:(1)设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2=8﹣p,|MF|=x1+ ,|NF|=x2+ , ∴|MF|+|NF|=x1+x2+p=8; (2)p=2 时,y2=4x, 若直线 MN 斜率不存在,则 B(3,0); 若直线 MN 斜率存在,设 A(3,t)(t≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),则 代入利用点差法,可得 y12﹣y22=4(x1﹣x2) ∴kMN= , ∴直线 MN 的方程为 y﹣t= (x﹣3), ∴B 的横坐标为 x=3﹣ , 直线 MN 代入 y2=4x,可得 y2﹣2ty+2t2﹣12=0 △>0 可得 0<t2<12, ∴x=3﹣ ∈(﹣3,3), ∴点 B 横坐标的取值范围是(﹣3,3). 【点评】本题考查抛物线的定义,考查点差法,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
21.【答案】 【解析】解:(1)证明:
如图,连接 AE, ∵AB 是⊙O 的直径, AC,DE 均为⊙O 的切线, ∴∠AEC=∠AEB=90°, ∠DAE=∠DEA=∠B, ∴DA=DE. ∠C=90°-∠B=90°-∠DEA=∠DEC, ∴DC=DE,
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∴CD=DA.

(2)∵CA 是⊙O 的切线,AB 是直径,

∴∠CAB=90°,

由勾股定理得 CA2=CB2-AB2,

又 CA2=CE×CB,CE=1,AB= 2,

∴1·CB=CB2-2,

即 CB2-CB-2=0,解得 CB=2,

∴CA2=1×2=2,∴CA= 2.

由(1)知 DE=12CA= 22,

所以

DE

的长为

2 2.

22.【答案】

【解析】(1)由题意知, f (x) ? a ?b ? sin x cos x ? 3 (sin x ? cos x)(sin x ? cos x) 2

? 1 sin 2x ? 3 cos 2x ? sin(2x ? ? ) ……………………………………3 分

2

2

3

令 2k? ? ? ? 2x ? ? ? 2k? ? ? , k ? Z ,则可得 k? ? ? ? x ? k? ? 5? , k ? Z .

2

3

2

12

12

∴ f (x) 的单调递增区间为[k? ? ? , k? ? 5? ] ( k ? Z ).…………………………5 分

12

12

23.【答案】 【解析】解:(1)∵四边形 AA1C1C 为平行四边形,∴AC=A1C1,
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∵AC=AA1,∴AA1=A1C1, ∵∠AA1C1=60°,∴△AA1C1 为等边三角形, 同理△ABC1 是等边三角形, ∵D 为 AC1 的中点,∴BD⊥AC1, ∵平面 ABC1⊥平面 AA1C1C,

平面 ABC1∩平面 AA1C1C=AC1,BD?平面 ABC1, ∴BD⊥平面 AA1C1C.

(2)以点 D 为坐标原点,DA、DC、DB 分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,

平面 ABC1 的一个法向量为

,设平面 ABC 的法向量为



由题意可得



,则



所以平面 ABC 的一个法向量为 =( ,1,1),

∴cosθ=



即二面角 C1﹣AB﹣C 的余弦值等于 .

【点评】本题在三棱柱中求证线面垂直,并求二面角的平面角大小.着重考查了面面垂直的判定与性质、棱柱 的性质、余弦定理、二面角的定义及求法等知识,属于中档题.

24.【答案】

【解析】解:(Ⅰ)事件“第一次或第二次取到 3 号球的概率”的对立事件为“二次取球都没有取到 3 号球”,

∴所求概率为 P ? 1? C42 ? C42 ? 16 (6 分) C52 C52 25

(Ⅱ)? ? 0,1, 2, P(? ? 0) ? C32 ? 3 , P(? ? 1) ? C21 ?C31 ? 3 , P(? ? 2) ? C22 ? 1 ,(9 分)

C52 10

C52

5

C52 10

故 ? 的分布列为:

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?

0

1

2

3

3

1

P

10 5 10

(10 分)
∴ E? ? 0? 3 ?1? 3 ? 2? 1 ? 4 (12 分) 10 5 10 5

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