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中国与新加坡高中数学教材微积分内容比较研究


4  

数 学通 报 

21 0 2年  第 5 1卷  第 1 2期 

中 国与新加坡高 中数学教材微积 分  内容 比较研究①  
( .华 东 师 范 大 学 数 学 系 2 0 4   2 浙 江 理工 大学 理 学 院 3 0 1 ) 1 021 . 1 0 8 

目前 , 积 分 是 近年 来 高 中 数学 教 材 中变 化  微 比较 多 的 内容 . 中微 积 分 的教 学 既关 乎 于 高 中  高 毕业 生对 微 积分基 本思 想 方法 的理 解应 用也 关 乎 

分 为 H1课 程 大 纲 、 H2课 程 大 纲 和 H3课 程 大 

纲 , 中 H1 程 内容相 当于 H2课 程 的一 半 , 其 课 深 
度 与 H2课程 相 当 ; H3课 程 为高 级 深 化 课 程 , 为 

于高 中与 大学 间 的衔 接 问题 . 2 自 0世 纪 9 O年代 
中期 以来 , 为一 个 只有 四百 多万 人 口的小 国 , 作 新  加坡 的数学 教育 因其 在 国际数 学与 科学 教育 调 查  ( Ms ) 的 成 绩 而 备 受 国 际 数 学 教 育 界 的 关  TI S 中
注, 另一 方 面 , 国 和新 加 坡 同 属 东方 文化 系 统 , 中   其 文化 背景 、 育制 度都 有一 定 的相似 程度 , 以 教 所  

学 有余 力或 希望 能在 某个 领域 深入 学 习的学 生 开 

设 j新 加坡 对高 中教 科 书没有 统一 编 制 , . 而是 由  
各 个 出版社 或 学 校根 据教 学 大 纲 自行 编 制. 研  本 究 所选 用 的教 科 书 为 新 加坡 E B P nP c i   P   a  aic出 f
版 的 《  Mah mai F r A L v 1 ou   H2 te t s( o    e e)V lme c

l[ 简 记 为《 加坡 H2 1) 》  2 新 () 和人教 社 A版 的 高 中 
数学教 材《 数学 ( 修 2 ) I   选 ~2 》  . 2 知识 结构 与 内容 比较  从 篇 幅上 看 , 国 的教 材 是 6 中 7页 , 加 坡 的  新 教材 是 1 2页 . 0 从知 识结 构来 看 , 新加 坡 的教 材要 

我 们选 择新 加 坡 高 中教材 作 为 比较 对 象 , 以期 对 
我 国的微 积分教 材 改革有 所启 示 .  
1 概 况   

新 加坡 学制 为 小学六 年 、 中学 四到五年 , 中  高
两到三 年 ( 初级 学 院两年 、 高级 中学三 年) 高 中结  .
束后 , 生可参 加 A 水准 的考 试. 0 6年 起 , 学 20 新加  坡教 育部 联合 剑桥 大学 考试 中心和新 加坡 考 试评  估 局发 布 了新 的 A水 准 教 学 大纲 . 的教 学 大 纲  新

比我 国 的内容 更丰 富 , 中麦克 劳林级 数 、 定积  其 不
分 、 分 方 程 是 我 国 教 材 所 没 有 的. 体 请 看  微 具
表 1 .  

表 1 知 识 结 构 内容 比较    主题  中国   新 加 坡 

导数 

变化 率 与 导 数 的 概 念 、 数 的 四 则 运  导 数 的 概 念 、 数 的 四则 运 算 、 式 法 则 、 函 数 求  导 导 链 隐
算 、 数 在 研 究 函数 中 的 应 用 ( 调 性 、 导 、 数 方 程 求 导、 数 应 用 ( 导 单   参 导 单调 性 、 凸 性 、 线  凹 切

极值 、 活 中 的优 化 问 题 ) 生  
麦 克 劳 林 级 数  不 定 积 分  无  无 

法 线 、 化 率 、 值 问题 ) 变 最  
对 于 光 滑 函数 的多 项 式 逼 近  有 理 函数 积 分 、 角 函 数 积 分 、 理 函 数 积 分 、 元  三 无 换
积分 、 分部 积 分 

积 分 
微 分 方 程 

定 积 分 的 概 念 、 积 分 基 本 定 理 、 积 、 定 积 分 的概 念 、 积 分 基 本 定 理 、 积 、 转 体 体 积  微 面   微 面 旋
变 速 直 线 运 动 的路 程 、 力 作 功  变 无  一 阶 微 分 方 程 、 阶 微 分 方 程 、 的 曲 线  二 解



基 金 项 目 : 国 教 育科 学 规 划 2 1 全 0 1年度 教 育部 重 点课 题 —— 大 学 与 高 中 衔 接 中 的 学 习 困 难 及 解 决 策 略研 究 ( I 1 9 1 ; D Al 0 5 ) 国 

家社会科学基金十一五规划 21 0 0年 度 教 育 学 重 点课 题 : 要 国 家 高 中 数 学教 材 比较 研 究 ( DA1 0 0 ) 主 A 009.  

21 0 2年  第 5 1卷  第 1 期  2 2 1 导数 部分  . 

数 学通 报 

5  

也 没有 换元 积 分法 和分 部积 分 法及一 些 特殊 函数 

中 国的教 材 中 主要 是 多 项 式 函 数 和 s w 等  i n 基 本 初等 函数 的求 导 问题 . 加 坡 教材 中还 包 括  新

的积分 方法 , 于定 积 分 也 大 多 局 限 于 计算 基 本  关
初 等 函数 的定 积分 值 . 在定 积分 的应 用方 面 , 中国 

复 合 函数 、 函数 等 求 导 方 法 、 阶导 数 、 线 与  隐 高 切
法 线 的求 法 , 这 些 中 国都 没 有. 过 , 加 坡 导  而 不 新 数 公 式表 中只有 g  和 lx的导 数 , 中 国的 还 包  n 而
括了a  和 lgz. o。   2 2 麦 克 劳 林 级 数  .

介 绍 了物 理应 用 , 而新 加坡 没有 , 是新 加坡 教 材  但 中有旋 转体 的体积 .  
2 4 微 分 方 程  .

这一 部分 在 新加 坡 教材 中 的篇 幅很 小 , 只有 

7页. 主要介 绍 了可 分离 变 量 的 、 线性 代 换 的一 阶 
微 分 方程 和 直接 进 行 两 次 积 分 的 二 阶 微 分方 程 ,   并 介 绍 了解 的 曲线 .   3 呈现 方式 与严 格性 水 平 

新加 坡教 材 中给 出 了 6个 例 题 , 细地 推 导  详 了一 些 函 数 的 3阶 或 4阶 展 开 式. 中 “ 2   其 例 ”
如下 :  

( ) 开 函 数 ( +-  的 麦 克 劳 林 级 数 的 前  1展 1 z )
三项 .  

在下 面 的表格 中用△ 表示 新加 坡教 材 中 的情  况 , √表 示 人教 社 的相应 情况 . 用  
3 1 概 念 的引入 与 呈现 方式  .

() 2 如果 X 一÷ , 选取合 适 的 来 求√ 的近    5
似值 .  

新加 坡教 材 中先 给 出 割线 的斜 率 , 后 由极  然 限就 定义 了一 阶 导数 , 下来 简单 的推 导 之 后 就  接 是各 种 函数 的 导 数公 式 表 . 中国教 材 中 由气 球 膨 

() 3 找出另一对能够求出√ 近似值 的 和 z  5   . ( ) z ,z 4 当 一4 , 一寺时, 是否能够很好地求 出  
√ 的近 似值 ?为什 么 ? 5  
这 是一 个开 放 题 , 且 要 求 学 生 能 够 阐 述 自 并   己 的观 点. 过 这 个 例 题 说 明 了麦 克 劳 林 级 数 在  通

胀率 、 时速 度等 引入 了导数 , 瞬 在计 算 瞬时 速度 的  时候 还通 过 改变 △ 的值 , £ 以数 值 表 的形 式列 出 了 
速度 的变 化 趋势 , 用极 限定 义 了导 数 , 又通 过切 线 

斜率 说 明 了导数 的几 何 意义 .  
对 于定 积分 , 加 坡 教 材 只是 将 区 间分 成 五  新 部分 来求 Y—z  与 z轴 和  : 1所 围 成 的面 积 ,  
2  

用作 近 似计 算时 的局 限 性 ( 越 接 近 于 O 近 似 程    ,
度越 好 ) 此 外 , . 在第 二小 节 中 , 还列 举 了三 角 函数  的等 价 无穷 小 , 并介 绍 了几个 简 单 的例 题.  
2 3 积 分  . 

r  

然后就通过例子 I d   x给出 了定积分的求法( 基 
{   本 定理 ) 直 接 由面 积 给 出 了定 积 分 的表 达 式 , , 并 
没 有定 义 定 积 分 , 述 很 含 混 . 国 教 材 则 通 过  表 中

新加坡教材在积分表 中就 直接给 出了 Ia  ( x

dj dJ 专 d』 d 讨 了 曲边梯 形 的面 积 和 变 速 直线 运 动 的位 移 , x’ x. , 南 ,   x  x , ,   并 
后 面还 介绍 了三 角 函数 积分 、 理 函数 积分 、 元  无 换 积分 、 部 积分 等 . 中国 没有 不 定 积 分 的 内容 , 分 而  
分 区 间的方 式 ) .  

“ 割、 分 近似 代 替 、 和 、 极 限” 求 取 四个 步 骤详 细探 

给 出 了一般 的定 义 ( 不过 , 在定 义 中还 是使 用 的均 

表 2 教 材 中的 概 念 

主题  直 接 给 出 
导 数  定 积 分 

引入 方 式  数 学史 
、 J  

呈 现 方 式  现 实 问 题  图像 
√ △  、 J  

数 学 问 题 
△  、 J  

数 值 
、 J  

符 号 
√ △  、 J  

3 2 性质 定 理的 呈现 方 式与 严格 性 水 平  .  新 加 坡教 材 中 的 1 9个 性 质 定 理 中在 严 格 性  水 平方 面 全 是第 一 个 层 次—一 直 接 给 出 的 ; 引  在

入 方 式上 , 有 链 式法 则 和 隐 函数 求 导 法 则 是 通  只
过数 学 问题引 入 的 , 它都 是直 接 给 出. 现方 式  其 呈 上, 只有单 调 性 和求极 值 是采用 函数 图像 说 明 , 其 

6  

数 学通报 
表 3 教 材 中 的 性 质 定 理 
主题  严 格 性水 平  引 入 方 式 

2] 0 2年  第 5 卷  第 1 l 2期 

呈 现 方 式 

直 接 
给出  

举 例 
验 证 

较严 格 
的 说 理 

严 格 
证 明 

直 接 
给出  

数 学 
史 

数 学 
问 题 

现 实 
问 题 

符 号  √ △ 

图像  数 值 

和 的 导数 
差 的导 数 

积 的 导数 
商 的导 数  单 调 性  \ j   △  √  

A 
√ △  △ 

、 J  

、 J  

求 极值 

A 

√ 

△ 

、 。  

. 『  J\

定 积分 的性 质 1 、   J   性质 2  
性质 3   、 J  

、 J  
√ △ 

基 本 定 理 

△ 

、 J  

△ 

、 J  

注 : 于 篇 幅 本 表 中 只显 示 了 中新 两 国 教 材 中 共 有 的 1 限 O个 性 质 、 理 , 加 坡 还 有 9个 定 理 , 下 文 中 再 做 说 明  定 新 在

它 的都 是采 用数 学符 号 的方式 . 外 , 加坡 教 材  此 新

元 微积 分 的主 要 知识 点 和解 题 方 法 , 而我 国 的教 

中具体 函数 的求 导 和积分 公 式共有 4 4个 , 中有  其
5 公式 是 由推 导 得 出 , 余 都 是 不 加证 明 地 直  个 其

材 只是 介 绍 了导 数 和 积 分 的概 念 , 重点 探 讨 了  并 多项式 函数 的微 积 分方法 . 较而 言 , 国 的内容  相 我 更 像是 点 到为止 , 较为 细致 地介 绍 了概 念后 , 在 例 
题 和 习题 都很少 , 若蜻 蜓点 水 . 宛 不过 无论 在 引 入 

接 给 出 ; 有凑 微法 的说 明 , 没 只有直 接使 用凑 微 法 
的例 子 和公式 ; 加 说 明地 将 不 定 积分 的分 部 积  不 分等公 式 推广 到定 积分 . 国的教 材 中 , 出了 8 中 给   个 具 体 函数 的求 导 公式 , 中有 1个 是经 过 证 明  其
的 , 有一 个 是 通 过 特殊 情 况 说 明的 ( - 还 即 z ”的导  数 , 本 中证 明 了 一1 2 一1时的情 况 ) 课   ,, .   4 技 术 使用情 况 

概念还 是 在例 题 选 取 上 , 国的 教 材 都更 关 注应  我
用性 , 有一 些诸 如 “ 盘 的最 大 存 储 量 问题 ” 磁 等实 

际 问题 . 者认 为 , 国应 保 持 应 用 性 的特 点 , 笔 我 同 

时 , 充例 题 和习题 , 学生 能够 接触 到更 多 各种  扩 使
不 同类 型 的 函数 , 而对 微积 分 的思想 、 巧 有更  从 技
深 的了解 .  

中国教材 中有 2 处使用 信息技术 的部 分 , 并且 

都是 以“ 息 技 术 应 用 ” 栏 的 形 式 出 现 的. 中  信 专 其
“ 图形技术 与 函数性 质” 部分 泛泛 地 指 出一 些 软件  具有画 图求极值等 功能 ;曲边 梯形 的面积 ” “ 部分详  细地介绍 了用几何 画板求面积 近似值 的过 程 , 积  微
0 

5 2 新加 坡 的教材 常 直接 给 出性质 定理 ; 国教  . 我 材强 调例 证 与说理 

新 加 坡教 材似 乎 更 像 一 个 公 式 大 全 . 面很  里
少有 说理 和证 明 , 释性 和叙 述 性 的文 字也 很少 , 解   只是 把公 式列 出来 , 然后 就 用例 题套 公式 、 过计  通

分部分使 用信息技术 的篇幅 比例 … o. I  新加 坡教 材 
U 』  

共有 1 ( 中有 2处 是在 练 习中 的“ 1其 探索 ” 专栏 ) 处 
9A  

算器 求解 画 图 , 时在 空 白处 注 上 注 意 事 项 和 需  有
要探 索 的问题 . 这样 可 以提 高教 学 的效 率 , 是 也  但

使用信 息技术 , 其篇 幅 比例为  , 每一处 使用 时  在
1 U 厶 

由于缺乏 说理 , 可能 会使 学生 有枯 燥 之感 . 国 而 我  

( 探索” “ 除外 ) 都 详 细地 介 绍 了使 用 T ~8 , I 4计算  器 的具 体操作 步骤 , 括按 键 名称 等 , 包 使用 信 息 技 

的教 材 中 , 强调例 证 , 更 如在 单 调性 和极 值 的探 讨 
中, 通过 例子 来得 出 一般 的结论 , 种方 式 虽不 是  这 十分 严格 , 符 合 学生 的认 知 特 点 , 于 接 受. 但 易 我 
国教 材 中 在 引 入 方 式 和 表 征 方 式 上 也 更 加 多 样  化, 如通过 数 学史 、 学 问题 、 数 现实 问题 引人 , 过  通

术 的内 容 包 括 : 在 给 定 点 的导 数 值 、 函 数 图  求 画 像 、 曲线 的切线 法线 、 画 求定 积分 等 .  
5 总结 与启 示  5 1 新 加坡 的 微 积 分体 系 完整 、 识 点 多 ; 国  . 知 我 教材 更 关注应 用 性  从 表 1中知 , 加 坡教 材 中基 本上 包 含 了 一  新

数值 、 图像 、 号 等 多 种 表 示 方 法 , 强 学 生 的  符 加
理解 .   ( 转第 】 下 0页 )  

1  O

数 学通报 
表 八 : 中 段 深 度 比 较 表  初

21 0 2年  第 5 1卷  第 1 2期 



 




内容 深 度 


深 度 加 权 

版 本 名 称 

行为动词 、 \
了解 
理解 

 

21 O  0
15 O 
l8 2 

21 O】  
14 0 
11 l 

2l 0 百分比 0  
2 .9 9 O 
3 .6 5 4 

21百分比 01  
2.3 7 7 
2.O 9 6 

20 0l  

21 01  

2.1   8

2 3 .2  

掌握 
运 用 

8  5
4  3

18 2 
3  2

2 .5 3 5 
l.1 1 9 

3.3 4 1 
8 5  .3

注 : 上 统 计 均 保 留两 位 小 数 . 以  

由表八 可知 ,2 0 《 0 1版标 准 》 2 1 版标 准 》 与《 0 1  

增 强 了“ 握” 面 的 内容 , 别 是 图 形 与几 何 部  掌 方 特

属 于 “ 解 ” 平 的 知 识 点 分 别 为 2 . 9 和  了 水 9 o  2 .3 , 7 7  降低 了 1 3 . 5个 百分点 , 于“ 属 理解 ” 平  水 的知 识 点 分 别 为 3 . 6 和 2 . 0/, 低 了 54  9 6  降 9 6   58 . 6个 百 分 点 , “ 握 ” 平 的 知 识 点 分 别 为  属 掌 水 2 . 5 和 3 . 3 , 高 了 1 . 9个 百 分 点 ; 3 5  4 1  提 O5 属  于 “ 用 ”水 平 的 知 识 点 分 别 为 ¨ . 1/ 运 9  9 6和  8 5  , . 3 降低 了 3 3 . 8个 百分点 . 2 1 《 0 1版标 准 》 与  《 0 1 标准 》 20 版 的加 权 平 均 分 别 为 2 2 . 3和 2 1 , . 8 
显 然《 0 1版标 准 》 2 0 21 比《 0 1版 标 准 》 深 度 上 有  在

分 ,理 解 ” 掌握 ” “ 和“ 的内容 明显加 强 , 与代 数部  数 分 的“ 掌握 ” 分 也 得 到 了 明 显 加 强. 然 吸 取 了  部 显 美 国数 学课 程 内容 改 革 “ 而浅 ”2、 宽 _ 日本 数 学 课  ] 程 内容 改 革“ 而 深 ”3 果 不 佳 的经 验 教 训 , 窄 _效   使 
得 我 国数 学课 程 内容 的广 度和深 度 的设计 更 加科  学 , 中数 学课 程 内容体 系 更加 趋于 完善 , 些 更  初 这

有利 于对 学生 创新 精神 和解 决 问题 的实 践能 力 的  培养 , 而使 每个 学生 受到 良好 的数 学教 育 , 个  从 每
学生 得 到最大 限 度地 发展 .  
参 考 文 献  1 2 3李 淑文 史 宁 中 . 日两 国初 中 几 何 课 程 内 容 的 比 较 研 究  ,, 中

所 增加 . 体 到 三 部 分 内容 上 , 度 变 化 各 不 相  具 深
同 , 体如 三部 分 内容深 度 比较 图表. 具  
7 结 论   

_] J.全球 教 育展 望 ,2 1 ,  021
4 中 华 人 民 共 和 国 教 育 部 制 订 . I 义 务 教 育 数 学 课 程 标 准    全 : t制

《 0 1版标 准 》 程 内容 的设 计 , 与 代 数 、 21 课 数   图形 与几何 方 面 向“ 而 深 ” 计 模 式 演 变 , 计  宽 设 统 与概 率方 面 向“ 而浅 ” 式 演变 , 窄 模 课程 内 容 的 总 

( 验 稿 ) M] 实 E .北京 : 京 师 范 大 学 出 版社 ,2 0 ,  北 019
5 中 华 人 民 共 和 国 教 育 部 制 订 . 日制 义 务 教 育 数 学 课 程 标 准    全

体 向“ 而深 ” 宽 的设 计模 式演 变. 此次 调整 , 要是  主
( 接 第 6页 ) 上  

( 改 稿 ) M] 北 京 : 京 师 范 大 学 出版 社 ,2 1 , 修 [ . 北 0 09  

5 3 新 加坡 的教 材 中的技 术使 用部 分非 常 详尽 , .  
可 操 作 性 强 
1  

新加 坡 教材 中数 学 内容更 丰 富 、 构更 完整 , 很  结 但
多定 理 是直 接 呈 现 而 未证 明 的 , 以严 格 性 水 平  所

新加坡教 材 中有超过 ÷ 的篇 幅使 用信息技 
J 

很低 . 我 国教材 重在 阐述 概 念 , 例题 和 习题 不  而 但 多 . 时我 国教材 强 调应用 性 、 同 数学 史 , 调数 值 、 强   图像 等 多种 表征 , 是值得 我 们继 续保 持 的 , 似  这 但 乎 有时 有“ 故意 而 为 之 ” 牵 强之 感 . 的 如何 能把 这  些 优点 与教 学 内容及 我 国学 生 的具体 情况 有 机地 
结 合 , 是 需要 继续 研究 的 问题. 这  
参 考 文 献  1 赵 小 平 , 雪 . 海 与新 加 坡 中 学 概 率 统 计 教 材 的 比 较 研 究  姚 上

术, 这一 方面 代替 了繁 琐 的计算 , 使学 生 能够 熟 练 
地使 用技 术工 具 ; 另一 方面 , 这些 技术 的使 用 也 弥 
补 了教材 中说 理 的不 足 和 表 征 方 式 的单 一 , 进  增

了学 生 的理解 , 同时提 高 了教学 的效 率. 国教 材  我 中的技术 使用 部 分 , 于缺 乏 具 体 的 指 导 而 缺 少  由 针对 性 , 泛泛 而 论 甚 至成 为 教 材 正 文 内容 的 一 种 

重复 . 果我 国 教 材 中 的技 术 使 用 部 分 能 针 对具  如
体 的软件 或计 算器 做介 绍 , 并配 以形 象 的截 图 , 那  么会 大 大提 高可操 作性 .   此外 , 加坡 教材 中的一些 开放 性 、 新 阐述 性 及 

[] J .数 学 教 学 ,o 0 2 2 1 , 
2 S a i S o .   t e t s F rA I v 1   p r   o n H2 Mah ma i ( o     e)Vou   . 加  o c e lme 1 新 坡 : P   a  aic2 0  E B P n P c i, 0 7 f

3 人 民教 育 出 版 社 , 程 教 材 研 究 所 ,中 学 数 学 课 程 教 材 研 究  课

探索 性 的例题 和 习题也 是值 得我 们 借鉴 的. 总之 ,  

开 发 中 心 .数 学 : 通 高 中课 程 标 准 试 验 教 科 书 [ . 2版 . 普 M] 第  
北 京 : 民教 育 出版 社 ,0 7 人 2 0 


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