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2013年高考复习——二元一次不等式(组)和简单的线性规划问题


年高考复习——二元一次不等式( ——二元一次不等式 2013 年高考复习——二元一次不等式(组)和简单的线性规划问题
【考纲要求】 考纲要求】 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. 1、会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. 了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组. 2、了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组. 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决. 3、会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决. 基础知识】 【基础知识】 1、二元一次不等式 Ax + By + c > 0 表示的平面区域 (1)在平面直角坐标系中,方程 Ax + By + c = 0 表示直线 Ax + By + c = 0 在平面直角坐标系中, (2)在平面直角坐标系中,不等式 Ax + By + c > 0 表示直线 Ax + By + c = 0 某一侧所有点组成的平 在平面直角坐标系中, 面区域。 面区域。 2、作二元一次不等式 Ax + By + c > 0 表示的平面区域的方法 注意实线和虚线之分, 如果二元一次不等式有等号, 则画成实线, 直线定界: 画直线 Ax + By + c = 0(注意实线和虚线之分, 如果二元一次不等式有等号, 则画成实线, 直线定界: 否则画成虚线) 特殊点定域: 代入二元一次不等式 否则画成虚线 ) → 特殊点定域 : 取特殊 点 P ( x0 , y0 ) 代入 二元一次不等式 Ax + By + c > 0 , 如果满足

Ax + By + c > 0 , 则 点 P( x0 , y0 ) 所 在 的 平 面 区 域 就 是 Ax + By + c > 0 表 示 的 平 面 区 域 , 否 则 是 点 P( x0 , y0 ) 所在的平面区域的另一侧的平面区域。 所在的平面区域的另一侧的平面区域。
3、线性规划问题 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值的问题,统称为线性规划问题。 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值的问题,统称为线性规划问题。 叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域, 满足线性约束条件的解 ( x, y ) 叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域,使目标函数取得最 大值或最小值的可行解叫做最优解。 大值或最小值的可行解叫做最优解。 线性规划问题一般用图解法,其步骤如下: 线性规划问题一般用图解法,其步骤如下: 根据题意, (1)根据题意,设出变量 x, y ; (2)列出线性约束条件; 列出线性约束条件; (3)确定线性目标函数 z = f ( x, y ) ; ; (4)画出可行域(即各约束条件所示区域的公共区域) 画出可行域(即各约束条件所示区域的公共区域) 利用线性目标函数作平行直线系 y = f ( x)( z为参数) [来源:学科网][来源:学.科.网 Z.X.X.K] ][来源 ( 5) ; 来源: 科网][来源: 取得欲求最值的位置,以确定最优解, (6)观察图形,找到直线 y = f ( x)( z为参数) 观察图形, 在可行域上使 z 取得欲求最值的位置,以确定最优解, 给出答案。 给出答案。 例题精讲】 【例题精讲】 例 1 设 z = 2 x + y ,式中变量 x, y 满足条件

?4 ≤ x + y ≤ 6 ? ?2 ≤ x ? y ≤ 4

求 z 的最大值和最小值

满足的每个不等式都表示一个平面区域,因此① 解:由已知,变量 x, y 满足的每个不等式都表示一个平面区域,因此①所表示的区域为如图中的四边 由已知, 形 ABCD

∴ 当 z = 2 x + y 过点 C 时, z 取最小值,当 z = 2 x + y 过点 A 时, z 取最大值 取最小值,
即当 x = 3, y = 1 时, zmin = 7 , 当 x = 5, y = 1 时, zmax = 11

y

B

重量为 例 2 某矿山车队有 4 辆载重量为 10 t 的甲型卡车和 7 辆载 C A 的乙型卡车, 6 t 的乙型卡车,有 9 名驾驶员此车队每天至少要运 360 t 矿石 360 至冶炼 o x D 厂已知甲型卡车每辆每天可往返 6 次,乙型卡车每辆每天可往返 8 次甲 型卡车每辆每天的成本费为 252 元,乙型卡车每辆每天的 成本费 为 160 元问每天派出甲型车与乙型车各多少辆,车队所花成本费最低? 元问每天派出甲型车与乙型车各多少辆,车队所花成本费最低? 分析: 弄清题意, 明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数, 找出它们的约束条件, 列出目标函数, 分析:弄清题意,明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数,找出它们的约束条件,列出目标函数, 用图解法求其整数最优解[来源: 用图解法求其整数最优解[来源:学科网 ZXXK] 解:设每天派出甲型车 x 辆、乙型车 y 辆,车队所花成本费为 z 元,那么

?x + y ≤ 9 ?10 × 6 x + 6 × 8 y ≥ 360 ? ? ? x ≤ 4, x ∈ N ? y ≤ 7, y ∈ N ?
z=252x+160y,

y

7 5x+4y=30

x+y=9 o 4 x

作出不等式组所表示的平面区域,即可行域, 作出不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图 =0, 向右上方平移,使其经过可行域上的整点, 作出直线 l0:252x+160y=0,把直线 l 向右上方平移,使其经过可行域上的整点,且使在 y 轴上的截 距最小观察图形, 经过点( 满足上述要求[来源: 距最小观察图形,可见当直线 252x+160y=t 经过点(2,5)时,满足上述要求[来源:学科网 ZXXK] 取得最小值, =2, =252×2+160×5=1304 此时, 此时,z=252x+160y 取得最小值,即 x=2,y=5 时,zmin=252×2+160×5=1304 答:每天派出甲型车 2 辆,乙型车 5 辆,车队所用成本费最低

二元一次不等式( 二元一次不等式(组)和简单的线性规划问题强化训练
【基础精练】 基础精练】

? y ? 2x ≤ 0 ? 1.满足条件 1.满足条件 ? x + 2 y + 3 > 0 的可行域中共有整点的个数为 ?5 x + 3 y ? 5 < 0 ?
A.3 B.4 C.5 D.6

(

)

2.点 P(x,y)在直线 4x+3y=0 上,且 x,y 满足-14≤x-y≤7,则点 P 到坐标原点距 2.点 满足- ≤7, 离的取值范围是 A.[0,5] B.[0,10] C.[5,10] D.[5,15] ( )

? x + 2 y ? 19 ≥ 0, ? x 3.设二元一次不等式组 ≠1)的图象过 3.设二元一次不等式组 ? x ? y + 8 ≥ 0, 所表示的平面区域为 M,使函数 y=a (a>0,a≠1)的图象过 ? 2 x + y ? 14 ≤ 0 ?
区域 M 的 a 的取值范围是 A.[1,3] 2, 10] B.[ 2, 10] C.[2,9] ( ) 10, D.[ 10,9]

?2 x + y + 2 ≥ 0 4.如果点 P 在平面区域 ? x ? 2 y + 1 ≤ 0 上 , 点 Q 在曲线 x2 + (y + 2)2 = 1 上 , 那么|PQ| 的最小值为 4.如果点 那么| ? ? ?x + y ? 3≤ 0

(

)

A. 5- 1

B.

4 -1 5

C.2 2-1

D. 2- 1

5.在 家电下乡”活动中, 台洗衣机运往邻近的乡镇. 5.在“家电下乡”活动中,某厂要将 100 台洗衣机运往邻近的乡镇.现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙型货车 可供使用. 可供使用.每辆甲型 货车运输费用 400 元,可装洗衣机 20 台;每辆乙型货车运输费用 300 元,可装洗 衣 机 ( ) A.2 000 元 B.2 200 元 C.2 400 元 D.2 800 元 10 台 . 若 每 辆 车 至 多 只 运 一 次 , 则 该 厂 所 花 的 最 少 运 输 费 用 为

? x ? 3 y + 4≥ 0 ? 6.已知 已知约束条件 ≥0)恰好在点(2,2)处取得最大值 则 恰好在点(2,2)处取得最大值, 6.已知约束条件 ? x + 2 y ? 1 ≥ 0, 若目标函数 z=x+ay(a≥0)恰好在点(2,2)处取得最大值, a 的取值 ?3 x + y ? 8 ≤ 0 ?
范围为 1 A.0< A.0<a< 3 1 B.a≥ 3 ( 1 C.a> 3 . ) 1 D.0< D.0<a< 2

7.能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是 7.能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是

8.已知实数 8.已知实数 x、y 满足 ? y ≥ -2 x ,则目标函数 z=x-2y 的最小值是
?x ≤3 ?

? y ≤ 2 x, ?

.

?x + y ? 3≤ 0 ? 9.若 9.若线性目标函数 z=x+y 在线性约束条件 ? 2 x ? y ≤ 0 下取得最大值时的最优解只 ?y≤a ?
有一个,则实数 a 的取值范围是 有一个, .

?x + y≤5 ? 10.求由约束条件 10.求由约束条件 ? 2 x + y ≤ 6 确定的平面区域的面积 S 和周长 c. ? x ≤ 0≥ 0 ?

11.某班计划用少于 11.某班计划用少于 100 元的钱购买单价分别为 2 元和 1 元的大小彩球装点联欢晚会的会 场,根据需要,大球数不少于 10 个,小球数不少于 20 个,请你给出几种不同的购买 方 根据需要, 案?

12.某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验, 12.某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验,计划搭载新产品 A、B,要 某研究所计划利用 根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排, 来源: 根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排,通[来源:学&科& 网] 过调查,有关数据如表: 过调查,有关数据如表:

A(件 产品 A(件) 研制成本与搭载 20 费用之和(万元/ 费用之和(万元/件)

B(件 产品 B(件) 计划最大资 30 金额 300 万元 最大搭载

产品重量(千克/ 产品重量(千克/件)

10

5 重量 110 千克

预计收益(万元/ 预计收益(万元/件)

80

60

试问:如何安排这两种产品的件数进行搭载,才能使总预计收益达到最大,最大收益是多少? 试问:如何安排这两种产品的件数进行搭载,才能使总预计收益达到最大,最大收益是多少?

【拓展提高】 拓展提高】 某人有楼房一幢, 180m 2 拟分隔成两类房间作为旅游客房,大房间每间面积为 18, 1 某人有楼房一幢,室内面积共 180m ,拟分隔成两类房间作为旅游客房,大房间每间面积为 18,

15, 可住游客 5 名,每名游客每天住宿费为 40 元,小房间每间面积为 15,可住游客 3 名,每名游客每天住宿 费为 50 元,装修大房间每间需要 1000 元,装修小房间每间需要 600 元,如果他们只能筹 8000 元用于装 且游客能住满客房,它应隔出大房间和小房间各多少间,能获最大利益? 修,且游客能住满客房,它应隔出大房间和小房间各多少间,能获最大利益?

【基础精练参考答案】 基础精练参考答案】 解析】 画出可行域, 个整点,分别是(0,0) (0,0), 1. B【解析】 画出可行域,由可行域知有 4 个整点,分别是(0,0), : (0, (0, ,-1) ,-2). -1), (1,-1),(2,-2). 1), (1,-1),(2,-

2.B : 满足- ≤7, 【解析】 因 x,y 满足-14≤x-y≤7, 解析】

P(x, 则点 P(x,y)在 ?

?x ? y ≤7 ? x ? y ≥ ?14

所确定的区域内, 所确定的区域内, 且原点也在这个区域内. 且原点也在这个区域内. 又点 0 在直线 4x+3 y=0 上,

?4 x ? 3 y = 0 , ? ? x ? y = ?14
解得 A( ?6, 8). ?

?4 x ? 3 y = 0 , 解得B(3, 4). ? x ? y = ?14

到坐标原点的距离的最小值为 P 到坐标原点的距离的最小值 为 0, 10, 又|AO|=10,|BO|=5, 故最大值为 10.∴其取值范围是[0,10]. 10.∴其取值范围是[0,10]. 3.C【解析】 画出可行域如图由. : 3.C【解析】 画出可行域如图由.

? x ? y + 8 = 0, ? ? x + 2 y ? 19 = 0,
A(1,9), 得交点 A(1,9),

? 2 x + y ? 14 = 0, 由? ? x + 2 y ? 19 = 0,

(3,8), 得交点 B(3,8),
x

(1,9)时 当 y=a 的图象过点 A(1,9)时,a=9,
x

(3,8)时 当 y=a 的图象过点 B(3,8)时,a=2,∴2≤a≤9. 4.A【解析】 : 的距离最小为到(0,-2) (0,- 4.A【解析】 由图可知不等式组确定的区域为阴影部分包括边界 ,点 P 到 Q 的距离最小为到(0,-2) 的最小值减去圆的半径 的最小值减去圆的半径 1,由图可知 |0-2·( |0-2·(-2)+1| 圆心(0,-2)到直线 = 圆心(0,-2)到直线 x-2y+1=0 的距离 d= (0,-2) 2 2 1 + (- 2) 恰好是( 1,0),符合题意. 此时点 P 恰好是(-1,0),符合题意. ∴|PQ|min=d-1= 5-1. 5.B【解析】 : 根据题意, 5.B【解析】 设需使用甲型货车 x 辆,乙型货车 y 辆,运输费用 z 元,根据题意,得线性约束 5,

? 20 x + 10 y ≥ 100, ? 条件 ? 0 ≤ x ≤ 4, ? 0 ≤ y ≤ 8, ?

的最小值. 求线性目标函数 z=400x+300y 的最小值. 解得当 ?

? x = 4, 时,zmin=2 200. ?y = 2

6.C【解析】 画出已知约束条件的可行域为△ : 内部( 6.C【解析】 画出已知约束条件的可行域为△ABC 内部(包括边 不符合题意; 界),如图,易知当 a=0 时,不符合题意;当 a>0 时,由目 如图, 1 1 z 则由题意得- 标函数 z=x+ay 得 y=- x+ ,则由题意得-3=kAC<-

a

a

a

1 1 <0,故 a> .综上所述,a> 综上所述, 3 3

?x≤0 ? . 解析:由阴影部分知 x≤0,0≤y≤1, 解析: ≤1, 7. ? 0 ≤ y ≤ 1 ?2 x ? y + 2 ≥ 0 ?
2×0- 又 2×0-0+2>0,

?x≤0 ? 2≥0, . 故 2x-y+2≥0,∴所求二元一次不等式组为 ? 0 ≤ y ≤ 1 ?2 x ? y + 2 ≥ 0 ?
? y = 2 x , ? x = 3, (3,6), 得? 即 A(3,6),经过分析可知直线 ?x = 3 ? x = 6,

8.- 解析】 如图作出阴影部分为可行域, : 8.-9【解析】 如图作出阴影部分为可行域,由 ? 取最小值为- z=x-2y 经过 A 点时 z 取最小值为-9.

≤2【解析】 作出可行域如图: 9. a≤2【解析】 作出可行域如图: :

平行,若最大值只有一个, 由图可知直线 y=-x 与 y=-x+3 平行,若最大值只有一个,则直线 y=a 必须在直线 y=2x 与 y= 的交点(1,2)的下方, (1,2)的下方 -x+3 的交点(1,2)的下方,故 a≤2. 10. 解析】 由约束条件作出其所确定的平面区域(阴影部分), 【 : 由约束条件作出其所确定的平面区域(阴影部分) 其四个顶点为 O(0,0), (3,0), (0,5), (0,0), (3,0), (0,5), B A (1,4).过 轴的垂线, P(1,4).过 P 点作 y 轴的垂线,垂足为 C. |5-4|= |1-0|= 则 AC=|5-4|=1,PC=|1-0|=1,

OC=4,OB=3,AP= 2,
2 2 PB= (4-0) +(1-3) =2 5.

1 1 得 S△ACP= AC·PC= , 2 2

S 梯形 COBP= (CP+OB)·OC=8.
17 所以 S=S△ACP+S 梯形 COBP= , 2

1 2

c=OA+AP+PB+OB=8+ 2+2 5.
11.【 : 11.【解析】 设可购买大球 x 个,小球 y 个.

? 2 x + y < 100 ? ? x ≥ 10 ? , 依题意有 ? y ≥ 20 ?x N? ? ∈ ?x∈ N? ?
其整数解为 ?

? x = 10 ? x = 20 ? x = 30 ,? ,? , ? y = 20 ? y = 30 ? y = 30

? x = 35 , …都符合题目要 求(满足 2x +y-100<0 即可). 100< 即可). ? ? y = 29
12.【 : 12.【解析】 设搭载产品 A x 件,产品 B y 件, 预计总收益 z=80x+60y.

? 20 x + 30 y ≤ 300 ? 作出可行域,如图. 则 ?10 x + 5 y ≤ 110 ,作出可行域,如图. ?x∈ N, y∈ N ?

并平移,由图象得, 能取得最大值, 作出直线 l0:4x+3y=0 并平移,由图象得,当直线经过 M 点时 z 能取得最大值, ?

? 2 x + 3 y = 30 , ? 2 x + y = 22

解得 ?

?x = 9 , ,即 M(9,4). ?y = 4

80×9+60×4=960(万元 万元). 所以 zmax=80×9+60×4=960(万元). 可使得总预计收益最大, 万元. 答:搭载产品 A 9 件,产品 B 4 件,可使得总预计收益最大,为 960 万元.

【拓展提高参考答案】 拓展提高参考答案】

由 于

(

20 60 , ) 不是整数,所以经过整点(3,8)时,才是他们的最优解,同时经过整 点(0,12)也是最优解 不是整数,所以经过整点( 才是他们的最优解, (0,12)也是最优解 7 7

即应隔大房间 3 间,小房间 8 间,或者隔大房间 0 间,小房间 12 间,所获利益最大如果考 虑到不同客 人的需要, 人的需要,应隔大房间 3 间,小房间 8 间


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