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【名师一号】2014-2015学年高中数学 第二章 解三角形双基限时练13(含解析)北师大版必修5

双基限时练(十三)
一、选择题 1.在△ABC 中, = = =k,R 为△ABC 外接圆半径,则 k 为( sinA sinB sinC A.2R C.4R B.R D.

a

b

c

)

R
2

解析 由正弦定理可知 = = =2R, sinA sinB sinC ∴k=2R. 答案 A 2.在△ABC 中,c=2,A=30°,B=120°,则△ABC 的面积为( A. 3 2 B. 3 D.3 )

a

b

c

C.3 3 解析 由 A=30°,B=120°, ∴C=180°-(B+A)=30°, ∴△ABC 为等腰三角形,a=c, 1 1 3 ∴S△ABC= acsinB= ×2×2× = 3. 2 2 2 答案 B 3.在△ABC 中,a=2bcosC,则△ABC 为( A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 解析

)

由正弦定理得 a = 2RsinA , b = 2RsinB ,代入式子 a = 2bcosC ,得 2RsinA =

2×2RsinB·cosC, ∴sinA=2·sinB·cosC.∵sinA=sin(B+C), ∴sin(B+C)=2sinBcosC, 即 sinBcosC + cosBsinC = 2sinBcosC. 化简、整理,得 sin(B - C) = 0. ∵0°<B<180°, 0°<C<180°, ∴-180°<B-C<180°. ∴B-C=0,∴B=C,故选 A. 答案 A

a tanA 4.若 2= ,则△ABC 的形状是( b tanB

2

)

1

A.等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 解析 由 2=
2 a2 tanA sin A sinAcosB ,得 2 = ,得 sin2A=sin2B,又 A、B 为三角形的内角, b tanB sin B cosAsinB

π 故有 A=B 或 A+B= . 2 答案 D 1 5.在△ABC 中,a=3 2,cosC= ,S△ABC=4,则 b=( 3 A.4 C.1 B.2 D. 1 2 )

1 2 2 2 解析 ∵cosC= ,∴sinC= 1-cos C= , 3 3 1 1 2 2 ∴S△ABC= absinC= ×3 2× b=4,得 b=2. 2 2 3 答案 B 6.在△OAB 中,O 为坐标原点,A(1,cosθ ),B(sinθ ,1),

? π? θ ∈?0, ?,则当△OAB 的面积达到最大值时,θ 等于( 2? ?
A. C. π 6 π 3 B. D. π 4 π 2

)

1 1 1 解析 由 S△OAB= (1-sinθ cosθ )= - sin2θ , 2 2 4 π π 又 θ ∈(0, ],∴当 θ = 时,S 取得最大值. 2 2 答案 D 二、填空题 7.方程 sinA·x +2sinB·x+sinC=0 有重根,且 A,B,C 为△ABC 的三内角,则△ABC 的三边 a,b,c 的关系是________. 解析 由题意得 4sin B-4sinA·sinC=0,由正弦定理,得 b =ac. 答案 b =ac
2 2 2 2

2

sin?A-B? a+c 8.在△ABC 中,三内角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,且 =- ,则 sin?A+B? c 角 B=________. sin?A-B? a+c 解析 由 =- ,得 sin?A+B? c sin?A-B? sinA+sinC =- .又 A+B+C=π , sin?A+B? sinC ∴ sin?A-B? sinA+sin?A+B? =- . sinC sinC

∴sin(A-B)+sin(A+B)=-sinA. 即 2sinAcosB=-sinA. ∵sinA≠0, 1 ∴cosB=- . 2 又 B 为三角形的内角, 2 ∴B= π . 3 答案 2 π 3

1 9.在△ABC 中,D 为边 BC 上一点,BD= DC,∠ADB=120°,AD=2,若△ADC 的面积 2 为 3- 3,则 BC=________________. 解析 在△ADC 中,∵∠ADB=120°, ∴∠ADC=60°. 1 ∴S△ADC= AD·DCsin60°=3- 3. 2 1 ∴DC=2 3-2.又 BD= DC, 2 3 ∴BC= DC=3 3-3. 2 答案 3 3-3 三、解答题 10.在△ABC 中,B=45°,C=60°,a=2( 3+1),求△ABC 的面积. 解

A=180°-(B+C)=180°-(45°+60°)=75°. a b

由正弦定理 = , sinA sinB

3

asinB 2? 3+1?·sin45° 得 b= = = sinA sin75°

2? 3+1?· 6+ 2 4

2 2

=4.

1 1 3 故 S△ABC= ab·sinC= ×2( 3+1)×4× =6+2 3. 2 2 2 11.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 b-c=2acos(60°+C),求 角 A. 解 由正弦定理得 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,

∵b-c=2acos(60°+C), ∴2RsinB-2RsinC=2·2RsinAcos(60°+C). ∴sinB-sinC=sinAcosC- 3sinAsinC. 又∵B=π -(A+C), ∴sinB-sinC=sin(A+C)-sinC=sinAcosC+cosAsinC-sinC. ∴cosAsinC-sinC=- 3sinAsinC. ∵sinC≠0,

? π? 1 ∴ 3sinA+cosA=1,即 sin?A+ ?= . 6? 2 ?
2π ∴在△ABC 中,A= . 3 12.已知△ABC 的内角 A、B 及其对边 a,b 满足 a+b=acotA+bcotB,求内角 C. 解 由 a+b=acotA+bcotB 及正弦定理,得 sinA+sinB=cosA+cosB, 得 sinA-cosA=cosB-sinB.

? π? ?π ? ∴sin?A- ?=sin? -B?. 4? ? ?4 ?
又 0<A+B<π , π π π ∴A- = -B,A+B= . 4 4 2 π ∴C= . 2 思 维 探 究 13.已知方程 x -(bcosA)x+acosB=0 的两根之积等于两根之和,且 a、b 为△ABC 的 两边,A、B 为两内角,试判断这个三角形的形状. 解 设方程的两根为 x1、x2,由根与系数的关系得 x1+x2=bcosA,x1·x2=acosB.依题
2

意得 bcosA=acosB.根据正弦定理得 a=2RsinA,b=2RsinB(R 为△ABC 的外接圆半径),∴
4

2RsinBcosA=2RsinAcosB, 即 sinAcosB-cosAsinB=0, ∴sin(A-B)=0.∵0<A<π , 0<B<π , ∴A-B=0,即 A=B,∴该三角形为等腰三角形.

5


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