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高中数学第四讲数学归纳法证明不等式4.1数学归纳法课件新人教A版选修4


第四讲 用数学归纳法证明不等式 一 数学归纳法 【自主预习】 1.数学归纳法的定义 一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的 所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤: n=n0 时命题成立. (1)证明当____ n=k(k∈N+,且k≥n0) n=k+1 (2)假设当__________________ 时命题成立,证明______ 时命题也成立. 在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0 的所有正整数都成立,这种证明方法称为数学归纳法. 2.数学归纳法的步骤 【即时小测】 1.下列四个判断中,正确的是 ( ) A.式子1+k+k2+…+kn(n∈N*)当n=1时为1 B.式子1+k+k2+…+kn-1(n∈N*)当n=1时为1+k 1 (n∈N*)当n=1时为 1 1 C.式子 1 1 + +?+ 1+ + 1 2 2n ? 1 2 3 *),则f(k+1)= D.设f(n)= 1 (n∈N 1 1 + +?+ n ?1 n ? 2 3n ? 1 1 1 1 f ? k ?+ + + 3k ? 2 3k ? 3 3k ? 4 【解析】选C.A.式子1+k+k2+?+kn(n∈N*)当n=1时应为 1+k,故A不正确;B.式子1+k+k2+?+kn-1(n∈N*)当n=1时 1 1 1 1 应为1,故B不正确;C.式子 + + +?+ (n∈N*) 1 2 3 2n ? 1 当n=1时为 1+ 1 +1, 正确; 1 2 31 1 + +?+ D.设f(n)= (n∈N*),则f(k+1)= n ?1 n ? 2 3n ? 1 1 1 1 1 f ? k ?+ + + ? , 故D不正确. 3k ? 2 3k ? 3 3k ? 4 k ? 1 2.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)·…·(n+n) =2n·1·3·…·(2n-1)”,当“n从k到k+1”左端需 增乘的代数式为( A.2k+1 ) B.2(2k+1) 2k ? 1 C. k ?1 2k ? 3 D. k ?1 【解析】选B.当n=k时,左端=(k+1)(k+2)(k+3)?(2k), 当n=k+1时,左端=(k+2)(k+3)…(2k)(2k+1)(2k+2), 故当“n从k到k+1”左端需增乘的代数式为 ? 2k ? 1?? 2k ? 2 ? k ? 1? ? =2(2k+1). 【知识探究】 探究点 数学归纳法 1.数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1? 提示:不一定. 2.在用数学归纳法证明数学命题时,只有第一步或只有 第二步可以吗?为什么? 提示:不可以.这两个步骤缺一不可,只完成步骤①而缺 少步骤②,就作出判断可能得出不正确的结论.因为单 靠步骤①,无法递推下去,即n取n0以后的数时命题是否 正确,我们无法判定.同样,只有步骤②而缺少步骤①时, 也可能得出不正确的结论,缺少步骤①这个基础,假设 就失去了成立的前提,步骤②也就没有意义了. 【归纳总结】 1.数学归纳法的适用范围 数学归纳法可以证明与正整数有关的命题,但是,并不 能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用数学归纳 法证明. 2.数学归纳法中两步的作用 在数学归纳法中第一步“验证n=n0时命题成立”是奠 基,是推理证明的基础,第二步是假设与递推,保证了推 理的延续性. 3.运用数学归纳法的关键 运用归纳假设是关键,在使用归纳假设时,应分析p(k) 与p(k+1)的差异与联系,利用拆、添、并、放、缩等手

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