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淳化县外国语学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

淳化县外国语学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 姓名__________ 分数__________ 一、选择题 b?i 1. 若复数 的实部与虚部相等,则实数 b 等于( 2?i
(A) 3 ( B )

) (C)

1

1 3
D.0.4

(D) ? )

1 2

2. 如果随机变量 ξ~N (﹣1,σ2),且 P(﹣3≤ξ≤﹣1)=0.4,则 P(ξ≥1)等于( A.0.1 B.0.2 C.0.3

3. 对某班学生一次英语测验的成绩分析,各分数段的分布如图(分数取整数),由此,估计这次测验的优秀 率(不小于 80 分)为( )

A.92%

B.24%

C.56% )

D.5.6%

4. 直角梯形 OABC 中, AB OC, AB ? 1, OC ? BC ? 2 ,直线 l : x ? t 截该梯形所得位于左边图 形面积为,则函数 S ? f ? t ? 的图像大致为(

5. 已知 f(x)=ax3+bx+1(ab≠0),若 f(2016)=k,则 f(﹣2016)=( A.k B.﹣k C.1﹣k D.2﹣k ) B. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0 或 x ? y ? 0 ) 6. 经过点 M ?1,1? 且在两轴上截距相等的直线是( A. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? 1 或 y ? 1 数的概率是(



7. 以 A={2,4,6,7,8,11,12,13}中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数,则这种分数是可约分

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A.

B.

C.

D. )

8. 如图,在正六边形 ABCDEF 中,点 O 为其中心,则下列判断错误的是(

A.

= )

B.



C.

D.

9. 已知向量 a ? (m, 2) , b ? (?1, n) ( n ? 0 ),且 a ? b ? 0 ,点 P(m, n) 在圆 x2 ? y 2 ? 5 上,则

| 2a ? b |? (
A. 34

B.

C. 4 2 则不等式 f(x)>f(1)的解集是( )

D. 3 2

10.设函数 f(x)= A.(﹣3,1)∪(3,+∞) ﹣3)∪(1,3) 11.以下四个命题中,真命题的是( A. ?x ? R, x ? x ? 2
2

B.(﹣3,1)∪(2,+∞) )

C.(﹣1,1)∪(3,+∞)

D.(﹣∞,

B.“对任意的 x ? R , x2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“存在 x0 ? R , x02 ? x0 ? 1 ? 0 C. ?? ? R ,函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 都不是偶函数 D.已知 m , n 表示两条不同的直线, ? , ? 表示不同的平面,并且 m ? ? , n ? ? ,则“ ? ? ? ”是 “ m / / n ”的必要不充分条件 【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识,意在考查逻辑推理能力. 12.定义新运算⊕:当 a≥b 时,a⊕b=a;当 a<b 时,a⊕b=b2,则函数 f(x)=(1⊕x)x﹣(2⊕x),x∈[﹣2, 2]的最大值等于( A.﹣1 B.1 C.6 ) D.12

二、填空题
13.设 ,则 的最小值为 。 }的前 10 项的和为 . 值等于 . .

14.设数列{an}满足 a1=1,且 an+1﹣an=n+1(n∈N*),则数列{ 15.抛物线 y2=﹣8x 上到焦点距离等于 6 的点的坐标是 16.已知角 α 终边上一点为 P(﹣1,2),则

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17.在(1+2x)10 的展开式中,x2 项的系数为

(结果用数值表示). 的值为 .

18.已知数列 1,a1,a2,9 是等差数列,数列 1,b1,b2,b3,9 是等比数列,则

三、解答题
19.已知:函数 f(x)=log2 ,g(x)=2ax+1﹣a,又 h(x)=f(x)+g(x).

(1)当 a=1 时,求证:h(x)在 x∈(1,+∞)上单调递增,并证明函数 h(x)有两个零点; (2)若关于 x 的方程 f(x)=log2g(x)有两个不相等实数根,求 a 的取值范围.

20.设 p:实数 x 满足 x2﹣4ax+3a2<0,q:实数 x 满足|x﹣3|<1. (1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若其中 a>0 且¬p 是¬q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

21.已知椭圆

+

=1(a>b>0)的离心率为

2 ,且 a =2b.

(1)求椭圆的方程;
2 2 (2)直线 l:x﹣y+m=0 与椭圆交于 A,B 两点,是否存在实数 m,使线段 AB 的中点在圆 x +y =5 上,若存

在,求出 m 的值;若不存在,说明理由.

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22.(本题满分 15 分) 已知抛物线 C 的方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,点 R(1, 2) 在抛物线 C 上.

(1)求抛物线 C 的方程; (2)过点 Q(1,1) 作直线交抛物线 C 于不同于 R 的两点 A , B ,若直线 AR , BR 分别交直线 l : y ? 2 x ? 2 于

M , N 两点,求 MN 最小时直线 AB 的方程.
【命题意图】 本题主要考查抛物线的标准方程及其性质以及直线与抛物线的位置关系等基础知识, 意在考查运 算求解能力.

23.(本小题满分 10 分) 已知圆 P 过点 A(1,0) , B(4,0) . (1)若圆 P 还过点 C (6,?2) ,求圆 P 的方程; (2)若圆心 P 的纵坐标为,求圆 P 的方程.

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24.(本小题满分 12 分)如图所示,已知 AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD , ?ACD 为等边 三角形, AD ? DE ? 2 AB , F 为 CD 的中点. (1)求证: AF // 平面 BCE ; (2)平面 BCE ? 平面 CDE .

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淳化县外国语学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】 b+i (b+i)(2-i) 2b+1 2-b 1 = = + i,因为实部与虚部相等,所以 2b+1=2-b,即 b= .故选 C. 5 5 3 2+i (2+i)(2-i) 2. 【答案】A 【解析】解:如果随机变量 ξ~N(﹣1,σ ),且 P(﹣3≤ξ≤﹣1)=0.4, ∵P(﹣3≤ξ≤﹣1) = ∴ ∴P(ξ≥1)= .
2

【点评】一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似的服 从正态分布,正态分布在概率和统计中具有重要地位. 3. 【答案】C 【解析】解:这次测验的优秀率(不小于 80 分)为 0.032×10+0.024×10=0.56 故这次测验的优秀率(不小于 80 分)为 56% 故选 C 【点评】在解决频率分布直方图时,一定注意频率分布直方图的纵坐标是 4. 【答案】C 【解析】 试题分析:由题意得,当 0 ? t ? 1 时, f ? t ? ? .

1 ? t ? 2t ? t 2 ,当 1 ? t ? 2 时, 2 ?t 2 , 0 ? t ? 1 1 f ? t ? ? 1? 2 ? ? (t ? 1) ? 2 ? 2t ? 1 ,所以 f ? t ? ? ? ,结合不同段上函数的性质,可知选项 C 符 2 2 t ? 1,1 ? t ? 2 ?

合,故选 C. 考点:分段函数的解析式与图象. 5. 【答案】D
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【解析】解:∵f(x)=ax3+bx+1(ab≠0),f(2016)=k, ∴f(2016)=20163a+2016b+1=k, ∴20163a+2016b=k﹣1, ∴f(﹣2016)=﹣20163a﹣2016b+1=﹣(k﹣1)+1=2﹣k. 故选:D. 【点评】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用. 6. 【答案】D 【解析】

考 点:直线的方程. 7. 【答案】D 【解析】解:因为以 A={2,4,6,7,8,11,12,13}中的任意两个元素分别为分子与分母共可构成 数, 由于这种分数是可约分数的分子与分母比全为偶数, 故这种分数是可约分数的共有 则分数是可约分数的概率为 P= 故答案为:D 【点评】本题主要考查了等可能事件的概率,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. 个, = , 个分

8. 【答案】D 【解析】解:由图可知, 故选 D. 【点评】本题考查平行向量与共线向量、相等向量的意义,属基础题. 9. 【答案】A 【解析】 ,但 不共线,故 ,

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考点:1、向量的模及平面向量数量积的运算;2、点和圆的位置关系. 10.【答案】A 【解析】解:f(1)=3,当不等式 f(x)>f(1)即:f(x)>3 如果 x<0 则 x+6>3 可得 x>﹣3,可得﹣3<x<0.
2 如果 x≥0 有 x ﹣4x+6>3 可得 x>3 或

0≤x<1

综上不等式的解集:(﹣3,1)∪(3,+∞) 故选 A. 11.【答案】D

12.【答案】C 【解析】解:由题意知 当﹣2≤x≤1 时,f(x)=x﹣2,当 1<x≤2 时,f(x)=x ﹣2,
3 3 又∵f(x)=x﹣2,f(x)=x ﹣2 在定义域上都为增函数,∴f(x)的最大值为 f(2)=2 ﹣2=6. 3

故选 C.

二、填空题
13.【答案】9 【解析】由柯西不等式可知 14.【答案】 .

【解析】解:∵数列{an}满足 a1=1,且 an+1﹣an=n+1(n∈N ),

*

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∴当 n≥2 时,an=(an﹣an﹣1)+…+(a2﹣a1)+a1=n+…+2+1= 当 n=1 时,上式也成立, ∴an= ∴ ∴数列{ = = . }的前 10 项的和为 . ) . =2. . . =2 }的前 n 项的和 Sn= .



∴数列{

故答案为:

15.【答案】 (﹣4,

2 【解析】解:∵抛物线方程为 y =﹣8x,可得 2p=8,

∴抛物线的焦点为 F(﹣2,0),准线为 x=2. 设抛物线上点 P(m,n)到焦点 F 的距离等于 6, 根据抛物线的定义,得点 P 到 F 的距离等于 P 到准线的距离, 即|PF|=﹣m+2=6,解得 m=﹣4,
2 ∴n =8m=32,可得 n=±4

, ). ).

因此,点 P 的坐标为(﹣4, 故答案为:(﹣4,

【点评】本题给出抛物线的方程,求抛物线上到焦点的距离等于定长的点的坐标.着重考查了抛物线的定义与 标准方程等知识,属于基础题. 16.【答案】 .

【解析】解:角 α 终边上一点为 P(﹣1,2), 所以 tanα=﹣2. = 故答案为:﹣ . = =﹣ .

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【点评】本题考查二倍角的正切函数,三角函数的定义的应用,考查计算能力. 17.【答案】 180 【解析】解:由二项式定理的通项公式 Tr+1=Cn a
2 可知 r=2,所以系数为 C10 ×4=180, r n﹣r

br 可设含 x2 项的项是 Tr+1=C7r (2x)r

故答案为:180. 【点评】本题主要考查二项式定理中通项公式的应用,属于基础题型,难度系数 0.9.一般地通项公式主要应 用有求常数项,有理项,求系数,二项式系数等. 18.【答案】 .

【解析】解:已知数列 1,a1,a2,9 是等差数列,∴a1+a2 =1+9=10. 数列 1,b1,b2,b3,9 是等比数列,∴ ∴b2=3,则 故答案为 . , =1×9,再由题意可得 b2=1×q2>0 (q 为等比数列的公比),

=

【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质应用,属于中档题.

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)证明:h(x)=f(x)+g(x)=log2 =log2(1﹣ ∵y=1﹣ )+2x; 在(1,+∞)上是增函数, )在(1,+∞)上是增函数; +2x,

故 y=log2(1﹣

又∵y=2x 在(1,+∞)上是增函数; ∴h(x)在 x∈(1,+∞)上单调递增; 同理可证,h(x)在(﹣∞,﹣1)上单调递增; 而 h(1.1)=﹣log221+2.2<0, h(2)=﹣log23+4>0; 故 h(x)在(1,+∞)上有且仅有一个零点, 同理可证 h(x)在(﹣∞,﹣1)上有且仅有一个零点, 故函数 h(x)有两个零点;

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(2)由题意,关于 x 的方程 f(x)=log2g(x)有两个不相等实数根可化为 1﹣ 故 a= 结合函数 a= <a<0; 即﹣1<a<0. =2ax+1﹣a 在(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)上有两个不相等实数根; ; 的图象可得,

【点评】本题考查了复合函数的单调性的证明与函数零点的判断,属于中档题. 20.【答案】
2 2 【解析】解:(1)由 x ﹣4ax+3a <0 得(x﹣3a)(x﹣a)<0

当 a=1 时,1<x<3,即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1<x<3. 由|x﹣3|<1,得﹣1<x﹣3<1,得 2<x<4 即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2<x<4, 若 p∧q 为真,则 p 真且 q 真, ∴实数 x 的取值范围是 2<x<3.
2 2 (2)由 x ﹣4ax+3a <0 得(x﹣3a)(x﹣a)<0,

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若¬p 是¬q 的充分不必要条件, 则¬p?¬q,且¬q?¬p, 设 A={x|¬p},B={x|¬q},则 A?B, 又 A={x|¬p}={x|x≤a 或 x≥3a}, B={x|¬q}={x|x≥4 或 x≤2}, 则 0<a≤2,且 3a≥4 ∴实数 a 的取值范围是 21.【答案】 【解析】解:(1)由题意得 e= 解得 a= ,b=c=1 =1; =
2 2 2 2 ,a =2b,a ﹣b =c ,



2 故椭圆的方程为 x +

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 线段 AB 的中点为 M(x0,y0). 联立直线 y=x+m 与椭圆的方程得,
2 2 即 3x +2mx+m ﹣2=0, 2 2 2 △=(2m) ﹣4×3×(m ﹣2)>0,即 m <3,

x1+x2=﹣ 所以 x0= 即 M(﹣ 可得(﹣

, =﹣ ,
)2+( 2

,y0=x0+m=



2 2 ).又因为 M 点在圆 x +y =5 上, 2 ) =5,

解得 m=±3 与 m <3 矛盾. 故实数 m 不存在. 【点评】本题考查椭圆的方程的求法,注意运用离心率公式,考查直线和椭圆方程联立,运用韦达定理和中点 坐标公式,考查存在性问题的解法,属于中档题. 22.【答案】(1) y ? 4 x ;(2) x ? y ? 2 ? 0 .
2

【解析】(1)∵点 R(1, 2) 在抛物线 C 上, 2 ? 2 p ?1 ? p ? 2 ,…………2 分
2

即抛物线 C 的方程为 y ? 4 x ;…………5 分
2

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2 2 23.【答案】(1) x ? y ? 5x ? 7 y ? 4 ? 0 ;(2) ( x ? ) ? ( y ? 2) ?
2 2

5 2

25 . 4
2 2

【解析】 试题分析:(1)当题设给出圆上三点时,求圆的方程,此时设圆的一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,将 三点代入,求解圆的方程;(2)AB 的垂直平分线过圆心,所以圆心的横坐标为 段为半径,根据圆心与半径求圆的标准方程. 试题解析:(1)设圆 P 的方程是 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,则由已知得
2 2

5 ,圆心与圆上任一点连线 2

?12 ? 02 ? D ? 0 ? F ? 0 ? D ? ?5 ? 2 ? 2 ,解得 ? E ? 7 . ?4 ? 0 ? 4 D ? 0 ? F ? 0 ?F ? 4 ?62 ? (?2) 2 ? 6 D ? 2 E ? F ? 0 ? ?
故圆 P 的方程为 x ? y ? 5x ? 7 y ? 4 ? 0 .
2 2

5 1? 4 5 ? ,故圆心 P( ,2) , 2 2 2 5 2 5 2 故圆 P 的半径 r ?| AP |? (1 ? ) ? (0 ? 2) ? , 2 2
(2)由圆的对称性可知,圆心 P 的横坐标为

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故圆 P 的标准方程为 ( x ? ) ? ( y ? 2) ?
2 2

5 2

25 . 4

考点:圆的方程 24.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析. 【解析】 试题分析:(1)推导出 AC ? BC , AC ? CC1 ,从而 AC ? 平面 BCC1B1 ,连接 CA1 , NA1 ,则 B, A1 , N 三点 共线,推导出 CN ? BA 1 , CN ? MN ,由线面垂直的判定定理得 CN ? 平面 BNM ;(2)连接 AC 1 交 CA1 于 点 H ,推导出 AH ? BA 1 , HQ ? BA 1 ,则 ?AQH 是二面角 A ? BA 1 ? C 的平面角.由此能求出二面角

C ? BN ? B1 的余弦值.
试题解析:(1)如图,取 CE 的中点 G ,连接 FG, BG . ∵ F 为 CD 的中点,∴ GF // DE 且 GF ? ∵ AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD , 又 AB ? ∴ AB // DE , ∴ GF // AB .

1 DE . 2

1 DE ,∴ GF ? AB . ∴四边形 GFAB 为平行四边形,则 AF // BG . (4 分) 2 ∵ AF ? 平面 BCE , BG ? 平面 BCE , ∴ AF // 平面 BCE (6 分)

考点:直线与平面平行和垂直的判定.

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