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高中数学竞赛_数列【讲义】

第五章 数列 一、基础知识 定义 1 数列,按顺序给出的一列数,例如 1,2,3,…,n,…. 数列分有穷数列和无穷数 列两种,数列{an}的一般形式通常记作 a1, a2, a3,…,an 或 a1, a2, a3,…,an…。其中 a1 叫做数 列的首项,an 是关于 n 的具体表达式,称为数列的通项。 定理 1 若 Sn 表示{an}的前 n 项和,则 S1=a1, 当 n>1 时,an=Sn-Sn-1. 定义 2 等差数列,如果对任意的正整数 n,都有 an+1-an=d(常数) ,则{an}称为等差数列, d 叫做公差。若三个数 a, b, c 成等差数列,即 2b=a+c,则称 b 为 a 和 c 的等差中项,若公差 为 d, 则 a=b-d, c=b+d. 定理 2 等差数列的性质:1)通项公式 an=a1+(n-1)d;2)前 n 项和公式: Sn= n(a1 ? a n ) n(n ? 1) 3) 其中 n, m 为正整数; 若 n+m=p+q, 4) ? na1 ? d ; an-am=(n-m)d, 2 2 则 an+am=ap+aq;5)对任意正整数 p, q,恒有 ap-aq=(p-q)(a2-a1);6)若 A,B 至少有一个不 为零,则{an}是等差数列的充要条件是 Sn=An2+Bn. 定义 3 等比数列,若对任意的正整数 n,都有 比。 定理 3 等比数列的性质:1)an=a1qn-1;2)前 n 项和 Sn,当 q ? 1 时,Sn= a n ?1 ? q ,则{an}称为等比数列,q 叫做公 an a1 (1 ? q n ) ;当 1? q q=1 时,Sn=na1;3)如果 a, b, c 成等比数列,即 b2=ac(b ? 0),则 b 叫做 a, c 的等比中项;4) 若 m+n=p+q,则 aman=apaq。 定义 4 极限,给定数列{an}和实数 A,若对任意的 ? >0,存在 M,对任意的 n>M(n∈N), 都有|an-A|< ? ,则称 A 为 n→+∞时数列{an}的极限,记作 lim a n ? A. n?? 定义 5 无穷递缩等比数列,若等比数列{an}的公比 q 满足|q|<1,则称之为无穷递增等比数 列,其前 n 项和 Sn 的极限(即其所有项的和)为 a1 (由极限的定义可得) 。 1? q 定理 3 第一数学归纳法:给定命题 p(n),若: (1)p(n0)成立; (2)当 p(n)时 n=k 成立时能 推出 p(n)对 n=k+1 成立,则由(1)(2)可得命题 p(n)对一切自然数 n≥n0 成立。 , 竞赛常用定理 定理 4 第二数学归纳法:给定命题 p(n),若: (1)p(n0)成立; (2)当 p(n)对一切 n≤k 的自 然数 n 都成立时(k≥n0)可推出 p(k+1)成立,则由(1)(2)可得命题 p(n)对一切自然数 n , ≥n0 成立。 定理 5 对于齐次二阶线性递归数列 xn=axn-1+bxn-2,设它的特征方程 x2=ax+b 的两个根为α , β :(1)若α ? β ,则 xn=c1an-1+c2β n-1,其中 c1, c2 由初始条件 x1, x2 的值确定;(2)若α =β , 则 xn=(c1n+c2) α n-1,其中 c1, c2 的值由 x1, x2 的值确定。 二、方法与例题 1.不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律, 当然结论未必都是正确的, 但却是人类探 索未知世界的普遍方式。通常解题方式为:特殊→猜想→数学归纳法证明。 例 1 试给出以下几个数列的通项(不要求证明) ;1)0,3,8,15,24,35,…;2)1,5, 19,65,…;3)-1,0,3,8,15,…。 【解】1)an=n2-1;2)an=3n-2n;3)an=n2-2n. 例 2 已知数列{an}满足 a1= 【解】 因为 a1= 1 ,a1+a2+…+an=n2an, n≥1,求通项 an. 2 1 ,又 a1+a2=22·a2, 2 a ?a 1 1 1 ,a3= ? 2 2 ? ,猜想 a n ? (n≥1). 3? 4 n(n ? 1) 3? 2 3 ?1 1 证明;1)当 n=1 时,a1= ,猜想正确。2)假设当 n≤k 时猜想成立。 2 ?1 所以 a2= 当 n=k+1 时,由归纳假设及题设,a1+ a1+…+a1=[(k+1)2-1] ak+1,, 1 1 1 =k(k+2)ak+1, ? ?? ? 2 ?1 3 ? 2 k ? (k ? 1) 1 1 1 1 1 即1 ? ? ? ? ? ? ? =k(k+2)ak+1, 2 2 3 k k ?1 1 k 所以 =k(k+2)ak+1,所以 ak+1= . (k ? 1)( k ? 2) k ?1 1 由数学归纳法可得猜想成立,所以 a n ? . n(n ? 1) 1 例 3 设 0<a<1,数列{an}满足 an=1+a, an-1=a+ ,求证:对任意 n∈N+,有 an>1. an 所以 【证明】 证明更强的结论:1<an≤1+a. 1)当 n=1 时,1<a1=1+a,①式成立; 2)假设 n=k 时,①式成立,即 1<an≤1+a,则当 n=k+1 时,有 1 ? a ? a k ?1 ? 1 1 1? a ? a2 1? a ?a? ?a ? ? ? 1. 1? a 1? a 1? a ak 由数学归纳法可得①式成立,所以原命题得证。 2.迭代法。 数列的通项 an 或前 n 项和 Sn 中的 n 通常是对任意 n∈N 成立,因此可将其中的 n 换成 n+1 或 n-1 等,这种办法通常称迭代或递推。 例 4 数列{an}满足 an+pan-1+qan-2=0, n≥3,q ? 0,求证:存在常数 c,使得 2 2 a n ?1 ? pan ?1 ·an+ qan ? cq n ?

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