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德江县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

德江县第二高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题

1. 若函数 f(x)=2sin(ωx+φ)对任意 x 都有 f( +x)=f(﹣x),则 f( )=( )

A.2 或 0 B.0 C.﹣2 或 0 D.﹣2 或 2 2. 下列命题的说法错误的是( ) A.若复合命题 p∧q 为假命题,则 p,q 都是假命题 B.“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件 C.对于命题 p:? x∈R,x2+x+1>0 则¬p:? x∈R,x2+x+1≤0 D.命题“若 x2﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1,则 x2﹣3x+2≠0”

3. 若 f(x)=sin(2x+θ),则“f(x)的图象关于 x= 对称”是“θ=﹣ ”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

4. 全称命题:?x∈R,x2>0 的否定是(

A.?x∈R,x2≤0

B.?x∈R,x2>0

) C.?x∈R,x2<0

D.?x∈R,x2≤0

5.若等式(2x﹣1)2014=a0+a1x+a2x2+…+a2014x2014 对于一切实数 x 都成立,则 a0+ 1+ a2+…+

a2014=(



A.

B.

C.

D.0

6. 如图是某几何体的三视图,则该几何体任意两个顶点间的距离的最大值为( )

A.4

B.5

C. 3 2

D. 3 3

7. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

A.16? ? 16 3

B.16? ? 32 3

C.8? ? 16 3


D.8? ? 32 3

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精选高中模拟试卷
【命题意图】本题考查三视图、圆柱与棱锥的体积计算,意在考查识图能力、转化能力、空间想象能力. 8. 执行如图所示的程序框图,若输出的结果是 ,则循环体的判断框内①处应填( )

A.11? B.12? C.13? D.14?

9. 下列满足“? x∈R,f(x)+f(﹣x)=0 且 f′(x)≤0”的函数是( ) A.f(x)=﹣xe|x| B.f(x)=x+sinx

C.f(x)=

D.f(x)=x2|x|

10.某程序框图如图所示,该程序运行输出的 k 值是( )

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A.4

B.5

C.6

D.7

11.若直线 l 的方向向量为 =(1,0,2),平面 α 的法向量为 =(﹣2,0,﹣4),则( )

A.l∥α B.l⊥α

C.l?α D.l 与 α 相交但不垂直

12.已知函数 f(x)=2x,则 f′(x)=(



A.2x

B.2xln2

C.2x+ln2

D.

二、填空题

13.已知点 A(﹣1,1),B(1,2),C(﹣2,﹣1),D(3,4),求向量 在 方向上的投影.

14.球 O 的球面上有四点 S,A,B,C,其中 O,A,B,C 四点共面,△ABC 是边长为 2 的正三角形,平面

SAB⊥平面 ABC,则棱锥 S﹣ABC 的体积的最大值为



15.已知 A(1,0),P,Q 是单位圆上的两动点且满足

,则

+

的最大值为



16.当 x ?(0,1)时,函数 f ? x? ? ex ?1 的图象不在函数 g(x) ? x2 ? ax 的下方,则实数 a 的取值范围是

___________. 【命题意图】本题考查函数图象间的关系、利用导数研究函数的单调性,意在考查等价转化能力、逻辑思维能

力、运算求解能力.

17.已知函数 f(x)= ,点 O 为坐标原点,点 An(n,f(n))(n∈N+),向量 =(0,1),θn 是向量

与 i 的夹角,则

+

+…+

=



18.递增数列{an}满足 2an=an﹣1+an+1,(n∈N*,n>1),其前 n 项和为 Sn,a2+a8=6,a4a6=8,则 S10= .

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三、解答题
19.已知正项等差{an},lga1,lga2,lga4 成等差数列,又 bn= (1)求证{bn}为等比数列. (2)若{bn}前 3 项的和等于 ,求{an}的首项 a1 和公差 d.
20.已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的短轴长为 2 ,且离心率 e= ,设 F1,F2 是椭圆的左、右焦点, 过 F2 的直线与椭圆右侧(如图)相交于 M,N 两点,直线 F1M,F1N 分别与直线 x=4 相交于 P,Q 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求△ F2PQ 面积的最小值.
21.【盐城中学 2018 届高三上第一次阶段性考试】已知函数 f(x)=ax2+lnx(a∈R).
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(1)当 a= 1 时,求 f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值; 2

(2)如果函数 g(x),f1(x),f2(x),在公共定义域 D 上,满足 f1(x)<g(x)<f2(x),那么就称 g

? ? (x)为

f(1 x),f(2 x)的“活动函数”.已知函数

f

?x? 1

?

? ??

a

?

1 2

? ??

x2

?

2ax

?

1-a 2

lnx, . f ? x? ? 1 x2 ? 2ax 。
22

若在区间(1,+∞)上,函数 f(x)是 f1(x),f2(x)的“活动函数”,求 a 的取值范围.

22.(本小题满分 13 分)
如图,已知椭圆 C : x2 ? y2 ? 1 的上、下顶点分别为 A, B ,点 P 在椭圆上,且异于点 A, B ,直线 AP, BP 4
与直线 l : y ? ?2 分别交于点 M , N , (1)设直线 AP, BP 的斜率分别为 k1, k2 ,求证: k1 ? k2 为定值; (2)求线段 MN 的长的最小值; (3)当点 P 运动时,以 MN 为直径的圆是否经过某定点?请证明你的结论.

【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程及性质、直线与椭圆的位置关系,考查考生运算求解能力,分析问 题与解决问题的能力,是中档题.
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23.(本小题满分

12

分)已知 F1, F2 分别是椭圆 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

?

0) 的两个焦点,且|

F1F2

|?

2 ,点

( 2, 6 ) 在该椭圆上. 2

(1)求椭圆 C 的方程;

(2)设直线 l 与以原点为圆心, b 为半径的圆上相切于第一象限,切点为 M ,且直线 l 与椭圆交于 P、Q 两

点,问 F2P ? F2Q ? PQ 是否为定值?如果是,求出定值,如不是,说明理由.

24.(本题满分 12 分)在如图所示的几何体中,四边形 ABCD为矩形,直线 AF ?平面 ABCD,EF // AB, AD ? 2, AB ? AF ? 2EF ? 1,点 P 在棱 DF 上. (1)求证: AD ? BF ; (2)若 P 是 DF 的中点,求异面直线 BE与 CP 所成角的余弦值; (3)若 FP ? 1 FD,求二面角 D ? AP ? C 的余弦值.
3

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德江县第二高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D 【解析】解:由题意:函数 f(x)=2sin(ωx+φ), ∵f( +x)=f(﹣x),
可知函数的对称轴为 x= = ,
根据三角函数的性质可知, 当 x= 时,函数取得最大值或者最小值. ∴f( )=2 或﹣2 故选 D.
2. 【答案】A
【解析】解:A.复合命题 p∧q 为假命题,则 p,q 至少有一个命题为假命题,因此不正确; B.由 x2﹣3x+2=0,解得 x=1,2,因此“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件,正确; C.对于命题 p:?x∈R,x2+x+1>0 则¬p:?x∈R,x2+x+1≤0,正确; D.命题“若 x2﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1,则 x2﹣3x+2≠0”,正确. 故选:A.
3. 【答案】B
【解析】解:若 f(x)的图象关于 x= 对称, 则 2× +θ= +kπ, 解得 θ=﹣ +kπ,k∈Z,此时 θ=﹣ 不一定成立, 反之成立, 即“f(x)的图象关于 x= 对称”是“θ=﹣ ”的必要不充分条件, 故选:B 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合三角函数的对称性是解决本题的关键.
4. 【答案】D
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【解析】解:命题:?x∈R,x2>0 的否定是: ?x∈R,x2≤0. 故选 D. 【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词,或者对于“>”的否定用“<”了.这里就有注意 量词的否定形式.如“都是”的否定是“不都是”,而不是“都不是”.特称命题的否定是全称命题,“存在”对应“任 意”.

5. 【答案】B 【解析】解法一:∵ ∴

, (C 为常数),

取 x=1 得



再取 x=0 得

,即得







故选 B. 解法二:∵ ∴

, ,





故选 B. 【点评】本题考查二项式定理的应用,定积分的求法,考查转化思想的应用.

6. 【答案】D 【解析】
试题分析:因为根据几何体的三视图可得,几何体为下图 AD, AB, AG 相互垂直,面 AEFG ?面 ABCDE, BC // AE, AB ? AD ? AG ? 3, DE ? 1,根据几何体的性质得: AC ? 3 2,GC ? 32 ? (3 2)2 ? 27 ? 3 3,GE ? 32 ? 42 ? 5 , BG ? 3 2, AD ? 4, EF ? 10, CE ? 10 ,所以最长为 GC ? 3 3 .

考点:几何体的三视图及几何体的结构特征.
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7. 【答案】D

【解析】由三视图知几何体为一个底面半径为 2 高为 4 的半圆柱中挖去一个以轴截面为底面高为 2 的四棱锥,

因此该几何体的体积为V ? 1 ?? 22 ? 4 ? 1 ? 4? 4? 2 ? 8? ? 32 ,故选 D.

2

3

3

8. 【答案】C

【解析】解:由已知可得该程序的功能是计算并输出 S= + + +…+

= 的值,

若输出的结果是 ,
则最后一次执行累加的 k 值为 12, 则退出循环时的 k 值为 13, 故退出循环的条件应为:k≥13?, 故选:C 【点评】算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程序填空也是重要的 考试题型,这种题考试的重点有:①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出.其中前两点考 试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程图的含义而导致错误.

9. 【答案】A

【解析】解:满足“?x∈R,f(x)+f(﹣x)=0,且 f′(x)≤0”的函数为奇函数,且在 R 上为减函数, A 中函数 f(x)=﹣xe|x|,满足 f(﹣x)=﹣f(x),即函数为奇函数,

且 f′(x)=

≤0 恒成立,故在 R 上为减函数,

B 中函数 f(x)=x+sinx,满足 f(﹣x)=﹣f(x),即函数为奇函数,但 f′(x)=1+cosx≥0,在 R 上是增函数,

C 中函数 f(x)=

,满足 f(﹣x)=f(x),故函数为偶函数;

D 中函数 f(x)=x2|x|,满足 f(﹣x)=f(x),故函数为偶函数, 故选:A.

10.【答案】 C

【解析】解:程序在运行过程中各变量的值如下表示:

S

k

是否继续循环

循环前 100 0/

第一圈 100﹣20 1



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第二圈 100﹣20﹣21

2





第六圈 100﹣20﹣21﹣22﹣23﹣24﹣25<0 6



则输出的结果为 7.

故选 C.

【点评】根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处理方法是::①

分析流程图(或伪代码),从流程图(或伪代码)中既要分析出计算的类型,又要分析出参与计算的数据(如

果参与运算的数据比较多,也可使用表格对数据进行分析管理)?②建立数学模型,根据第一步分析的结果,

选择恰当的数学模型③解模.

11.【答案】B 【解析】解:∵ ∴ =﹣2 , ∴∥, 因此 l⊥α. 故选:B.

=(1,0,2), =(﹣2,0,4),

12.【答案】B
【解析】解:f(x)=2x,则 f'(x)=2xln2, 故选:B. 【点评】本题考查了导数运算法则,属于基础题.

二、填空题
13.【答案】

【解析】解:∵点 A(﹣1,1),B(1,2),C(﹣2,﹣1),D(3,4), ∴向量 =(1+1,2﹣1)=(2,1),
=(3+2,4+1)=(5,5); ∴向量 在 方向上的投影是

=

=.

14.【答案】



【解析】解:由题意画出几何体的图形如图

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由于面 SAB⊥面 ABC,所以点 S 在平面 ABC 上的射影 H 落在 AB 上,根据球体的对称性可知,当 S 在“最 高点”,也就是说 H 为 AB 中点时,SH 最大,棱锥 S﹣ABC 的体积最大.

∵△ABC 是边长为 2 的正三角形,所以球的半径 r=OC= CH=



在 RT△SHO 中,OH= OC= OS

∴∠HSO=30°,求得 SH=OScos30°=1,

∴体积 V= Sh= ×

×22×1=



故答案是



【点评】本题考查锥体体积计算,根据几何体的结构特征确定出 S 位置是关键.考查空间想象能力、计算能 力.

15.【答案】



【解析】解:设

= ,则

=

= , 的方向任意.



+

=

=1× ×

≤ ,因此最大值为 .

故答案为: .

【点评】本题考查了数量积运算性质,考查了推理能力 与计算能力,属于中档题.

16.【答案】[2 ? e, ??)

【解析】由题意,知当 x ?(0,1)时,不等式 ex ?1 ? x2 ? ax ,即 a ? 1? x2 ? ex 恒成立.令 h ? x? ? 1? x2 ? ex ,

x

x

? ? ? x ?1? x ?1? ex

h'?x? ?

x2

.令 k ? x? ? x ?1? ex ,k '? x? ?1?ex .∵ x ??0,1 ?,∴ k '? x? ?1 ?e x ?0, ∴ k ? x?



x

?

?0,1?

为递减,∴

k

?

x?

?

k

?0?

?

0

,∴

h

'?

x?

?

?

x

?1??

x? x2

1?

ex

?

?

0

,∴

h

?

x?



x

?

?0,1?

为递增,∴

h? x? ? h?1? ? 2 ? e ,则 a ? 2 ? e .

17.【答案】



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【解析】解:点 An(n, )(n∈N+),向量 =(0,1),θn 是向量 与 i 的夹角,

=,

= ,…,

=





+

+…+

=

+…+

=1﹣ = ,

故答案为: . 【点评】本题考查了向量的夹角、数列“裂项求和”方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

18.【答案】 35 .

【解析】解:∵2an=an﹣1+an+1,(n∈N*,n>1), ∴数列{an}为等差数列, 又 a2+a8=6,∴2a5=6,解得:a5=3, 又 a4a6=(a5﹣d)(a5+d)=9﹣d2=8, ∴d2=1,解得:d=1 或 d=﹣1(舍去) ∴an=a5+(n﹣5)×1=3+(n﹣5)=n﹣2. ∴a1=﹣1,

∴S10=10a1+

=35.

故答案为:35. 【点评】本题考查数列的求和,判断出数列{an}为等差数列,并求得 an=2n﹣1 是关键,考查理解与运算能力, 属于中档题.

三、解答题
19.【答案】

【解析】(1)证明:设{an}中首项为 a1,公差为 d. ∵lga1,lga2,lga4 成等差数列,∴2lga2=lga1+lga4, ∴a22=a1a4. 即(a1+d)2=a1(a1+3d),∴d=0 或 d=a1.

当 d=0 时,an=a1,bn= = ,∴

=1,∴{bn}为等比数列;

当 d=a1 时,an=na1,bn= = 综上可知{bn}为等比数列.

,∴

= ,∴{bn}为等比数列.

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(2)解:当 d=0 时,S3= = ,所以 a1= ;

当 d=a1 时,S3= = ,故 a1=3=d.
【点评】本题主要考查等差数列与等比数列的综合以及分类讨论思想的应用,涉及数列的公式多,复杂多样, 故应多下点功夫记忆.

20.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)∵椭圆 C:

+ =1(a>b>0)的短轴长为 2 ,且离心率 e= ,



,解得 a2=4,b2=3,

∴椭圆 C 的方程为

=1.

(Ⅱ)设直线 MN 的方程为 x=ty+1,(﹣

),

代入椭圆

,化简,得(3t2+4)y2+6ty﹣9=0,







设 M(x1,y1),N(x2,y2),又 F1(﹣1,0),F2(1,0),

则直线 F1M:

,令 x=4,得 P(4,

),同理,Q(4,

),



=|

|=15×|

|=180×|

|,

令 μ=

∈[1, ),则

=180×



∵y=

=

在[1, )上是增函数,

∴当 μ=1 时,即 t=0 时,(

)min= .

【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查三角形面积的最小值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意韦 达定理、直线方程、弦长公式、函数单调性、椭圆性质的合理运用.

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21.【答案】(1) f ? x? ? 1? e2 , f ? x? ? 1 .

max

2

min 2

(2)a

的范围是

????

1 2

,

1 4

? ??

.

【解析】试题分析:(1)由题意得 f(x)= 1 x2+lnx, f '?x? ? x ? 1 ? x2 ?1 ? 0 ,∴f(x)在区间[1,e]上为

2

xx

增函数,即可求出函数的最值.

试题解析:

(1)当

时,





对于 x∈[1,e],有 f'(x)>0,∴f(x)在区间[1,e]上为增函数,







(2)在区间(1,+∞)上,函数 f(x)是 f1(x),f2(x)的“活动函数”,则 f1(x)<f(x)<f2(x)令

<0,对 x∈(1,+∞)恒成立,

且 h(x)=f1(x)﹣f(x)=

<0 对 x∈(1,+∞)恒成立,





,令 p′(x)=0,得极值点 x1=1,



当 x2>x1=1,即

时,在(x2,+∞)上有 p′(x)>0,

此时 p(x)在区间(x2,+∞)上是增函数,并且在该区间上有 p(x)∈(p(x2),+∞),不合题意;

当 x2<x1=1,即 a≥1 时,同理可知,p(x)在区间(1,+∞)上,有 p(x)∈(p(1),+∞),也不合题

意;



,则有 2a﹣1≤0,此时在区间(1,+∞)上恒有 p′(x)<0,

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从而 p(x)在区间(1,+∞)上是减函数;

要使 p(x)<0 在此区间上恒成立,只须满足



所以 ≤a≤ .

又因为 h′(x)=﹣x+2a﹣ =

<0,h(x)在(1,+∞)上为减函数,

h(x)<h(1)= +2a≤0,所以 a≤

综合可知 a 的范围是[ , ].

22.【答案】

【解析】(1)易知 A?0,1?, B?0, ?1?,设 P? x0, y0 ? ,则由题设可知 x0 ? 0 ,

?

直线 AP 的斜率 k1 ?

y0 ? x0

1

,BP

的斜率

k2

?

y0 ?1 ,又点 P 在椭圆上,所以 x0

? ? x02
4

?

y0

?1,

x0 ? 0

,从而有 k1 ? k2 ?

y0 ?1 y0 ?1 ? x0 x0

y02 ?1 x02

?

?

1 4

.

(4 分)

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23.【答案】 【解析】【命题意图】本题考查椭圆方程与几何性质、直线与圆的位置关系等基础知识,意在考查逻辑思维能 力、探索性能力、运算求解能力,以及方程思想、转化思想的应用.
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24.【答案】 【解析】【命题意图】本题考查了线面垂直、线线垂直等位置关系及线线角、二面角的度量,突出考查逻辑推 理能力及利用坐标系解决空间角问题,属中等难度.
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(3)因为

AB

?

平面

ADF

,所以平面

ADF

的一个法向量

n1

?

(1,0,0)

.由

FP

?

1 3

FD



P



FD的三等分点

且此时 P(0, 2 , 2) .在平面 APC中, AP ? (0, 2 , 2) , AC ? (1,2,0) .所以平面 APC的一个法向量

33

33

n2 ? (?2,1,?1) .……………………10 分

所以| cos ? n1, n2 ?|? | n1 ? n2 | ? | n1 || n2 |

6 ,又因为二面角 D ? AP?C 的大小为锐角,所以该二面角的余弦值为 3

6 .……………………………………………………………………12 分 3

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