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河津市一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

河津市一中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析

班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1. 设全集 U={1,3,5,7,9},集合 A={1,|a﹣5|,9},? UA={5,7},则实数 a 的值是(



A.2 B.8 C.﹣2 或 8 D.2 或 8

2. 已知 a=5 ,b=log2 ,c=log5 ,则(



A.b>c>a B.a>b>c C.a>c>b D.b>a>c

3. 设 0<a<1,实数 x,y 满足

,则 y 关于 x 的函数的图象形状大致是( )

A.

B.

C.

D.

4. 已知 x ? 1? yi ,其中 x, y 是实数,是虚数单位,则 x ? yi 的共轭复数为 1? i

A、1? 2i

B、1? 2i

C、 2 ? i

D、 2 ? i

5. 设 m、n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m⊥α,n∥α,则 m⊥n;②若 α∥β,β∥γ,m⊥α,则 m⊥γ; ③若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n;④若 α⊥β,m⊥β,则 m∥α;

其中正确命题的序号是( )

A.①②③④ B.①②③ C.②④ D.①③

6. 已知全集U ? ?1, 2,3, 4,5,6,7? , A ? ?2, 4,6? , B ? ?1,3,5,7? ,则 A (?U B) ? (

A.?2, 4,6?

B. ?1, 3, 5?

C.?2, 4,5?

7. 已知点 P(1,﹣ ),则它的极坐标是( )


D. ?2, 5?

A.

B.

C.

D.

?ax-1,x≤1

?? 8. 已知函数 f(x)= logax+1 1,x>1(a>0 且 a≠1),若 f(1)=1,f(b)=-3,则 f(5-b)=(



A.-14

B.-12

C.-34

D.-54

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9. Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 3a8-2a7=4,则下列结论正确的是(



A.S18=72

B.S19=76

C.S20=80

D.S21=84

10.若命题 p:?x∈R,2x2﹣1>0,则该命题的否定是(



A.?x∈R,2x2﹣1<0 B.?x∈R,2x2﹣1≤0

C.?x∈R,2x2﹣1≤0

D.?x∈R,2x2﹣1>0

11.不等式

≤0 的解集是(



A.(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,2)

B.[﹣1,2]

C.(﹣∞,﹣1)∪[2,+∞) D.(﹣

1,2]

12.给出下列结论:①平行于同一条直线的两条直线平行;②平行于同一条直线的两个平面平行;

③平行于同一个平面的两条直线平行;④平行于同一个平面的两个平面平行.其中正确的个数是( )

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

二、填空题

13.如图是根据部分城市某年 6 月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直方图,其中平均气温

的范围是.已知样本中平均气温不大于 22.5℃的城市个数为 11,则样本中平均气温不低于 25.5℃的城市个数





14.在直角梯形 ABCD, AB ? AD, DC/ / AB, AD ? DC ?1, AB ? 2, E, F分别为 AB, AC 的中点, 点 P 在以 A 为圆心, AD 为半径的圆弧 DE 上变动(如图所示).若 AP ? ? ED ? ? AF ,其中 ?, ? ? R , 则 2? ? ? 的取值范围是___________.
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15.正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,平面 AB1D1 和平面 BC1D 的位置关系为



16.等比数列{an}的公比 q=﹣ ,a6=1,则 S6=



17.【启东中学 2018 届高三上学期第一次月考(10 月)】已知函数 f ? x?=-xlnx+ax 在 ?0,e? 上是增函

? ? 数,函数 g ? x?= ex-a + a2 ,当 x ? 0,ln3 时,函数 g(x)的最大值 M 与最小值 m 的差为 3 ,则 a 的值

2

2

为______.

18.设平面向量 ai ?i ?1, 2,3, ? ,满足 ai ? 1 且 a1 ? a2 ? 0 ,则 a1 ? a2 ?

, a1 ? a2 ? a3 的最大

值为

.

【命题意图】本题考查平面向量数量积等基础知识,意在考查运算求解能力.

三、解答题

19.如图所示,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, E 为 AC 与 BD 的交点, PA ? 平 面 ABCD, M 为 PA 中点, N 为 BC 中点. (1)证明:直线 MN / / 平面 ABCD ;

(2)若点 Q 为 PC 中点, ?BAD ?120? , PA ? 3 , AB ?1,求三棱锥 A ? QCD 的体积.

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20.已知命题 p:x2﹣2x+a≥0 在 R 上恒成立,命题 q: q 为假,求实数 a 的取值范围.

若 p 或 q 为真,p 且

21.已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和,且满足 Sn=2an﹣n2+3n+2(n∈N*) (Ⅰ)求证:数列{an+2n}是等比数列;

(Ⅱ)设 bn=ansin

π,求数列{bn}的前 n 项和;

(Ⅲ)设 Cn=﹣

,数列{Cn}的前 n 项和为 Pn,求证:Pn< .

22.(本小题满分 12 分)
已知直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,上底面是斜边为 AC 的直角三角形, E、F 分别是 A1B、AC1 的中点.
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(1)求证: EF // 平面 ABC; (2)求证:平面 AEF ? 平面 AA1B1B .
23.已知函数 f(x)=|2x+1|+|2x﹣3|. (Ⅰ)求不等式 f(x)≤6 的解集; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f(x)﹣log2(a2﹣3a)>2 恒成立,求实数 a 的取值范围.

24.已知函数



(Ⅰ)若曲线 y=f(x)在点 P(1,f(1))处的切线与直线 y=x+2 垂直,求函数 y=f(x)的单调区间;

(Ⅱ)若对于?x∈(0,+∞)都有 f(x)>2(a﹣1)成立,试求 a 的取值范围; (Ⅲ)记 g(x)=f(x)+x﹣b(b∈R).当 a=1 时,函数 g(x)在区间[e﹣1,e]上有两个零点,求实数 b 的取 值范围.

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河津市一中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D 【解析】解:由题意可得 3∈A,|a﹣5|=3, ∴a=2,或 a=8, 故选 D.
2. 【答案】C

【解析】解:∵a=5
∴a>c>b. 故选:C.

>1,b=log2 <log5 =c<0,

3. 【答案】A

【解析】解:0<a<1,实数 x,y 满足

,即 y= ,故函数 y 为偶函数,它的图象关于 y

轴对称, 在(0,+∞)上单调递增,且函数的图象经过点(0,1), 故选:A. 【点评】本题主要指数式与对数式的互化,函数的奇偶性、单调性以及特殊点,属于中档题.

4. 【答案】D

【解析】 x ? 1 (x ? xi) ? 1? yi,? x ? 2, y ? 1, 故选 D 1?i 2
5. 【答案】B 【解析】解:由 m、n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面: 在①中:若 m⊥α,n∥α,则由直线与平面垂直得 m⊥n,故①正确; 在②中:若 α∥β,β∥γ,则 α∥γ, ∵m⊥α,∴由直线垂直于平面的性质定理得 m⊥γ,故②正确; 在③中:若 m⊥α,n⊥α,则由直线与平面垂直的性质定理得 m∥n,故③正确; 在④中:若 α⊥β,m⊥β,则 m∥α 或 m?α,故④错误. 故选:B.

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6. 【答案】A

考点:集合交集,并集和补集. 【易错点晴】集合的三要素是:确定性、互异性和无序性.研究一个集合,我们首先要看清楚它的研究对象, 是实数还是点的坐标还是其它的一些元素,这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式,我们首先用 十字相乘法分解因式,求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中,要注意分母不能为零.元素与集合之间是 属于和不属于的关系,集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并 集和补集的题目. 7. 【答案】C

【解析】解:∵点 P 的直角坐标为

,∴ρ=

=2.

再由 1=ρcosθ,﹣ =ρsinθ,可得

,结合所给的选项,可取 θ=﹣ ,

即点 P 的极坐标为 (2,

),

故选 C. 【点评】本题主要考查把点的直角坐标化为极坐标的方法,属于基础题.

8. 【答案】 【解析】解析:选 C.由题意得 a-1=1,∴a=2. 若 b≤1,则 2b-1=-3,即 2b=-2,无解. ∴b>1,即有 log2b+1 1=-3,∴b+1 1=18,∴b=7. ∴f(5-b)=f(-2)=2-2-1=-34,故选 C. 9. 【答案】 【解析】选 B.∵3a8-2a7=4, ∴3(a1+7d)-2(a1+6d)=4, 即 a1+9d=4,S18=18a1+18×217d=18(a1+127d)不恒为常数.
19×18d S19=19a1+ 2 =19(a1+9d)=76,

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同理 S20,S21 均不恒为常数,故选 B. 10.【答案】C

【解析】解:命题 p:?x∈R,2x2﹣1>0, 则其否命题为:?x∈R,2x2﹣1≤0, 故选 C; 【点评】此题主要考查命题否定的定义,是一道基础题;

11.【答案】D

【解析】解:依题意,不等式化为



解得﹣1<x≤2, 故选 D 【点评】本题主要考查不等式的解法,关键是将不等式转化为特定的不等式去解.

12.【答案】B 【解析】

考 点:空间直线与平面的位置关系. 【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明,其中解答中涉及到直线与直线平行 的判定与性质、直线与平面平行的判定与性质的应用,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,属于中档 试题,本题的解答中熟记直线与直线平行和直线与平面平行的判定与性质是解答的关键.
二、填空题
13.【答案】 9 .
【解析】解:平均气温低于 22.5℃的频率,即最左边两个矩形面积之和为 0.10×1+0.12×1=0.22, 所以总城市数为 11÷0.22=50, 平均气温不低于 25.5℃的频率即为最右面矩形面积为 0.18×1=0.18, 所以平均气温不低于 25.5℃的城市个数为 50×0.18=9. 故答案为:9
14.【答案】 ? ?1,1?
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【解析】
考 点:向量运算. 【思路点晴】本题主要考查向量运算的坐标法. 平面向量的数量积计算问题,往往有两种形式,一是利用数量 积的定义式,二是利用数量积的坐标运算公式,涉及几何图形的问题,先建立适当的平面直角坐标系,可起到 化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件,可将有关角度问题、线段长问题及垂直 问题转化为向量的数量积来解决. 15.【答案】 平行 . 【解析】解:∵AB1∥C1D,AD1∥BC1, AB1?平面 AB1D1,AD1?平面 AB1D1,AB1∩AD1=A C1D?平面 BC1D,BC1?平面 BC1D,C1D∩BC1=C1 由面面平行的判定理我们易得平面 AB1D1∥平面 BC1D 故答案为:平行. 【点评】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系,在判断线与面的平行与垂直关系时,正方体是最常 用的空间模型,大家一定要熟练掌握这种方法. 16.【答案】 ﹣21 . 【解析】解:∵等比数列{an}的公比 q=﹣ ,a6=1, ∴a1(﹣ )5=1,解得 a1=﹣32,
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∴S6=

=﹣21

故答案为:﹣21

17.【答案】 5 2
【 解 析 】 f ?? x? ? ?1 ?lnx ? a, 因为 f ? x? 在 ?0,e? 上 是增 函 数, 即 f ?? x? ? 0 在 ?0,e? 上 恒 成立,

?a ? lnx ?1,则 a ? ?lnx ?1? ,当 x ? e 时, a ? 2 , max

又 g ? x? ? ex ? a ? a2 ,令 t ? ex ,则 g ?t ? ? t ? a ? a2 ,t ??1,3? ,

2

2

(1)当 2 ? a ? 3时, g ?t ? ? g ?1? ? a ?1? a2 , g ?t ? ? g ?a? ? a2 ,

max

2

min

2

则 g ?t ? ? g ?t ? ? a ?1 ? 3 ,则 a ? 5 ,

max

min

2

2

(2)当 a ? 3时, g ?t ? ? g ?1? ? a ?1? a2 , g ?t ? ? g ?3? ? a ? 3 ? a2 ,

max

2

min

2

则 g ?t? ? g ?t? ? 2 ,舍。

max

min

?a ? 5 。 2

18.【答案】 2 , 2 ?1.

【解析】∵ a1 ? a2

2?

2
a1

?

2a1

? a2

?

a

2 2

?1?

0

?1?

2

,∴

a1

?

a2

?

2,



a1

?

a2

?

a3

2

?

(a1

?

a2 )2

?

2(a1

?

a2 ) ? a3

?

2
a3

?

2

?

2

2 ?1? cos ? a1 ? a2, a3 ? ?1 ? 3 ? 2

2,

∴ a1 ? a2 ? a3 ? 2 ?1 ,当且仅当 a1 ? a2 与 a3 方向相同时等号成立,故填: 2 , 2 ?1.

三、解答题 19.【答案】(1)证明见解析;(2) 1 .
8
【解析】

试题解析:(1)证明:取 PD 中点 R ,连结 MR , RC ,
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∵ MR / / AD , NC / / AD , MR ? NC ? 1 AD , 2
∴ MR / /NC , MR ? AC ,

∴四边形 MNCR 为平行四边形,

∴ MN / /RC ,又∵ RC ?平面 PCD, MN ? 平面 PCD,

∴ MN / / 平面 PCD.

(2)由已知条件得 AC ? AD ? CD ?1,所以 S?ACD ?

3, 4

所以 VA?QCD

? VQ?ACD

?

1 3

?

S?ACD

?1 2

PA ?

1. 8

考点:1、直线与平面平行的判定;2、等积变换及棱锥的体积公式. 20.【答案】

【解析】解:若 P 是真命题.则△=4﹣4a≤0∴a≥1; …(3 分) 若 q 为真命题,则方程 x2+2ax+2﹣a=0 有实根, ∴△=4a2﹣4(2﹣a)≥0,即,a≥1 或 a≤﹣2,…(6 分) 依题意得,当 p 真 q 假时,得 a∈?; …(8 分) 当 p 假 q 真时,得 a≤﹣2.…(10 分) 综上所述:a 的取值范围为 a≤﹣2.…(12 分) 【点评】本题考查复合函数的真假与构成其简单命题的真假的关系,解决此类问题应该先求出简单命题为真时 参数的范围,属于基础题.

21.【答案】

【解析】(I)证明:由 Sn=2an﹣n2+3n+2(n∈N*),∴当 n≥2 时,



an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1﹣2n+4, 变形为 an+2n=2[an﹣1+2(n﹣1)],当 n=1 时,a1=S1=2a1﹣1+3+2,解得 a1=﹣4,∴a1+2=﹣2,∴数列{an+2n} 是等比数列,首项为﹣2,公比为 2;

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(II)解:由(I)可得 an=﹣2×2n﹣1﹣2n=﹣2n﹣2n.

∴bn=ansin

π=﹣(2n+2n)

,∵

=

=(﹣1)n,

∴bn=(﹣1)n+1(2n+2n). 设数列{bn}的前 n 项和为 Tn. 当 n=2k(k∈N*)时,T2k=(2﹣22+23﹣24+…+22k﹣1﹣22k)+2(1﹣2+3﹣4+…+2k﹣1﹣2k)

=

﹣2k=

﹣n.

当 n=2k﹣1 时,T2k﹣1=

﹣2k﹣(﹣22k﹣4k)=

+n+1+2n+1=

+n+1.

(III)证明:Cn=﹣

=

,当 n≥2 时,cn



∴数列{Cn}的前 n 项和为 Pn<

= =,

当 n=1 时,c1=

成立.

综上可得:?n∈N*,



【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、“放缩法”、三角函数的诱导公式、递 推式的应用,考查了分类讨论的思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

22.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.










题解析:证明:(1)连接 A1C ,∵直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,四边形 AA1C1C 是矩形, 故点 F 在 A1C 上,且 F 为 A1C 的中点, 在 ?A1BC 中,∵ E、F 分别是 A1B、AC1 的中点,∴ EF // BC . 又 EF ? 平面 ABC, BC ? 平面 ABC,∴ EF // 平面 ABC.
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考点:1.线面平行的判定定理;2.面面垂直的判定定理. 23.【答案】

【解析】解:(Ⅰ)原不等式等价于







解得: <x≤2 或﹣ ≤x≤ 或﹣1≤x<﹣ ,

∴不等式 f(x)≤6 的解集为{x|﹣1≤x≤2}.

(Ⅱ)不等式 f(x)﹣

>2 恒成立?

+2<f(x)min 恒成立,

∵|2x+1|+|2x﹣3|≥|(2x+1)﹣(2x﹣3)|=4,

∴f(x)的最小值为 4,



+2<4,





解得:﹣1<a<0 或 3<a<4. ∴实数 a 的取值范围为(﹣1,0)∪(3,4).

+2<f(x)=|2x+1|+|2x﹣3|恒成立?

24.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)直线 y=x+2 的斜率为 1,函数 f(x)的定义域为(0,+∞),

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因为 所以,

,所以, ,

,所以,a=1. . 由 f'(x)>0 解得 x>2;由 f'(x)<0,解得 0<x<2.

所以 f(x)的单调增区间是(2,+∞),单调减区间是(0,2).

(Ⅱ)

,由 f'(x)>0 解得

; 由 f'(x)<0 解得



所以,f(x)在区间

上单调递增,在区间

上单调递减.

所以,当 成立,

时,函数 f(x)取得最小值,

.因为对于?x∈(0,+∞)都有 f(x)>2(a﹣1)

所以,

即可. 则

.由

解得



所以,a 的取值范围是



(Ⅲ) 依题得

,则



由 g'(x)>0 解得 x>1; 由 g'(x)<0 解得 0<x<1. 所以函数 g(x)在区间(0,1)为减函数,在区间(1,+∞)为增函数.

又因为函数 g(x)在区间[e﹣1,e]上有两个零点,所以



解得

. 所以,b 的取值范围是



【点评】本题考查导数与曲线上某点的切线斜率的关系,利用导数求函数的单调区间以及函数的最值.

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