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第四讲_数学归纳法_图文

第四讲 数学归纳法

一、知识梳理 数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的 数学命题的一种推理方法,在解数学题中有着 广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法 论证的第一步是证明命题在n=1(或n0 )时成 立,这是递推的基础;第二步是假设在n=k时 命题成立,再证明n=k+1时命题也成立,这是 无限递推下去的理论依据,它判断命题的正确 性能否由特殊推广到一般,实际上它使命题的 正确性突破了有限,达到无限。

二、题型探析 题型1:对数学归纳法的两个步骤的认识

例1

已知 n 是正偶数,用数学归纳法证明

时,若已假设 n=k( k ? 2 且为偶数)时命题 为真,则还需证明(B) A.n=k+1 时命题成立 B. n=k+2 时命题成立 C. n=2k+2 时命题成立 D. n=2(k+2)时命题成立

例 2 设 f (x) 是定义在正整数集上的函数,且 f (k ) ≥ k 2 成立时,总可推出 f (x) 满足: “当 f (k ? 1) ≥ (k ? 1) 2 成立” 那么,下列命题总成 . 立的是( D ) A.若 f (1) ? 1成立,则 f (10) ? 100成立 B.若 f ( 2 ) ? 4 成立,则 f (1) ≥1 成立 C.若 f (3) ≥ 9 成立,则当 k ≥ 1 时,均有
f ( k ) ≥ k 2 成立

D.若 f ( 4) ≥ 25 成立,则当 k ≥ 4 时,均有
f ( k ) ≥ k 2 成立

练习
1 ? a n ?1 1? a ? a ?? ? a ? (a ? 1, n ? N ? ) ,在验证 1.用数学归纳法证明 1? a
2 n

n=1 时,左边计算所得的式子是( ) A. 1 B. 1 ? a

1 ? a ? a2 C.

D. 1 ? a ? a 2 ? a 4

1 1 1 13 ? ??? ? 的过程中, k 推导到 k+1 2.用数学归纳法证明不等式 n ? 1 n ? 2 由 n ? n 24

时,不等式左边增加的式子是

题型2:用数学归纳法证明数学命题 (恒等式、不等式、整除性问题等)

例 3 用数学归纳法证明不等式
1 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1) ? (n ? 1) 2 2

练习 3. 用数学归纳法证明等式:
1 1 1 1 1 1 1 1 1? ? ? ??? ? ? ? ??? 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 2n
5 an a1 ? , an ?1 ? 4.数列{a }中, 2 2(an ? 1)
n

2

(n ? N ? ) ,用数学

归纳法证明: an ? 2(n ? N )

?

题型3 用“归纳——猜想——证明”解决数学问题

例 4 是否存在常数 a、b、c,使等式
n(n ? 1) 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1) ? (an 2 ? bn ? c) 12
2 2 2

对一

切正整数 n 都成立?证明你的结论

1 ? an {an } 中, a1 ? tan x, an ?1 ? 1 ? a , 5. 在数列 n

(1)写出 a1, a2 , a3 ; (2)求数列 {an} 的通项公 式 ?an ? 中,a1 ? 2, an?1 ? ?an ? ?n?1 ? (2 ? ?)2n (n ? N ? ) , 6. 在数列 其中 ? ? 0 ,求数列 {an} 的通项公式


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