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2014上海虹口区高考数学(理)二模试题-


虹口区 2014 年数学学科高考练习题(理科)
2014.04.09 一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1、已知集合 A ? x x ? 1 ? 2 , B ? x x 2 ? 4 ,则 A ? B ? ________. 2、函数 f ? x ? ? ? x 2 ? 4 x ? 1, x ? ? ?1,1? 的最大值为________. 3、在 ? ABC 中,已知 sin A : sin B : sin C ? 1: 2 : 5 ,则最大角为________. 4、 已知函数 y ? f ? x ? 是函数 y ? a x (其中 a ? 0 , 且 a ? 1) 的反函数, 其图像经过点 a 2 , a , 则 f ? x ? ? ________. 5、复数 z 满足

?

?
?

?

?

?

?

?

z i ,则复数 z 的模为________. ? 1 ? i (其中 i 为虚数单位) 1 i

6、已知 tan ? ? 2, tan(? ? ? ) ? ?1,则 tan ? ? ________.

x2 2 7、抛物线 y ? ?8 x 的焦点与双曲线 2 ? y ? 1 的左焦点 F1 重合,则双曲线的两条渐近线 a
2

的夹角为________. 8、某校一天要上语文、数学、外语、历史、政治、体育六节课,在所有可能的安排中数学 不排在最后一节,体育不排在第一节的概率 是________. .. 9、已知 ?1 ? 2 x ? 关于 x 的展开式中,只有第 4 项的二项式系数最大,则展开式的各项系数
n

之和为________. 10、等差数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 8 ,下列四个命题:

?1 :数列 ?an ? 是递增数列; ? 2 :数列 ?n ? an ? 是递增数列; ? 3 :数列 ?
2 ? 4 :数列 ?an ? 是递增数列. 其中真命题的序号是________.

? an ? ? 是递增数列; ?n?

11、 椭圆 ?

? x ? a cos ? (其中 a ? b ? 0 , 参数 ? 的范围是 0 ? ? ? 2? ) 的两个焦点为 F1 , F2 , ? y ? b sin ?

以 F1 F2 为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,且 F1 F2 ? 4 , 则 a ? ________.

12、如图,设 A, B, C, D 是半径为 1 的球面上的四个不同点, 且满足 AB ? AC ? 0, AC ? AD ? 0, AD ? AB ? 0 , 用 S1 , S2 , S3 分别表示 ? ABC,? ACD,? ABD 的面积, 则 S1 ? S2 ? S3 的最大值为________.

??? ? ??? ?

??? ? ????

???? ??? ?

D

?

?

? ? A ?C ?
B ?

13、在 ? ABC 中, AM ?

???? ?

? ???? ???? ? 1 ??? ,则实 AB ? mAC ,向量 AM 的终点 M 在的内部(不含边界) 4

数 m 的取值范围是________. 14、 对于数列 ?an ? , 规定??1an ? 为数列 ?an ? 的一阶差分数列, 其中 ?1an ? an?1 ? an n ? N* , 对于正整数 k ,规定 ?? k an ? 为 ?an ? 的 k 阶差分数列,其中 ?k an ? ?k ?1an?1 ? ?k ?1an . 若数列

?

?

?an ? 有 a1 ? 1, a2 ? 2 ,且满足 ?2an ? ?1an ? 2 ? 0 ? n ? N* ? ,则 a14 ? ________.
二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15、 已知 ? : “ a ? 2” ; “直线 x ? y ? 0 与圆 x ? ? y ? a ? ? 2 相切” .则 ? 是 ? 的 ( ?:
2 2



A. 充分非必要条件 C. 充要条件

B. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件 )

16、若函数 f ? x ? ? ax ? 1 在区间 ? ?1,1? 上存在一个零点,则实数 a 的取值范围是( A. a ? 1 B. a ? ?1 C. a ? ?1 或 a ? 1 D. ?1 ? a ? 1

17、已知数列 ?an ? 是首项为 a1 ,公差为 d ? 0 ? d ? 2? ? 的等差数列,若数列 ?cos an ? 是等 比数列,则其公比为( A. 1 B. ?1 18 、 函 数 f ) C. ?1 D. 2

? ? 上 可 找 到 n 个 不 同 的 数 x1 , x2 , x3 , ? ,x ? x? ? s i n x在 区 间 ? 0, 1 0 n ,使得
) D. 11

f ?x f? x f? x ?f n x ? 1? 2? 3? ? ? ?? ,则 n 的最大值为( x1 x2 x3 x n
A. 8 B. 9 C. 10

三、解答题(共 5 题,满分 74 分) 19、 (本题共 2 小题,满分 12 分) 已知圆锥的母线长为 6, 底面半径为 4, 点 M 是母线 PA 的中点, AB 是底面圆的直径, 底面半径 OC 与母线 PB 所成的角的大小为 ? . (1)当 ? ? 60? 时,求异面直线 MC 与 PO 所成的角; (2)当三棱锥 M ? ACO 的体积最大时,求 ? 的值.

P

M?

A

? O

B

20、 (本题共 2 小题,满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2cos x ? a ? x ? R ? ,其中 a 为常数.
2

(1)求函数 y ? f ( x) 的最小正周期; (2)如果 y ? f ( x) 的最小值为 0,求 a 的值,并求此时 f ( x) 的最大值及图像的对称轴方 程.

21、 (本题共 2 小题,满分 14 分) 某市 2013 年发放汽车牌照 12 万张,其中燃油型汽车牌照 10 万张,电动型汽车 2 万张. 为了节能减排和控制总量,从 2013 年开始,每年电动型汽车牌照按照 50%增长,而燃油型 汽车牌照每一年比上一年减少 0.5 万张,同时规定一旦某年发放的牌照超过 15 万张,以后 每一年发放的电动车 的牌照的数量维持在这一年的水平不变. ... (1)记 2013 年为第一年,每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列 ?an ? ,每年发放的电动 型汽车牌照数构成数列 ?bn ? ,写出这两个数列的通项公式; (2)从 2013 年算起,累计各年发放的牌照数,哪一年开始超过 200 万张?

22、 (本题共 3 小题,满分 16 分) 函数 y ? f ( x) 的定义域为 R , 若存在常数 M ? 0 , 使得 f ( x) ? M x 对一切实数 x 均 成立,则称 f ( x) 为“圆锥托底型”函数. (1)判断函数 f ( x) ? 2 x, g ( x) ? x3 是否为“圆锥托底型”函数?并说明理由. (2)若函数 f ( x) ? x 2 ? 1 是“圆锥托底型”函数,求 M 的最大值. (3)问实数 k , b 满足什么条件, f ( x) ? kx ? b 是“圆锥托底型”函数.

23、 (本题共 3 小题,满分 18 分) 如 图 , 直 线 l : y ? kx 与 抛 物 线 x 2 ? 2 p y ( 常 数 p ? 0 ) 相 交 于 不 同 的两 点 ? b

A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 且 x2 ? x1 ? h ( h 为 定 值 ) , 线 段 AB 的 中 点 为 D , 与 直 线
平行的切线的切点为 C(不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公 l : y ? kx ? b 共点的直线称为抛物线的切线,这个公共点称为切点) (1)用 k , b 表示出点 C 、点 D 的坐标,并证明 CD 垂直于 x 轴; (2)求 ? ABC 的面积,证明 ? ABC 的面积与 k , b 无关,只与 h 有关; (3)小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后,小张连 AC, BC ,再作与 AC, BC 平行的 切线,切点分别为 E , F ,小张马上写出了 ? ACE 、 ?BCF 的面积,由此,小张求出 了直线 l 与抛物线围成的面积,你认为小张能做到吗?请你说明理由.

y

? A

? D

? B

O C

x


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