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2013-2014学年高二数学(理)第一学期期中试题[1] 2


2013-2014 学年度第一学期期中考试试卷 高二数学(理科)
命题人:x x x 第 I 卷 选择题部分【共 60 分】 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)在每小题列出的四个选项中, 只有一项是最符合题目要求的。 ) 1、等比数列 ?an ? 中, a1 ? 3 ,公比 q ? 2 ,则 a4 等于( ) A.6 B.10 C.12 D.24 2、设 a ? 1 ? b ? ?1 ,则下列不等式中恒成立的是 ( ) 1 1 1 1 A B C a ? b2 D ? ? a b a b 3、在 ?ABC 中,a=15,b=10,A= 60? ,则 cos B = ( )
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a 2 ? 2b

2 2 2 2 6 6 B. C. ? D. 3 3 3 3 1 1 1 1 4、 ) ? ? ??? ? ( 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1) n ?1 n n ?1 n ?1 A. B. C. D. n n ?1 n?2 n ?y ? 0 ? 5、 设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z=2x+y 的最大值为 ( ) ?x ? y ? 3 ? 0 ?

A. ?

A.—2 B. 4 C. 6 D. 8 6、在△ABC 中,若 lg sin A ? lg cos B ? lg sin C ? lg 2 ,则△ABC 的形状是( A.直角三角形 B.等边三角形 C.不能确定 D.等腰三角形 7、已知椭圆



+ =1 的焦点分别是 F1,F2,P 是椭圆上一点,若连接 F1,F2, 16 25 P 三点恰好能构成直角三角形,则点 P 到 y 轴的距离是( ) 16 16 25 A. B.3 C. D. 5 3 3 8、 某船开始看见灯塔在南偏东 30 ? 方向, 后来船沿南偏东 60 ? 的方向航行 45km 后,看见灯塔在正西方向,则这时船与灯塔的距离是( ) A.15 3 km B.30km C. 15 km D.15 2 km 2 9、 2x -5x-3<0 的一个必要不充分条件是 ( ) A.- <x<3
1 2

x2

y2

B.- <x<0

1 2

C.-3<x<

1 2

D.-1<x<6

1 1 10.已知第 I 象限的点 P (a, ) 在直线 x ? 2 y-=0 上, 则 ? 的最小值为( ) b 1 a b A. 3 ? 2 2 B. 4 ? 2 C. 4 2 D. 2 ? 3 2
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1 11.各项为正数的等比数列 ?an ? 的公比 q ? 1 ,且 a2 , a3 , a1 成等差数列,则 2 a3 ? a4 的值是 ( ) a4 ? a5
5 ?1 5 ?1 1? 5 5 ?1 5 ?1 B. C. D. 或 2 2 2 2 2 2 12、对任意的实数 x ,不等式 mx ? mx ? 1 ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范围是 ( ) A. (?4 , 0) B. (?4, 0] C. [?4, 0] D. [?4, 0) 第 II 卷 非选择题部分【共 90 分】 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案写在横线上 13、13、 p : ?x ? R , sin x ≤1 ,则命题┐ p 为 。

A.

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,P 是椭圆上的点,且 PF1∶PF2= 14、 设 F1、F2 是椭圆 9 4 2∶1,则△PF1F2 的面积等于 .

1 15、已知 p: ≤x≤1,q:(x-a)(x-a-1)>0,若 p 是非 q 的充分不必要条件, 2 则实数 a 的取值范围是________. 3 29 16、若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n 2 ? n (n ? 1, 3, ) ,则此数列的通项公式 2,? 2 2 为_________;数列 ?nan ? 中数值最小的项是第_________项.

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 已知 f ( x) ? 2 x 2 ? bx ? c ,不等式 f ( x) ? 0 的解集是 ? 0,5 ? , (Ⅰ) 求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ) 若对于任意 x ?[?1,1] ,不等式 f ( x) ? t ? 2 恒成立,求 t 的取值范围.

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18.(本小题满分 12 分) 在锐角△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 3a ? 2c sin A . (Ⅰ)确定角 C 的大小; (Ⅱ)若 c= 7 ,且△ABC 的面积为
3 3 2

,求 a+b 的值.

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19 、( 本 小 题 满 分 12 分 ) 等 比 数 列 ?an ? 的 各 项 均 为 正 数 , 且
2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2 a6 .

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式.
?1? (Ⅱ)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ...... ? log3 an , 求数列 ? ? 的前 n 项和. ? bn ?

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2 20、 (本小题满分 12 分)给定两个命题, P :对任意实数 x 都有 ax ? ax ? 1 ? 0 恒 成立; Q :关于 x 的方程 x 2 ? x ? a ? 0 有实数根;如果 P 与 Q 中有且仅有一个为真命 题,求实数 a 的取值范围.

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21.(本小题满分 12 分)已知数列 ?bn ? 中, b1 ? 1 ,且点 ? bn ?1 , bn ? 在直线 y ? x ? 1 上.数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 , (Ⅰ) 求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ)若 cn ? an ? 3 ,求数列 ?bn cn ? 的前 n 项和 S n .

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x2 y2 6 22、 (本小题满分 12 分)已知椭圆 G: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,右焦 a b 3 点为(2 2,0),斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A,B 两点,以 AB 为底边作等 腰三角形,顶点为 P(-3,2). (1)求椭圆 G 的方程; (2)求△PAB 的面积.

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高二数学理科答案
一、选择题: (本题每小题 5 分,满分 60 分)
题 号 答 案 1 D 2 C 3 D 4 B 5 C 6 D 7 A 8 A 9 D 10 A 11 B 12 B

二、填空题 (本题满分 20 分) 13、 ?xo ? R, sin xo ? 1 15
? 1? ?0, 2 ? ? ?

14、4 16、 an ? 3n ? 16,
3

三、解答题(本题满分 70 分)
17.(10 分)解: (1) f ( x) ? 2 x ? 10 x
2

(2)

t ? ?10
a 2sin A sin A , ? ? c sin C 3

18、解: (Ⅰ)由 3a ? 2c sin A 及正弦定理得,

?C ?
( Ⅱ

?
3.


Q c ? 7, C ?

?
3

.















1 ? 3 3 ab sin ? , 即ab ? 6         ① 2 3 2
由余弦定理得, a ? b ? 2ab cos
2 2
2

?
3

? 7, 即a 2 ? b 2 ? ab ? 7     ②

(a+b) ? 25, 故a ? b ? 5 . 由②变形得
2 19、解: (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a3 ? 9a2 a6 得 a3 ? 9a4 所以 q ?
2 3 2

1 。 9

高二数学(理)

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由条件可知 q>0,故 q ?

1 。 3

由 2a1 ? 3a2 ? 1 得 2a1 ? 3a2 q ? 1 ,所以 a1 ? 故数列{an}的通项式为 an=

1 。 3

1 。 3n

(Ⅱ ) bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log 3 an

? ?(1 ? 2 ? ... ? n) ?? n(n ? 1) 2



1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1
所以数列 {

1 2n } 的前 n 项和为 ? bn n ?1
?a ? 0 ------------------3 分 ?? ? 0

20、解:对任意实数 x 都有 ax2 ? ax ? 1 ? 0 恒成立 ? a ? 0或?

解得:? a ? 4 ――――――――――――――――――――――――――5 分 0
关于 x 的方程 x 2 ? x ? a ? 0 有实数根 ? 1 ? 4a ? 0 ? a ? 如果 P 正确,且 Q 不正确,有 0 ? a ? 4, 且a ?

1 ――――――――――7 分 4

1 1 ? ? a ? 4 ―――――――――-9 分 4 4
1 ? a ? 0 ―――――――――11 分 4

如果 Q 正确,且 P 不正确,有 a ? 0或a ? 4, 且a ?

所以实数 a 的取值范围为 ?? ?,0? ? ? 1 ,4 ? .――――――――――――――――-12 分 ? ? ?4 ? 21.解:(Ⅰ) 因为 ? bn ?1 , bn ? 在直线 y ? x ? 1 上, 所以 bn ? bn ?1 ? 1 即 bn ?1 ? bn ? 1 又 b1 ? 1 故数列 ?bn ? 是首项为 1,公差为 1 的等差数列,
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所以 bn ? n (Ⅱ)由 an ?1 ? 2an ? 3 得 an ?1 ? 3 ? 2 ? an ? 3? 所以 ?an ? 3? 是首项为 a1 ? 3 ? 4 ,公比为 2 的等比数列. 所以 an ? 3 ? 4 ? 2
n ?1

? 2n ?1 ,故 an ? 2n ?1 ? 3
n?1

(Ⅲ) cn ? an ? 3 = 2
2

? 3 ? 3 = 2n?1 故 bn cn ? n ? 2n?1
4 n ?1

2 所以 Sn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n?
3

故 2Sn ?

1? 23 ? 2 ? 24 ? ? ? ? n ? 1??2n ?1 ? n?2n ? 2
2 3 4 n ?1

相减得 ? S n ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2

? n?2

n?2

?

4 ? 2n ? 1? 2 ?1

? n?2n ? 2 ? ?1 ? n ? 2n ? 2 ? 4

2 所以 Sn ? ? n ? 1??
22、[解析]

n?2

?4
c a
6 , 3

(1)由已知得,c=2 2, =

解得 a=2 3, 又 b =a -c =4, 所以椭圆 G 的方程为 + =1. 12 4 (2)设直线 l 的方 程为 y=x+m
2 2 2

x2

y2

?y=x+m. ? 由? x2 y2 ?12+ 4 =1 ?
2 2



4x +6mx+3m -12=0.



设 A、B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2),AB 中点为 E(x0,y0),则

x0=

x1+x2
2

=-

3m , 4

m y0=x0+m= .
4 因为 AB 是等腰△PAB 的底边, 所以 PE⊥AB,
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4 所以 PE 的斜率 k= =-1. 3m -3+ 4 解得 m=2, 此时方程①为 4x +12x=0, 解得 x1=-3,x2=0, 所以 y1=-1,y2=2,所以|AB|=3 2, 此时,点 P(-3,2)到直线 AB:x-y+2=0 的距离 d= 1 9 所以△PAB 的面积 S= |AB|·d= . 2 2 |-3-2+2| 2 = 3 2 , 2
2

2-

m

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