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昌平区2013-2014学年第一学期高三年级期末质量监控数学试卷(理科)不含答案


昌平区 2013-2014 学年第一学期高三年级期末质量抽测

数 学 试 卷(理 科)
(满分 150 分,考试时间 120 分钟)2014.1

考生须知:
1. 2. 3. 本试卷共 6 页,分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。 答题前考生务必将答题卡上的学校、 班级、 姓名、 考试编号用黑色字迹的签字笔填写。 答题卡上第 I 卷(选择题)必须用 2B 铅笔作答,第 II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的 签字笔作答,作图时可以使用 2B 铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答, 未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。 修改时,选择题部分用塑料橡皮擦涂干净,不得使用涂改液。保持答题卡整洁,不要 折叠、折皱、破损。不得在答题卡上做任何标记。 考试结束后,考生务必将答题卡交监考老师收回,试卷自己妥善保存。

4. 5.

第Ⅰ卷(选择题

共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项.)
(1) 已知全集 U ? R ,集合 A ? {?1,0,1} , B ? {x x ? 2 x ? 0}
2

, 则 AI ? UB ?

(A) {?1,0} (B) {?1, 0, 2} (C) {0} (D) {?1,1}

(2) “ cos ? ?

1 ? ”是“ ? ? ”的 2 3
(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(A)充分而不必要条件 (C)充要条件

(3) 给定函数① y ? 2 x ? 1 ,② y ? log 1 x ,③ y ? x 2 ,④ y ? ( ) ,其中在区间 (0,1) 上单
x

1

2

1 2

调递增的函数的序号是 (A)② ③ (B)① ③ (C)① ④ (D)② ④w

1

(4) 执行如图所示的程序框图,输出的 k 值是 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

开始

S ?0
k ?0
S?


2 3

是 输出 k 结束

k ? k ?1
1 S?S? k (k ? 1)

? x ? y ? 1 ? 0, ? (5) 若实数 x, y 满足 ? x ? 2, 则 z ? y ? x 的最小值是 ? y ? 3, ?
(A) 1 (B) 5 (C) ?3 (D)

?5

(6) 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是 (A) 1 (B) 2
1 2 主视图 1 左视图

2 3 1 (D) 3
(C)

俯视图

(7) 连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n ,若记向量 a = (m,n) 与向量 b ? (1 , ? 2) 的夹角 为 ? ,则 ? 为锐角的概率是 (A)

5 36

(B)

1 6

(C)

7 36

(D)

2 9

2 ? x ? 0, ? x ? 1, (8) 已知函数 f ( x) ? ? 在点 (1, 2) 处的切线与 f ( x) 的图象有三个 2 ? ? ? x ? 4 x ? a, ?4 ? x ? 0

公共点,则 a 的取值范围是 (A) [?8, ?4 ? 2 5) (C) (?4 ? 2 5,?8] (B) (?4 ? 2 5, ?4 ? 2 5) (D) (?4 ? 2 5,?? 8]

2

第二卷(非选择题

共 110 分)

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.) 3 (9) 已知 ? 是第二象限的角, sin ? ? ,则 tan ? 的值为___________ . 5
uur

(10) 如图,在复平面内,复数 z 对应的向量为 OA ,则复数 z ? i =_______ .

(11) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 若 a2 ?a4 ?a6 ? 1 , 则 a4 ? _____ ,S 7 ? _____.

(12)曲线 x ? 1, x ? 2, y ?

1 , y ? 0 所围成的图形的面积等于___________ . x

(13) 在 ?ABC 中, AB ? 4, BC ? 5, BA ? AC ? 2 ,则 AC ? ________ .

uur uuu r

(14) 将含有 3n 个正整数的集合 M 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合 若A A、B、 C ,其中 A = {a1 , a2 ,L , an } ,B = {b1 , b2 ,L , bn } ,C = {c1 , c2 ,L , cn } , 、B、C 中的元素满足条件: c1 < c2 < L < cn , ak + bk = ck , (k = 1,2,3,?, n) ,则称 M 为“完 并集合”. ①若 M = {1, x,3,4,5,6} 为“完并集合”, 则 x 的一个可能值为 素乘积最小的集合是 . . (写出一个即可)

②对于“完并集合” M = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} ,在所有符合条件的集合 C 中,其元

3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤.)
(15)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2sin x ? 1 .
2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)当 x ? [?

5? ? , ] 时,求函数 f ( x) 的取值范围. 12 6

(16)(本小题满分 13 分) 为了调研某校高一新生的身高(单位:厘米)数据,按 10% 的比例对 700 名高一新生按 性别分别进行“身高”抽样检查,测得“身高”的频数分布表如下表 1、表 2. 表 1:男生“身高”频数分布表 身高 频数

[160,165)
2

[165,170)
5

[170,175)
14

[175,180)
13

[180,185)
4

[185,190)
2

表 2:女生“身高”频数分布表 身高 频数

[150,155)
1

[155,160)
7

[160,165)
12

[165,170)
6

[170,175)
3

[175,180)
1

(Ⅰ)求高一的男生人数并完成下面的频率分布直方图; (Ⅱ)估计该校学生“身高”在 [165,180) 之间的概率; (Ⅲ)从样本中“身高”在 [ 180,190) 之间的概率.
0.070 0.060 0.050 0.040 0.030 0.020 0.010 0

的男生中任选 2 人,求至少有 1 人“身高”在 [ 185,190)
频率/组距

160 165 170 175 180 185 190

身高

(17)(本小题满分 14 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD ,

P

PD ? CD ? BC ? 2 AD , AD // BC, ?BCD ? 90? .
(Ⅰ)求证: BC ? PC ; (Ⅱ)求 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值; (Ⅲ)线段 PB 上是否存在点 E ,使 AE ? 平面 PBC ?说明理由.
4

D A B

C

(18)(本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(a, 0)(a ? 0) ,圆 C 的圆心在直线 y ? ?4 x 上,并且 与直线 l : x ? y ? 1 ? 0 相切于点 P(3, ?2) . (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若动点 M 满足 MA ? 2 MO ,求点 M 的轨迹方程; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数 a ,使得 CM 的取值范围是 [1,9] ,说明理由.

(19)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

(2 ? m) x . x2 ? m 1 2 1 2

(Ⅰ)当 m ? 1时,求曲线 f ( x) 在点 ( , f ( )) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间.

(20)(本小题满分 14 分) 设满足以下两个条件的有穷数列 a1 , a2 , a3 , L , an 为 n(n ? 2,3, 4,L ) 阶“期待数列” : ① a1 ? a2 ? a3 ? L ? an ? 0 ,② a1 ? a2 ? a3 ? L ? an ? 1 . (Ⅰ)若等比数列 {an } 为 2k (k ? N*) 阶“期待数列”,求公比 q ; (Ⅱ)若一个等差数列 {an } 既是 2k (k ? N*) 阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通项公 式; (Ⅲ)记 n 阶“期待数列” {ai } 的前 k 项和为 Sk (k ? 1, 2,3, L , n) . (1)求证: S k ?

1 ; 2 1 ,试问数列 {Si }(i ? 1, 2,3, L , n) 能否为 n 阶“期 2

(2)若存在 m ?{1, 2,3,L , n} ,使 Sm ?

待数列”?若能,求出所有这样的数列;若不能,请说明理由.

5


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