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彭山区第一中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

彭山区第一中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 设函数 f(x)= A.0 B.1 C.2 D.3 ﹣ =1 的右焦点重合,则 p 的值为( ) ,则 f(1)=( )

座号_____

姓名__________

分数__________

2. 若抛物线 y2=2px 的焦点与双曲线 A.﹣2 B.2 C.﹣4 D.4

3. 已知 x>1,则函数 A.4 B.3 C.2 D.1 ) C.②⑤

的最小值为(



4. 已知平面 α、β 和直线 m,给出条件:①m∥α;②m⊥α;③m?α;④α⊥β;⑤α∥β.为使 m∥β,应 选择下面四个选项中的( A.①④ A.2015 B.①⑤ D.③⑤ ) C.2116 D.2048

5. 执行下面的程序框图,若输入 x ? ?2016 ,则输出的结果为( B.2016

6. 已知抛物线 C : y ? 8x 的焦点为 F , P 是抛物线 C 的准线上的一点,且 P 的纵坐标为正数,
2

Q 是直线 PF 与抛物线 C 的一个交点,若 PQ ? 2QF ,则直线 PF 的方程为(
A. x ? y ? 2 ? 0 B. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? y ? 2 ? 0

) D. x ? y ? 2 ? 0

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M - ABD 的外接球体积为 36p , 7. 在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中, M 是线段 AC 1 1 的中点,若四面体
则正方体棱长为( A.2 ) B.3 C.4 D.5

【命题意图】 本题考查以正方体为载体考查四面体的外接球半径问题, 意在考查空间想象能力和基本运算能力. 8. 如图,已知双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,|F1F2|=4,P 是双曲线右支上一点, )

直线 PF2 交 y 轴于点 A,△ AF1P 的内切圆切边 PF1 于点 Q,若|PQ|=1,则双曲线的渐近线方程为(

A.y=±

x B.y=±3x

C.y=± x

D.y=±

x

9. 在复平面内,复数 Z= A.第四象限 10.为了得到函数 A.向右平移 C.向右平移 个单位长度 个单位长度

+i2015 对应的点位于(

) D.第一象限 )

B.第三象限

C.第二象限

的图象,只需把函数 y=sin3x 的图象( B.向左平移 D.向左平移 个单位长度 个单位长度

11.如图, ABCD ? A1B1C1D1 为正方体,下面结论:① BD // 平面 CB1D1 ;② AC1 ? BD ;③ AC1 ? 平 面 CB1D1 .其中正确结论的个数是( )

A.

B.

C.

D. )

12.函数 f ( x) = ln x + A. (0,??)

1 2 x + ax 存在与直线 3x ? y ? 0 平行的切线,则实数 a 的取值范围是( 2 B. (??,2) C. (2,??) D. (??,1]

【命题意图】 本题考查导数的几何意义、 基本不等式等基础知识, 意在考查转化与化归的思想和基本运算能力.

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二、填空题
13.在各项为正数的等比数列{an}中,若 a6=a5+2a4,则公比 q= . . 14.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 6a=4b=3c,则 cosB= x)的最小值等于 .
2

15.已知函数 f(x)是定义在 R 上的单调函数,且满足对任意的实数 x 都有 f[f(x)﹣2x]=6,则 f(x)+f(﹣

16. 【泰州中学 2018 届高三 10 月月考】 设二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c( a, b, c 为常数) 的导函数为 f ? ? x ? , 对任意 x ? R ,不等式 f ? x ? ? f ? ? x ? 恒成立,则

b2 的最大值为__________. a2 ? c2

17.台风“海马”以 25km/h 的速度向正北方向移动,观测站位于海上的 A 点,早上 9 点观测,台风中心位于其 东南方向的 B 点;早上 10 点观测,台风中心位于其南偏东 75°方向上的 C 点,这时观测站与台风中心的距离 AC 等于 km. ,BC=3, ,则∠C= . 18.△ABC 中,

三、解答题
19.已知函数 (1)求实数 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的值域. (a≠0)是奇函数,并且函数 f(x)的图象经过点(1,3),

20.已知复数 z= (1)求 z 的共轭复数 ; (2)若 az+b=1﹣i,求实数 a,b 的值.



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21.已知函数 f(x)=x﹣alnx(a∈R) (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方程; (2)求函数 f(x)的极值.

22.如图,在四棱柱 (Ⅰ)求证: (Ⅱ)求证: (Ⅲ)若 平面 ; ,判断直线 ;

中,

底面









与平面

是否垂直?并说明理由.

23.已知奇函数 f(x)=

(c∈R).

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(Ⅰ)求 c 的值; (Ⅱ)当 x∈[2,+∞)时,求 f(x)的最小值.

24. AA1C1C 是边长为 4 的正方形. AB=3, BC=5. 如图, 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 平面 ABC⊥平面 AA1C1C, (Ⅰ)求证:AA1⊥平面 ABC; (Ⅱ)求证二面角 A1﹣BC1﹣B1 的余弦值; (Ⅲ)证明:在线段 BC1 上存在点 D,使得 AD⊥A1B,并求 的值.

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彭山区第一中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D 【解析】解:∵f(x)= f(1)=f[f(7)]=f(5)=3. 故选:D. 2. 【答案】D 【解析】解:双曲线 ﹣ =1 的右焦点为(2,0), ,

即抛物线 y2=2px 的焦点为(2,0), ∴ =2, ∴p=4. 故选 D. 【点评】本题考查双曲线、抛物线的性质,考查学生的计算能力,属于基础题. 3. 【答案】B 【解析】解:∵x>1∴x﹣1>0 由基本不等式可得, 当且仅当 故选 B 4. 【答案】D 【解析】解:当 m?α,α∥β 时,根据线面平行的定义,m 与 β 没有公共点,有 m∥β,其他条件无法推出 m ∥β, 故选 D 【点评】本题考查直线与平面平行的判定,一般有两种思路:判定定理和定义,要注意根据条件选择使用. 5. 【答案】D 【解析】
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即 x﹣1=1 时,x=2 时取等号“=”

试题分析:由于 ?2016 ? 0 ,由程序框图可得对循环进行加运算,可以得到 x ? 2 ,从而可得 y ? 1 ,由于

2015 ? 1 ,则进行 y ? 2 y 循环,最终可得输出结果为 2048 .1
考点:程序框图. 6. 【答案】B 【 解 析 】

考点:抛物线的定义及性质. 【易错点睛】抛物线问题的三个注意事项:(1)求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求 p 的值,但首 先要判断抛物线是否为标准方程, 若是标准方程, 则要由焦点位置 (或开口方向) 判断是哪一种标准方程. (2) 注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题.(3)直线与抛物线有一个交点,并不表明直线与抛物 线相切,因为当直线与对称轴平行(或重合)时,直线与抛物线也只有一个交点. 7. 【答案】C

8. 【答案】D 【解析】解:设内切圆与 AP 切于点 M,与 AF1 切于点 N, |PF1|=m,|QF1|=n, 由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a,即有 m﹣(n﹣1)=2a,①

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由切线的性质可得|AM|=|AN|,|NF1|=|QF1|=n,|MP|=|PQ|=1, |MF2|=|NF1|=n, 即有 m﹣1=n,② 由①②解得 a=1, 由|F1F2|=4,则 c=2, b= 由双曲线 = ﹣ , =1 的渐近线方程为 y=± x, x.

即有渐近线方程为 y= 故选 D.

【点评】本题考查双曲线的方程和性质,考查切线的性质,运用对称性和双曲线的定义是解题的关键. 9. 【答案】A 【解析】解:复数 Z= 复数对应点的坐标( 故选:A. 【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算,复数的几何意义,基本知识的考查. 10.【答案】A 【解析】解:把函数 y=sin3x 的图象向右平移 故选:A. 【点评】本题主要考查函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律,属于基础题. 11.【答案】 D 【解析】 个单位长度,可得 y=sin3(x﹣ )=sin(3x﹣ )的图象, +i2015= ),在第四象限. ﹣i= ﹣i= ﹣ .

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考 点:1.线线,线面,面面平行关系;2.线线,线面,面面垂直关系. 【方法点睛】本题考查了立体几何中的命题,属于中档题型,多项选择题是容易出错的一个题,当考察线面平 行时, 需证明平面外的线与平面内的线平行, 则线面平行, 一般可构造平行四边形, 或是构造三角形的中位线, 可证明线线平行,再或是证明面面平行,则线面平行,一般需在选取一点,使直线与直线外一点构成平面证明 面面平行,要证明线线垂直,可转化为证明线面垂直,需做辅助线,转化为线面垂直. 12.【答案】D 【解析】因为 f ?( x) ? 因为 x +

1 1 ? x ? a ,直线的 3x ? y ? 0 的斜率为 3 ,由题意知方程 ? x ? a ? 3 ( x > 0 )有解, x x

1 ? 2 ,所以 a ? 1 ,故选 D. x

二、填空题
13.【答案】 2 .

2 【解析】解:由 a6=a5+2a4 得,a4q =a4q+2a4,

即 q ﹣q﹣2=0,解得 q=2 或 q=﹣1, 又各项为正数,则 q=2, 故答案为:2. 【点评】本题考查等比数列的通项公式,注意公比的符号,属于基础题. 14.【答案】 .

2

【解析】解:在△ABC 中,∵6a=4b=3c ∴b= ,c=2a, = = .

由余弦定理可得 cosB=

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故答案为:



【点评】本题考查余弦定理在解三角形中的应用,用 a 表示 b,c 是解决问题的关键,属于基础题.

15.【答案】 6 .
x 【解析】解:根据题意可知:f(x)﹣2 是一个固定的数,记为 a,则 f(a)=6, x x ∴f(x)﹣2 =a,即 f(x)=a+2 ,

∴当 x=a 时, 又∵a+2 =6,∴a=2,
x ∴f(x)=2+2 , x x x x ∴f(x)+f(﹣x)=2+2 +2+2﹣ =2 +2﹣ +4 a

≥2

+4=6,当且仅当 x=0 时成立,

∴f(x)+f(﹣x)的最小值等于 6, 故答案为:6. 【点评】本题考查函数的最值,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题. 16.【答案】 2 2 ? 2 【解析】试题分析:根据题意易得: f ' ? x ? ? 2ax ? b ,由 f ?x ? ? f ' ?x ? 得: ax ? ?b ? 2a ? x ? c ? b ? 0 在 R
2

?c ? 4 ? ? 1? a?0 b 4ac ? 4a a 2 2 上恒成立,等价于:{ ,可解得:b ? 4ac ? 4a ? 4a ? c ? a ? ,则: 2 ? 2 2 ? ? 2 ?, 2 ?0 a ?c a ?c ?c? ? ? ?1 ?a? 2 b c 4t 4 4 令 t ? ? 1, (t ? 0) , y ? 2 的最大值为 2 2 ? 2 . ? ? ? 2 2 ? 2 ,故 2 a a ? c2 t ? 2t ? 2 t ? 2 ? 2 2 2 ? 2 t
2 2

考点:1.函数与导数的运用;2.恒成立问题;3.基本不等式的运用 17.【答案】 25 【解析】解:由题意,∠ABC=135°,∠A=75°﹣45°=30°,BC=25km, 由正弦定理可得 AC= 故答案为:25 . =25 km,

【点评】本题考查三角形的实际应用,转化思想的应用,利用正弦定理解答本题是关键.

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18.【答案】 【解析】解:由 根据正弦定理 = ,a=BC=3,c= 得: ,

sinC=

=



又 C 为三角形的内角,且 c<a, ∴0<∠C< 则∠C= . ,

故答案为: 【点评】此题考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,正弦定理很好的建立了三角形的边角关系,熟练掌 握正弦定理是解本题的关键,同时注意判断 C 的范围.

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)∵函数 ∴ , 是奇函数,则 f(﹣x)=﹣f(x)

∵a≠0,∴﹣x+b=﹣x﹣b,∴b=0(3 分) 又函数 f(x)的图象经过点(1,3), ∴f(1)=3,∴ ∴a=2(6 分) (2)由(1)知 当 x>0 时, 即 时取等号(10 分) ,∴ ,即 时取等号(13 分) ,当且仅当 (7 分) , ,∵b=0,

当 x<0 时, 当且仅当

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综上可知函数 f(x)的值域为

(12 分)

【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用,转化函数研究性质是问题的关键. 20.【答案】 【解析】解:(1) ∴ =1﹣i. (2)a(1+i)+b=1﹣i,即 a+b+ai=1﹣i, ∴ , .

解得 a=﹣1,b=2. 【点评】该题考查复数代数形式的乘除运算、复数的基本概念,属基础题,熟记相关概念是解题关键.

21.【答案】 【解析】解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞), (1)当 a=2 时,f(x)=x﹣2lnx, 因而 f(1)=1,f′(1)=﹣1, 所以曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方程为 y﹣1=﹣(x﹣1), 即 x+y﹣2=0 (2)由 ,x>0 知: , .

①当 a≤0 时,f′(x)>0,函数 f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数 f(x)无极值; ②当 a>0 时,由 f′(x)=0,解得 x=a. 又当 x∈(0,a)时,f′(x)<0,当 x∈(a,+∞)时,f′(x)>0. 从而函数 f(x)在 x=a 处取得极小值,且极小值为 f(a)=a﹣alna,无极大值. 综上,当 a≤0 时,函数 f(x)无极值; 当 a>0 时,函数 f(x)在 x=a 处取得极小值 a﹣alna,无极大值. 22.【答案】 【解析】【知识点】垂直平行 【试题解析】(Ⅰ)证明:因为 所以 平面 . , 平面 , 平面 ,

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因为 所以 又因为 所以平面 又因为 所以

, 平面

平面 . , 平面 . , . 底面



平面



平面 平面

(Ⅱ)证明:因为 所以 又因为 所以 又因为 所以 . , 平面 底面 . .



底面







(Ⅲ)结论:直线 证明:假设 由 由棱柱 可得 又因为 所以 所以 又因为 所以 所以 这与四边形 故直线 与平面 平面 . 平面 . , 平面 平面

与平面 ,

不垂直.

,得 中, , , ,

. 底面 ,

, ,

为矩形,且 不垂直.

矛盾,

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23.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)∵f(x)是奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x), ∴ =﹣ = ,

比较系数得:c=﹣c,∴c=0, ∴f(x)= =x+ ; ,

(Ⅱ)∵f(x)=x+ ,∴f′(x)=1﹣ 当 x∈[2,+∞)时,1﹣ >0,

∴函数 f(x)在[2,+∞)上单调递增, ∴f(x)min=f(2)= . 【点评】本题考查了函数的奇偶性问题,考查了函数的单调性、最值问题,是一道中档题. 24.【答案】 【解析】(I)证明:∵AA1C1C 是正方形,∴AA1⊥AC. 又∵平面 ABC⊥平面 AA1C1C,平面 ABC∩平面 AA1C1C=AC, ∴AA1⊥平面 ABC. (II)解:由 AC=4,BC=5,AB=3.
2 2 2 ∴AC +AB =BC ,∴AB⊥AC.

建立如图所示的空间直角坐标系,则 A1(0,0,4),B(0,3,0),B1(0,3,4),C1(4,0,4), ∴ 设平面 A1BC1 的法向量为 , , . =(x2,y2,z2).

,平面 B1BC1 的法向量为

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,令 y1=4,解得 x1=0,z1=3,∴



,令 x2=3,解得 y2=4,z2=0,∴



=

= .

=



∴二面角 A1﹣BC1﹣B1 的余弦值为

(III) 设点 D 的竖坐标为 t, (0<t<4) , 在平面 BCC1B1 中作 DE⊥BC 于 E, 可得 D ∴ ∵ ∴ ∴ . = ,∴ , ,解得 t= . , =(0,3,﹣4),



【点评】本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法 向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法,考查了空间想象能力、推理能力和计 算能力.

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