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高三理科数学第二次月考试题(含答案)

高三上学期月考试题 理科数学 命题人:李兵 时间:2016 年 12 月 5 日
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若集合 A ? {0, (C R A) ?B?( 1} , B ? { y | y ? 2 x, x ? A} ,则 A. {0} B. {2} C. {2, 4} D. {0,1, 2} ) )

2.在等差数列 {an } 中, a3 ? a6 ? 11 , a5 ? a8 ? 39 ,则公差 d 为( A. ? 14 B. ? 7 C. 7 D. 14

3.若函数 f ( x) ? 3 cos(?x ? A.2 B.3 C.6

?
4

)(1 ? ? ? 14) 的图象关于 x ?
D.9 ) D. (3,4)

?
12

对称,则 ? 等于(



4.函数 f ( x) ? ? | x | ? x ? 3 的零点所在区间为( A. (0,1) B. (1,2) C. ( 2,3)

5.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 b cos A ? a cos B ? c 2 , a ? b ? 2 , 则 ?ABC 的周长为( ) A.5 B.6 C.7

D.7.5 )

6.设向量 a ? (2 tan ? , tan ? ) ,向量 b ? (4,?3) ,且 a ? b ? 0 ,则 tan(? ? ? ) 等于( A.

1 7

B. ?

1 5

C.

1 5

D. ?

1 7

7.当双曲线 M : 方程为( )

x2 y2 ? ? 1(?2 ? m ? 0) 的焦距取得最小值时,双曲线 M 的渐近线 m 2 2m ? 6

A. y ? ? 2 x

B. y ? ?

2 x 2

C. y ? ?2 x

D. y ? ?

1 x 2

8.已知一几何体的三视图如图所示, 俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成, 则该几何体 的体积为( ) A. 6? ? 12 B. 6? ? 24 C. 12? ? 12 D. 24? ? 12

1

9.设正数 x, y 满足 ? 1 ? x ? y ? 2 ,则 z ? x ? 2 y 的取值范围为( A. (0,2) B. (??,2) C. (?2,2) D. (2,??)



10.将函数 f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) 的图象向左平移

?
12

个单位,再向上平移 1 个单位,得到 )

g ( x) 的图象.若 g ( x1 ) g ( x2 ) ? 9 ,且 x1 , x2 ? [?2? ,2? ] ,则 2 x1 ? x2 的最大值为(
A.

25? 6

B.

35? 6

C.

49? 12

D.

17? 4

11.在某市记者招待会上,需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问,两家电视台均有记 者 5 人,主持人需要从这 10 名记者中选出名记者提问,且这 4 人中,既有甲电视台记者, 又有乙电视台记者, 且甲电视台的记者不可以连续提问, 则不同的提问方式的种数为 ( ) A.1200 B.2400 C.3000 D.3600
'

12.设函数 f ( x ) 是定义在 ( ??, 0) 上的可导函数,其导函数为 f ( x) ,且有

2 f ( x) ? xf ' ( x) ? x2 ,则不等式 ( x ? 2016)2 f ( x ? 2016) ? 4 f (?2) ? 0 的解集为(
A. (??, ?2016) B. (?2016, 0) C. (?2018, 0)



D. (??, ?2018)

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.已知 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,且满足 f ? x ? 2 ? ? ?

1 ,当 1 ? x ? 2 时, f ? x?

? 11 ? f ? x ? ? x ,则 f ? ? ? ? ____________. ? 2?
14.曲线 y ?
2 与直线 y ? x ? 1 及 x ? 4 所围成的封闭图形的面积为_________. x

15.古代数学著作《九章算术》有如下问题: “今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织 几何?”意思是: “一女子善于织布,每天织的布都是前一天的 2 倍,已知她 5 天共织布 5 尺,问这女子每天分别织布多少?”根据上述的已知条件,可求得该女子前 3 天所织布的总 尺数为 . 16. 在 Rt?AOB 中, OA ? OB ? 0 , | OA |? 点 E 位于线段 OD 上,若 OE ? EA ?

5 , | OB |? 2 5 , AB 边上的高线为 OD ,
.

3 ,则向量 EA 在向量 OD 上的投影为 4

三、解答题: (满分 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,解答过程书写在答 题纸的对应位置.)
2

17.(本小题满分 10 分)已知向量 m ? (cos

??

? x x x , ?1) , n ? ( 3 sin , cos 2 ) ,函数 2 2 2

?? ? f ( x) ? m ? n ? 1 .
(1)若 x ? ?0,

11 ? ?? , f ( x) ? ,求 cos x 的值; ? 10 ? 2?

(2)在△ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,且满足 2b cos A ? 2c ? 3a , 求角 B 的取值范围. 18.(本小题满分 12 分)等差数列{ an }中,Sn 为其前 n 项和, 已知 a2 =2,S5 =15, 数列{ bn },

b1 =1,对任意 n∈N+满足 bn?1 ? 2bn ? 1 .
(Ⅰ)数列{ an }和{ bn }的通项公式; (Ⅱ)设

cn ?

an bn ? 1

,设数列{

cn

}的前 n 项和

Tn

,证明:

Tn

<2.

19.(本小题满分 12 分)2015 年 7 月 9 日 21 时 15 分,台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲 东镇沿海登陆,造成 165.17 万人受灾, 5.6 万人紧急转移安置,288 间房屋倒塌,46.5 千 公顷农田受灾, 直接经济损失 12.99 亿元, 距离陆丰市 222 千米的梅州也受到了台风的影响, 适逢暑假,小明调查了梅州某小区的 50 户居民由于台风造成的经济损失,将收集的数据分 成 [0, 2000] , (2000, 4000] , (4000,6000] , (6000,8000] , (8000,10000] 五组,并作出 如下频率分布直方图(图 1) :

(1)试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失(同一组中的数据用该组区 间的中点值作代表) ; (2)小明向班级同学发出倡议,为该小区居民损款,现从损失超过 4000 元的居民中随机抽 出 2 户进行捐款援助,投抽出损失超过 8000 元的居民为 ? 户,求 ? 的分布列和数学期望;
3

(3) 台风后区委会号召该小区居民为台风重灾区捐款, 小明调查的 50 户居民捐款情况如下 表,在图 2 表格空白外填写正确数字,并说明是否有 95%以上的把握认为捐款数额多于或少 于 500 元和自身经济损失是否到 4000 元有关? 经济损失不超过 4000 元 捐款超过 500 元 损款不超过 500 元 合计 附:临界值参考公式: k ?
2

经济损失超过 4000 元 6

合计

30

n(ad ? bc)2 ,n ? a?b?c?d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

P( K 2 ? k )
k

0.15 2.072

0.10 2.706

20.(本小题满分12分) 如图,在四棱锥 P - ABCD 中,底面 ABCD 是菱 形,?DAB ? 60 ,PD ? 平面ABCD, PD ? AD ? 1, 点 E , F 分别为 AB 和 PD 中点. (Ⅰ)求证:直线 AF // 平面PEC ; (Ⅱ)求 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值. 21(本小题满分 12 分) 如图,已知直线 l : x ? my ? 1 过椭圆
2 2
?

P

F

D

C

A

E

B

x y ? 2 ? 1 的右焦点 F ,抛物线: x 2 ? 4 3 y 的 2 a b 焦点为椭 圆 C 的上顶点,且直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,点 A、F、B 在直线 g:x ? 4 上的射影依次为点 D、K、E . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; C:
(Ⅱ)若直线 l 交 y 轴于点 M ,且 MA ? ?1 AF, MB ? ?2 BF ,当 m 变化时,探求 ?1 ? ?2 的 值是否为定值?若是,求出 ?1 ? ?2 的值,否则,说明理由. (Ⅲ)连接 AE,BD,试证明当 m 变化时,直线 AE 与直线 BD 相交于定点 N ? ,0 ? 。 22.(满分 12 分)已知函数

?5 ?2

? ?

f ? x ? ? ex ? x2 ? 2x ? 2 ? a2 ? ? a ? 0? , g ? x ? ? x2 ? 6x ? c ?c ? R ? .
(1)若曲线 y ? f ? x ? 在点 0, f ? 0? 处的切线方程为 y ? ?4 x ? 2 ,求 a 的值; (2)求函数 f ? x ? 的单调区间; (3)当 a ? 1 时, 对 ?x1 ???2,2? , ?x2 ???2,2? ,使得 f ? x1 ? ? g ? x2 ? 成立, 求实数 c 的取 值范围.
4

?

?

理科数学参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 答案 1 B 2 C 3 B 4 B 5 A 6 A 7 C 8 A
[

9 B

10 C

11 B

12 D

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. ?

3 ; 2

14. 4 ? 2 ln 2 ;

15.

35 ; 31

16.

1 3 或 . 2 2

三、解答题:本大题共 6 个题,共 70 分.

17.解(1)





, ∴

, 又

, ∴

, ∴



∴ (2)由 ∴ ∴ 得 , , ,





,∴

,∴

.

18.(Ⅰ)解:设等差数列{an}的公差为 d,由 a2=2,S5=15,得 a1=d=1, ∴an=1+(n﹣1)=n. ∵对任意 n∈N+满足 bn+1=2bn+1.∴bn+1+1=2(bn+1) , ∴数列{bn+1}为等比数列,公比为 2.
5

,解得



,∴



(II)证明:cn=

=



则数列{cn}的前 n 项和







两式相减得,

=

+…+



=









19. 【解析】解: (1)记每户居民的平均损失为 元,则:

(2)由频率分布直方图可得,损失超过 4000 元的居民共有 户,损失超过 8000 元的居民共有 户,因此, 可能取值为 0,1,2

, 的分布列为 0 1 2





(3)如图: 经济损失不超过 4000 元
6

经济损失超过 4000 元

合计

捐款超过 500 元 损款不超过 500 元 合计

30 5 35

9 6 15

39 11 50

, 所有 95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于 500 元和自身经济损失是否 4000 元有关. 20.解:(Ⅰ)证明:作 FM∥CD 交 PC 于 M. ∵点 F 为 PD 中点,∴ FM ? ∵k ?

1 CD . 2

????2 分

P

1 1 ,∴ AE ? AB ? FM , 2 2
??4 分

F

M

∴AEMF 为平行四边形,∴AF∥EM, ∴直线 AF // 平面 PEC.
?

∵ AF ? 平面PEC,EM ? 平面PEC , ……………6 分
A
z P

D

C

(Ⅱ)? ?DAB ? 60 ,? DE ? DC . 如图所示,建立坐标系,则

E

B

3 P(0,0,1),C(0,1,0),E( ,0,0), 2
A(

F

1 3 3 1 , , 0) , , ? ,0), B( 2 2 2 2

D

C

y

∴ AP ? ? ?

??? ?

? ? ?

? 3 1 ? ??? , ,1? , AB ? ? 0,1,0? . ?8 分 2 2 ? ? ?

A x

E

B

设平面 PAB 的一个法向量为 n ? ? x, y, z ? .

? 3 1 ? ??? ? ? ??? ? 3 x? y?z ?0 ?? ∵ n ? AB ? 0 , n ? AP ? 0 ,∴ ? 2 ,取 x ? 1 ,则 z ? , 2 2 ?y ? 0 ?
∴平面 PAB 的一个法向量为 n ? (1, 0,

?

3 ). 2

??????????10 分

设向量 n与PC所成角为?, ∵ PC ? (0,1, ?1) ,

? ??? ?

??? ?

7

? ??? ? n ? PC ∴ cos ? ? ? ??? ? ? n PC

?

3 2

7 ? 2 4

??

42 , 14

∴P C 平面 PAB 所成角的正弦值为

42 . 14

.…………………………12 分

21.解: (Ⅰ)易知椭圆右焦点 F(1,0) ,∴c=1, 抛物线 的焦点坐标 ,∴ ∴b =3
2

∴a =b +c =4∴椭圆 C 的方程

2

2

2

(Ⅱ)易知 m≠0,且 l 与 y 轴交于 设直线 l 交椭圆于 A(x1,y 1) ,B(x2,y2) 由



∴△=(6m) +36(3m +4)=144(m +1)>0 ∴ 又由 ∴

2

2

2

同理







8

所以,当 m 变化时,λ1+λ2 的值为定值



(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)知 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,∴D(4,y1) ,E(4,y2) 方法 1)∵



时,

=

=

∴点 同理可证,点

在直线 lAE 上, 也在直线 lBD 上;

∴当 m 变化时,AE 与 BD 相交于定点 方法 2)∵

= ∴kEN=kAN∴A、N、E 三点共线, 同理可得 B、N、D 也三点共线; ∴当 m 变化时,AE 与 BD 相交于定点 .

22 . 【解析】 : (1)

,由于曲线

在点

9

处的切线方程为 (2) 令 或 由 . (3) “对 的最大值 小于 与 在 上的情况如下: 在 上的最大值”.当 , ,得 ,所以 ,即

,所以 ,解得

解得 ,由

. ,得 ,

的单调增区间为

,单调减区间为

, 使

成立” 等价于 “





时,

. 由 (2)可得

由上表可知 成立,所以 ,即



上的最大值 在 ,得

.因为 上单调递增 . 所以最大值为 ,故 的取值范围为



上恒 .由

.

10


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