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四川省三台中学2014届高三数学上学期第一次月考试题 文


三台中学 2014 届高三数学(文)第一次考试试题
请热爱数学,就像热爱生活一样!
一选这题(共 50 分) 1.已 A ? {x | x ? 1}, B ? {x | x ? x ? 6}, 则 A ? B ? (
2

) D、 ?? ?,2?

A、 ?1,2 ? A. ? x | x ? 6?

B、 ?? 3,1? B. ?x | ?3 ? x ? 6?

C、 ?? ?,?3? ) C. ?x | x ? ?3? )

2. 函数 f ( x) ? x ? 3 ? log 2 ?6 ? x ? 的定义域是(

D. ? x | ?3 ≤ x ? 6?

3.“ p 或 q 是假命题”是“非 p 为真命题”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件
2

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ] D. ?0,2?

4.函数 y ? x ? 4 x ? 3, x ? ?0,3?的值域是[ A. ?0,3? B. ?? 1,0?

C. ?? 1,3?

5、 a ? 1 , 设 函数 f ( x) ? log a x 在区间 [a, 2a] 上的最大值与最小值之差为 A. 2 B.4 C. 2 2 D.2

1 , a ?( 则 2



6、已知函数 f ( x) ? ? A.2 7.已知函数 f ( x) ?

?

x ? 3, x ? 10
B.4

? f [ f ( x ? 5)], x ? 10
x ?x

,其中 x ? N ,则 f (8) ? ( ) C.6 D.7

e ?e 2

,则下列判断中正确的是( ) B.偶函数,在 R 上为增函数 D.偶函数,在 R 上为减函数

A.奇函数,在 R 上为增函数 C.奇函数,在 R 上为减函数 8.若函数 f ( x) ? ax ? b log 2 ( x ?
3

x 2 ? 1) ? 2 在 (??,0) 上有最小值-5, a , b 为常 (


数) ,则函数 f (x) 在 (0,??) 上(

A .有最大值 9

B .有最小值 5

C .有最大值 3

D .有最大值 5

9.函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图像如下图:则函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的图像可能是( )
y y=f(x) o x
o y y=g(x) x

1

y

y
y
x

y
x

o

o

x

o

o

x

A

B

C

D

10. 函数 f ( x) 的定义域为 D ,若存在闭区间[m,n] ? D,使得函数 f ( x) 满足:① f ( x) 在 [m,n]上是单调函数;② f ( x) 在[m,n]上的值域为[2m,2n],则称区间[m,n]为 y ? f ( x) 的 “倍值区间” .下列函数中存在“倍值区间”的有( ) ① f ( x) ? x ( x ? 0) ;
2

② f ( x) ? e ( x ? R ) ;
x

③ f ( x) ? A.①②③④ C.①③④

4x ( x ? 0) ; x ?1
2

④ f ( x) ? log a (a x ? )(a ? 0, a ? 1) B.①②④ D.①③

1 8

二填空题(共 25 分) x -1 11.函数 f(x)=2 +b,点 P(5,2)在函数 f(x)的反函数 f (x)的图象上,则 b=________. 12.函数 f ( x) ? log 1 ( ? x 2 ? 2 x ? 3) 的单调递增区间为:_______
2

5 13. 设 f ( x) 是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时, f ( x) = 2 x(1 ? x) , f (? ) =_____. 2
1 3 ? 4? 14. 曲线 y= x +x 在点?1, ?处的切线与坐标轴围成的三角形面积为________ 3 ? 3? 15.已知函数 f(x)满足 f(x+1)= 1

f? x?

,且 f(x)是偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x,若

在区间[-1,3]内, 函数 g(x)=f(x)-kx-k 有四个零点, 则实数 k 的取值范围是________.

三解答题(共 75 分) 16.(本小题满分 12 分) 计算: (1) 2
? 1 2

?

(?4) 0 2

?

1 2 ?1

? (1 ? 5 ) 0

(2) log 2 25 ? log 3 .

1 1 ? log 5 16 9

2

17.(12 分) 已知集合 A ? ?x | 3 ? x ? 7?, B ? ?x | 2 ? x ? 10?, C ? ?x | 5 ? a ? x ? a?. (1)求 A ? B , ?R A ? B ; (2)若 C ? ? A ? B ? ,求 a 的取值范围.

?

?

18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? 在定义域 ? 0, ?? ? 上为增函数,且满足

f ? xy ? ? f ? x ? ? f ? y ? , f ? 3? ? 1
(1)求 f ? 9 ? , f ? 27 ? 的值 (2)解不等式 f ? x ? ? f ? x ? 8 ? ? 2

19. (本小题满分 12 分)已知 p: 1 ? 必要条件,求实数 m 的取值范围.

x ?1 2 2 ≤2,q:x -2x+1-m ≤0(m>0).若?p 是?q 的充分不 3

3

20..(本小题满分 13 分) 已知定义域为 R 的函数 f ( x) ?

b ? 2x 是奇函数. 2x ? a

(1)求 a, b 的值;

(2)用定义证明 f (x) 在 ?? ?,?? ? 上为减函数.
2 2

(3)若对于任意 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的范围.

21. (本小题满分 14 分)已知 f(x)=lnx+x -bx. (1)若函数 f(x)在其定义域内是增函数,求 b 的取值范围; (2)当 b=-1 时,设 g(x)=f(x)-2x ,求证函数 g(x)只有一个零点.
2

2

4

三台中学 2014 届高三第一次答案 一选择题:1——5 BDACB 6-----10 DAAAC 9. 由函数 f(x),g(x)的图像可知,f(x),g(x)分别是偶函数,奇函数,则 f(x)g(x)是奇 函数,可排除 B,又∵函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的定义域是函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的定义域 的交集 (??, 0) ? (0, ??) ,图像不经过坐标原点,故可以排除 C、D,故选 A 10 ① f(x)=x (x≥0) ,存在“倍值区间”[0,2];
x x x 2

②f(x)=e (x∈R) ,构建函数 g(x)=e -2x,∴g′(x)=e -2, ∴函数在(-∞,ln2)上单调减,在(ln2,+∞)上单调增, ∴函数在 x=ln2 处取得极小值,且为最小值. x ∵g(ln2)=2-2ln2>0,∴g(x)>0 恒成立,∴e -2x=0 无解,故函数不存在“倍值区间” ; ③ f ( x) ? ④

4x ( x ? 0) x ?1
2

倍值区间为[0,1];

1 f ( x) ? log a (a x ? )(a ? 0, a ? 1) 8

1 f ( x) ? log a (a x ? ) ? 2 x 等 价 于 : 8 ,

1 a 2 x ? a x ? ? 0 存在两个不等的根,故存在“倍值区间” 8
二填空题: 11::1 14 12: (-1,1) 13

?

1 2

1 9
1

15

1 (0, ] 4

15:∵f(x+1)=

f? x?

,∴f(x+2)=f(x),∴f(x)是周期为 2 的周期函数, ∴f(-x)=-x,又 f(x)为偶函数,∴f(x)=-x, ∴f(x)=-x+2,

当 x∈[-1,0]时,-x∈[0,1],

当 x∈[1,2]时,x-2∈[-1,0],∴f(x-2)=-x+2, 同理当 x∈[2,3]时,f(x)=x-2, ∴在区间[-1,3]上 f(x)的解析式为 ? -1≤x<0? ?-x ?x ? 0≤x<1? f(x)=? -x+2 ? 1≤x<2? ?x-2 ? 2≤x≤3? ?



∵g(x)在[-1,3]内有四个零点,∴f(x)与 y=kx+k 的图象在[-1,3]内有四个交点,∵y 1 1 =kx+k 过定点 A(-1,0),又 B(3,1),kAB= ,∴0<k≤ . 4 4 三解答题:

5

16 解: (Ⅰ)原式 =2
? 1 2

?

1 2

?

1 2 ?1

? 1=2

?

1 2

?2

?

1 2

? 2 ?1 ?1 = 2 ? 2

?

1 2

? 2= 2? 2 ?2 2

...................................................................6 (Ⅱ)原式= log 2 5 2 ? log 3 2 ?4 ? log 5 3 ?2 =

2 lg 5 (?4) lg 2 (?2) lg 3 ? ? ? 16 lg 2 lg 3 lg 5

????????????????????????????????????6 17、解: (1) A ? B ? ?x | 2 ? x ? 10?, (2)由(1)知 A ? B ? ?x | 2 ? x ? 10?, 因为 ?R A ? ? x | x ? 3或x ? 7? ,

所以 ?R A ? B ? ? x | 2 ? x ? 3或7 ? x ? 10? ???????????????4 ①当 C = ? 时,满足 C ? ? A ? B ? ,此时 5 ? a ? a ,得 a ?

?

?

5 ; ?????????8 2

?5 ? a ? a, 5 ? ②当 C ≠ ? 时,要 C ? ? A ? B ? ,则 ?5 ? a ? 2, 解得 ? a ? 3 . 由①②得, a ? 3 . 2 ?a ? 10, ?
???????????????????????????????????.12 18(1) f ? 9 ? ? f ? 3? ? f ? 3? ? 2, f ? 27 ? ? f ? 9 ? ? f ? 3? ? 3 (2)? f ? x ? ? f ? x ? 8 ? ? f ? x ? x ? 8 ? ? ? f ? 9 ? ? ? 而函数 f(x)是定义在 ? 0, ?? ? 上为增函数 ???????4

?x ? 0 ? ??x ? 8 ? 0 ?8? x?9 ? x( x ? 8) ? 9 ? 即原不等式的解集为 (8,9) ??????????????????????12
19.解:由 1 ?

x ?1 ≤2,得-2≤x≤10. 3

“?p”:A={x|x>10 或 x<-2}????????????????????3 由 x -2x+1-m ≤0, 得 1-m≤x≤1+m(m>0)???????????????????????6 ∴“?q”:B={x|x>1+m 或 x<1-m,m>0}. ∵?p 是?q 的充分而不必要条件,∴A?B.
2 2

? m ? 0, ? 结合数轴有 ?1 ? m≤10, 解得 0<m≤3????????????????12 ?1 ? m≥ ? 2, ?
20 解: (1)? f ( x)为R上的奇函数,? f (0) ? 0, b ? 1.
6

又f (?1) ? ? f (1), 得a ? 1.
经检验 a ? 1, b ? 1符合题意. ........................................3 (2)任取 x1 , x 2 ? R, 且x1 ? x 2

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 2( 2 x2 ? 2 x1 ) (2 x1 ? 1)( 2 x2 ? 1)

1 ? 2 x1 1 ? 2 x2 (1 ? 2 x1 )( 2 x2 ? 1) ? (1 ? 2 x2 )( 2 x1 ? 1) ? ? = 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 (2 x1 ? 1)( 2 x2 ? 1)

? x1 ? x 2 ,? 2 x1 ? 2 x2 ? 0, 又 ? (2 x1 ? 1)( 2 x2 ? 1) ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0,? f ( x)为R上的减函数.
2 2

?????????8

(3)? t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立, ? f (t ? 2t ) ? ? f (2t ? k )
2 2

? f (x) 为奇函数, ? f (t 2 ? 2t ) ? f (k ? 2t 2 ) ? f (x) 为减函数,

? t 2 ? 2t ? k ? 2t 2 .
即 k ? 3t 2 ? 2t 恒成立,而 3t 2 ? 2t ? 3(t ? ) 2 ? 21.(1)∵f(x)在(0,+∞)上递增, 1 ∴f ′(x)= +2x-b≥0,对 x∈(0,+∞)恒成立,??????????.2

1 3

1 1 ?? . 3 3

1 ?k ? ? . 3

????13

x

1 即 b≤ +2x 对 x∈(0,+∞)恒成立,

x

?1 ? ∴只需 b≤? +2x?min x ? ?

(x>0),???????????????????..4

1 2 ∵x>0,∴ +2x≥2 2,当且仅当 x= 时取“=” , x 2 ∴b≤2 2, ∴b 的取值范围为(-∞,2 2].???????????????????6 (2)当 b=-1 时,g(x)=f(x)-2x =lnx-x +x,其定义域是(0,+∞), 1 ∴g′(x)= -2x+1
2 2

x

2x -x-1 ? x-1? =- =-

2

? 2x+1?

x

x x-1? x

,?????????????????..9 =0,

? 2x+1? ? 令 g′(x)=0,即-

7

∵x>0,∴x=1, 当 0<x<1 时,g′(x)>0; 当 x>1 时,g′(x)<0, ∴函数 g(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,???.12 ∴当 x≠1 时,g(x)<g(1),即 g(x)<0,当 x=1 时,g(x)=0. ∴函数 g(x)只有一个零点.?????????????????????14

8


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