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高中数学常见思想方法总结


高中常见数学思想方法
●方法一 函数与方程的思想方法

函数是中学数学的一个重要概念,它渗透在数学的各部分内容中,一直是高考的热点、 重点内容.函数的思想,就是用运动变化的观点,分析和研究具体问题中的数量关系,建立函 数特征,重在对问题的变量的动态研究,从变量的运动变化、联系和发展角度拓宽解题思路. 方程的思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方 程、不等式或方程与不等式的混合组) ,然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解. 函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数的性质, 解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;二是在问题的研究中, 通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质 ,达到化难 为易,化繁为简的目的.有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的. 【例 1】 设等差数列 ?an ? 的前 n 项的和为 Sn ,已知 a3 ? 12, S12 ? 0, S13 ? 0 . (1)求公差 d 的取值范围; (2)指出 S1 、 S2 、…、 S12 中哪一个值最大,并说明理由. 【分析】 (1)利用公式 an 与 Sn 建立不等式,容易求解 d 的范围; (2)利用 Sn 是 n 的二 次函数,将 Sn 中哪一个值最大,变成求二次函数中 n 为何值时 Sn 取最大值的函数最值问题. 【解】 (1) 由 a3 = a1 ? 2d =12,得到 a1 =12-2 d , 所以 S12 =12 a1 +66 d =12(12-2 d )+66 d =144+42 d ? 0,

S13 =13 a1 +78 d =13(12-2 d )+78 d =156+52 d ? 0.
24 ? d ? ?3 . 7 (2)解法一: (函数的思想) 1 1 5 Sn = na1 ? n(n ? 1)d ? dn 2 ? (12 ? d )n 2 2 2

解得: ?

d ? 1? 24 ? ? d ? 1 ? 24 ? ? = ?n ? ? 5 ? ?? ? ? ? 5 ? ?? 2 ? 2? d ?? 2 ? 2 ? d ??
2

2

2

? 1? 24 ?? 因为 d ? 0 ,故 ?n ? ? 5 ? ?? 最小时, Sn 最大. d ?? ? 2?
由? 最大. 解法二: (方程的思想) 由 d ? 0 可知 a1 ? a2 ? a3 ? 则 Sn 就是 S1 , S2 ,
24 1? 24 ? ? 1? 24 ?? ? d ? ?3 得 6 ? n ? ? 5 ? ? ? 6.5 , 故正整数 n =6 时 ?n ? ? 5 ? ?? 最小, 所以 S6 7 2? d ? d ?? ? 2?
2

? a13 .

因此,若在 1 ? n ? 12 中存在自然数 n ,使得 an ? 0 , an?1 ? 0 , , Sn 中的最大值.

d ? ?S12 ? 0 ?a ? 0 ?a1 ? 5d ? ? ? 0 , ?? ?? 6 2 ? a ? 0 7 ? ? S13 ? 0 ? ? a1 ? 6d ? 0
故在 S1 、 S2 、…、 S12 中 S6 的值最大. 【点评】 数列的通项公式及前 n 项和公式实质上是定义在自然数集上的函数,因此可利 用函数思想来分析,即用函数方法来解决数列问题; 也可以利用方程的思想, 利用不等式关系, 将问题进行算式化,从而简洁明快.由此可见,利用函数与方程的思想来解决问题,要求灵活 地运用、巧妙的结合,发展了学生思维品质的深刻性、独创性. x2 y2 ? ? 1 的左右顶点为 A,B,右顶 【例 1】 在平面直角坐标系 xoy 中,如图,已知椭圆 9 5 点为 F ,设过点 T ( t , m )的直线 TA,TB 与椭圆分别交于点 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y 2 ) ,其中 m>0, y1 ? 0, y 2 ? 0 (1)设动点 P 满足 PF 2 ? PB 2 ? 4 ,求点 P 的轨迹; (2)设 x1 ? 2, x 2 ?
1 ,求点 T 的坐标; 3

(3)设 t ? 9 ,求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐标与 m 无关). 【解】 (1)由题意知 F (2,0) , A(3,0) ,设 P ( x, y ) ,则

( x ? 2) 2 ? y 2 ? ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 4
化简整理得 x ?
9 . 2
A O F B

(2)把 x1 ? 2 , x 2 ?

1 5 1 20 代人椭圆方程分别求出 M ( 2, ) , N ( , ) 3 3 3 9

1 直线 AM : y ? ( x ? 3) 3 5 直线 BN : y ? ? ( x ? 3) 6

① ②

? 10 ? ①、②联立得 T ? 7, ? . ? 3?

(3) T (9, m) , 直线 TA : y ?
m 3(m 2 ? 80) 40 ( x ? 3) ,与椭圆联立得 M (? , 2 ) 2 12 m ? 80 m ? 80 m 3(m 2 ? 20) 20 ( x ? 3) ,与椭圆联立得 N ( 2 ,? 2 ) 6 m ? 20 m ? 20
40 20 ? 2 ? 3(m 2 ? 20) ? m ? 80 m ? 20 x ? ? ?, 3(m 2 ? 80) 3(m 2 ? 20) ? m 2 ? 20 ? ? ? m 2 ? 80 m 2 ? 20
2

直线 TB : y ?

20 ? 直线 MN : y ? 2 m ? 20

化简得 y ?

20 10 ? 3(m2 ? 20) ? ? ? x ? ? ? m2 ? 20 m2 ? 40 ? m2 ? 20 ?

令 y ? 0 ,解得 x ? 1 ,即直线 MN 过 x 轴上定点 (1,0) . 【点评】 本题主要考查求简单曲线的方程,考查直线与椭圆的方程等基础知识,考查运 算求解能力和探究问题的能力.而且,本题在解决问题时,无论求点的坐标,还是求点 P 的轨 迹方程,都灵活运用了方程的思想,特别是在证明过程中更是很好地利用方程的有关知识, 使问题画繁为简,华难为易. ●方法二 数形结合的思想方法

正确利用数形结合,应注意三个原则: (1)等价性原则 数形信息的转换应该是等价的、充要的.要注意由于图形的直观性,往往可以成为严格推 证的启导,但有时不能完整表现数的一般性,考虑问题可能不完备. (2)双向性原则 数形结合的含意是双向的,即考虑问题既注意代数问题几何化,也注意几何问题代数化, 而不仅仅指前者. (3)简单性原则 有了解题思路,思考用几何方法,还是代数方法,还是两者兼而用之,要取决于解题的 简单性原则,而不能形而上学地让几何问题代数化,代数问题几何化成为一种机械模式 . 运用数形结合的思想方法解题的途径主要有三条: 第一,以形助数:把一些数式的几何意义明朗化,构造出解题的几何模型,突显问题的 直观性,使解题思路变得形像而通畅; 第二, 以数助形: 利用几何图形或图像图表中隐含的数式特征, 构造出解题的代数模型 (必 要时建立坐标系),突显问题的本质,另辟解题的捷径; 第三,数形互助:根据问题的需要,将以形助数和以数助形二方面结合运用 . 数形结合的应用是广泛的,数与形的结合点主要集中在以下几个方面: 1.研究函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性、值域与最值等 ),可从函数图像 的直观性得到鲜明的启示. 2.利用数轴与坐标系(包括直角坐标系、极坐标系),使数与点对应,使函数与图像、方 程与曲线结合,使代数与几何联结.这样,可利用坐标或向量的运算,探索几何图形的相关性 质;利用函数图像与方程曲线的直观性,探索函数或方程的性质. 3.从统计图表、图像中,收集分析出“数”的信息,由破译的数量关系建立代数模型, 探索相关的结论.这类数形信息的转换能力是近年高考的新亮点. 4.三角函数与单位圆、三角函数曲线的联系. 5.复平面与复数、向量的沟通. 6.利用类比法、换元法(如三角换元)、构造法、坐标法等构造代数问题的几何模型、几 何问题的代数模型,开辟解题的新思路. 【例 1】 (12 年上海模拟)若函数 y ? f ( x)( x ? R) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且 x ? [ ?1,1] 时,

?lg( x ? 1), ? ? 1 f ( x) ? 1 ? x 2 ,函数 g ( x ) ? ? ? , ? x ? ?0,

x ?1 x?0 0 ? x ?1

,则函数 h( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) 在区间 [?5,6] 内的零点个

数为_________. 【答案】 9 【解】 由题意,直接求解会很麻烦,且不易得到正确的答案,所以该题中求 h( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) 的零点,可以转化为求 f ( x) 与 g ( x) 两函数图像的交点.则画出 f ( x) 与 g ( x) 的图 像,由于 f ( x) 在 x ? [ ?1,1] 上为 f ( x) ? 1 ? x 2 ,且为周期函数,周期为 2,而 g ( x) 是分段函数,注意其 图像共分为三部分,如图,可等共有 9 个交点,其中有一个易错点,即其中 1 个交点为(1,0)很容 易被遗漏.

【点评】 要求 h( x) ? f ( x) ? h( x) 在区间 [?5,6] 内的零点的个数,可转化为求 f ( x) 与 h( x) 交点的个数,可以作出图形,观察图形易得交点的个数 .本题体现了数形结合的思想,正是运 用数形结合的思想方法解题的途径中的以形助数. 【例 2】 函数 y=f(x)的图像为圆心在原点的两段圆弧,试解不等式 f(x)>f(-x)十 x. 【解】 解法一: (以数助形)
? ? 1? x2 由题意及图像,有 f ( x) ? ? 2 ? ?? 1 ? x 0 ? x ?1 ?1 ? x ? 0


2 5 ; 5

(1)当 0<x≤1 时, f(x)>f(-x)+x 得 1 ? x 2 >- 1 ? ( ? x ) 2 +x, 解得 0<x<
2 5 , 5

(2)当-1≤x<0 时, 得- 1 ? x 2 > 1 ? ( ? x ) 2 +x, 解得-1≤x<-
2 5 2 5 )∪(0, ). 5 5

∴ 原不等式的解集为[-1, - 解法二: (数形互助)

由图象知 f(x)为奇函数,∴ 原不等式为 f(x)>

x x 2 5 ,而方程 f(x)= 的解为 x=〒 , 2 2 5

据图像可知原不等式解集为[-1, -

2 5 2 5 )∪(0, ). 5 5

【点评】 本题以形看数(解式,奇偶性) ,以数解形(曲线交点 A、B) ,最后以形解数(不 等式) ,这才是真正意义上的数形结合,扬长避短.

●方法三

分类讨论的思想方法

1.通常引起分类讨论的原因,大致可归纳为如下几点:

(1)涉及的数学概念是分类定义的; (2)涉及运算的数学定义、公式或运算性质、法则是分类给出的; (3)涉及题中所给的限制条件或研究对像的性质而引起的; (4)涉及数学问题中参变量的不同取值导致不同结果而引起的; (5)涉及的几何图形的形状、位置的变化而引起的; (6)一些较复杂或非常规的数学问题,需要采用分类讨论的解题策略解决的. 2.分类讨论的步骤一般可分为以下几步: (1)确定讨论的对像及其范围; (2)确定分类讨论的标准,正确进行分类; (3)逐类讨论,分级进行; (4)归纳整合,作出结论. 其中最重要的一条是“不漏不重”.学生必须对相关知识点或涉及的概念、定义、定理相 当清楚,对于一些结论成立的条件掌握牢固,这样才能在解题时思路清晰,才能知道何时必 须进行分类讨论,而何时无须讨论,从而可以知道怎样进行分类讨论. 【例 1】 (12 年上海二模) 点 Q ( x, y ) 是函数 y ?
Q 两点之间距离的最小值是______________.

x2 点 P(0,5) , 则P、 ? 1 图像上的任意一点, 2

【答案】 【解】

11
①当
x2 x2 2 ? 1 ? 0 时, y ? 1 ? , PQ ? x 2 ? ( y ? 5)2 ? ( y ? 6)2 ? 9 . 2 2

y ? 6 ? ?3 时,即 y=9 或 y=3, PQ 取最小值 0,但 x2 ? 2 ? 2 y 都为负数,∴不成立;

②当

x2 x2 2 ? 1 ? 0 时, y ? ? 1 , PQ ? x 2 ? ( y ? 5) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 11 .当 y=4 时, PQ 取最小值为 2 2

11 .综上所述, P 、 Q 两点之间距离的最小值为 11 .
【点评】 由于题中给出的是绝对值函数,需要利用分类讨论的思想去掉绝对值,然后

再求解.体现了数学概念是分类定义的而引起的分类讨论. 【例 2】设等比数列 {an } 的公比为 q ,前 n 项和 Sn ? 0(n ? 1, 2,3, ) ,求 q 的取值范围. 【分析】在应用等比数列前 n 项和的公式时,由于公式的要求,分 q =1 和 q ≠1 两情况. 【解】 {an } 是等比数列,且前 n 项和 Sn ? 0(n ? 1, 2,3, ) ,

? a1 ? S1 ? 0 ,且 q ? 0
当 q ? 1 时, Sn ? na1 ? 0 ; 当 q ? 1 时, Sn ?

a1 (1 ? q n ) 1 ? qn ? 0 ,即 ? 0(n ? 1, 2,3, ) . 1? q 1? q

?1 ? q n ? 0 上式等价于 ? ? 1? q ? 0

?1 ? q n ? 0 ①或 ? ? 1? q ? 0

②,

由①得 q ? 1 ,由②得 ?1 ? q ? 1 ,

? q 的取值范围为 ? ?1,0?
现.

?0, ??? .

【点评】本题正是分类讨论中运算的数学定义、公式或运算性质、法则是分类给出的体

? 2 x ? a, x ? 1, 【 例 4 】 已知实 数 a ? 0 , 函 数 f ? x ? ? ? 若 f ?1 ? a ? ? f ?1 ? a ? , 则 a 的 值 为 ?? x ? 2a, x ? 1.
________. 【答案】
? 3 4

【解】首先讨论 1 ? a , 1 ? a 与 1 的关系. 当 a ? 0 时, 1 ? a ? 1 , 1 ? a ? 1 ,所以 f ?1? a ? ? ? ?1? a ? ? 2a ? ?1? a ;

f ?1? a ? ? 2(1? a) ? a ? 3a ? 2 .
3 因为 f ?1 ? a ? ? f ?1 ? a ? ,所以 ?1 ? a ? 3a ? 2 ,所以 a ? ? ; 4

当 a ? 0 时, 1 ? a ? 1 , 1 ? a ? 1 ,所以 f ?1 ? a ? ? 2 ?1 ? a ? ? a ? 2 ? a ;

f ?1? a ? ? ?(1? a) ? 2a ? ?3a ?1 .
3 因为 f ?1 ? a ? ? f ?1 ? a ? ,所以 2 ? a ? ?3a ? 1 ,所以 a ? ? (舍去). 2 3 综上,满足条件的 a ? ? . 4

【点评】本题的解题关键在于讨论 1 ? a , 1 ? a 与 1 的关系,正是体现了数学问题中参变 量的不同取值导致不同结果而引起的分类讨论. ●方法四 概括归纳的思想方法

概括是在思维中将同一种类型的对像共同的本质属性集中起来,结合为一般类型的属性 . 归纳是一种逻辑型的思维形状,是从几个特殊情形做出一般结论的不完全的属性.一类是性质 和法则的归纳,如数列的基本性质,对数运算的法则的归纳过程;另一类是解题方法的归纳, 如向量在物理中的应用等;第三类是归纳猜想,如由表格所给数据归纳几个连续奇数的和等. 【例 2】 在数列{ an }中,a1 =13 , 且前 n 项的算术平均数等于第 n 项的 2 n -1 倍 ( n ∈N*) . (1)写出此数列的前 5 项; (2)归纳猜想{ an }的通项公式,并用数学归纳法证明. 【分析】 (1)利用数列{ an }前 n 项的算术平均数等于第 n 项的 2 n -1 倍,推出关系式,通 过 n =2,3,4,5 求出此数列的前 5 项;

(2)通过(1)归纳出数列{ an }的通项公式,然后用数学归纳法证明.第一步验证 n =1 成立;第二步,假设 n = k 猜想成立,然后证明 n = k ? 1 时猜想也成立. 1 a ? a ? a ? ? an 【解】 (1)由已知 a1 = , 1 2 3 =(2 n -1) an ,分别取 n =2,3,4,5, 3 n 1 1 1 1 1 1 ? , a3 ? ? a1 ? a2 ? ? ? 得 a2 ? a1 ? , 5 3 ? 5 15 14 5 ? 7 35 1 1 1 1 1 1 a4 ? ? , a5 ? ? , ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? 27 7 ? 9 63 44 9 ?11 99 1 1 1 1 1 所以数列的前 5 项是: a1 ? , a2 ? , a3 ? , a4 ? , a5 ? . 3 15 35 63 99 (2)由(1)中的分析可以猜想 an ? 下面用数学归纳法证明: ①当 n =1 时,猜想显然成立. ②假设当 n = k ( k ≥1 且 k ∈N*)时猜想成立,即 ak ? 那么由已知,得 即 a1 ? a2 ? a3 ?
1 . (2k ? 1)(2k ? 1) 1 ( n ∈N*) . (2n ? 1)(2n ? 1)

a1 ? a2 ? a3 ? ? ak ? ak ?1 ? (2k ? 1)ak ?1 , k ?1

? ak ? (2k 2 ? 3k )ak ?1 .所以 (2k 2 ? k )ak ? (2k 2 ? 3k )ak ?1 ,
1 ? (2k ? 3)ak ?1 , (2k ? 1)(2k ? 1)

即 (2k ?1)ak ? (2k ? 3)ak ?1 ,又由归纳假设,得 (2k ? 1)

所以 ak ?1 ?

1 ,即当 n ? k ? 1 时,猜想也成立. (2k ? 1)(2k ? 3) 1 成立. (2n ? 1)(2n ? 1)

综上①和②知,对一切 n ∈N*,都有 an ?

【点评】 本题考查数列的项的求法,通项公式的猜想与数学归纳法证明方法的应用,注 意证明中必须用上假设,考查计算能力,分析问题解决问题的能力.正是体现了概括归纳的 思想方法. ●方法五 化归与等价变换的思想方法

在解决数学问题时,常遇到一些问题直接求解较为困难,需将原问题转化成一个新问题 (相对来说,对自己较熟悉的) ,通过对新问题的求解,达到解决原问题的目的 .这一思想方 法我们称之为“转换化归思想”.而转换化归思想的基本原则就是:化难为易,化生为熟,化 繁为简,化未知为已知. 1.利用转换化归思想解决数学问题时必须明确三个问题: (1)把什么东西进行转换化归,即化归对像; (2)化归转换到何处,即化归转换的目的; (3)如何进行转换化归,即转换化归的方法.

2. 化归与转化常遵循以下几个原则. (1)目标简单化原则:将复杂的问题向简单的问题转化; (2)和谐统一性原则:即化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐,在量、形关 系上趋于统一的方向进行,使问题的条件和结论更均匀和恰当; (3)熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经验 和问题来解决; (4)直观化原则:将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决; (5)正难则反原则:即当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的 反面去探求,使问题获解. 3.转化与化归常用到的方法 (1)直接转化法:把问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题. (2)换元法:运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等,把较复杂的函数、 方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题. (3)数形结合法:研究原问题中数量关系(解式)与空间形式(图形)关系,通过互相 变换获得转化途径. (4)构造法: “构造”一个合适的数学模型,把问题变为易于解决的问题. (5)坐标法:以坐标系为工具,用计算方法解决几何问题,是转化方法的一个重要途径. (6)类比法:运用类比推理,猜测问题的结论,易于确定转化途径. (7)特殊化方法:把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的结论适合原问 题. (8)等价问题法:把原问题转化为一个易于解决的等价命题,达到转化目的. (9)加强命题法:在证明不等式时,原命题难以得证,往往把命题的结论加强,即命题 的结论加强为原命题的充分条件,反而能将原命题转化为一个较易证明的命题,比如在证明 不等式时:原命题往往难以得证,这时常把结论加强,使之成为原命题的充分条件,从而易 证. (10)补集法:如果下面解决原问题有困难,可把原问题结果看作集合 A,而包含该问题 的整体问题的结果类比为全集 U,通过解决全集 U 及补集 使原问题得以解决. 化归与等价变换的思想方法所涉及到的具体问题很多很多,如果不断努力地用这种方法 去解决一些数学问题或数学范畴以外的问题时,往往会出现事半功倍的奇特效果. 【例 1】 【解】
2

设 x 、 y ∈R 且 3x2 ? 2 y 2 ? 6x ,求 x 2 ? y 2 的范围. 方法一:等价转化法(转化为函数问题)

由 6 x ? 2 y ? 3x2 ≥0 得 0≤ x ≤2. 设 k ? x 2 ? y 2 ,则 y 2 ? k ? x 2 ,代入已知等式得: x 2 ? 6 x ? 2k ? 0 , 1 即 k ? ? x 2 ? 3x ,其对称轴为 x =3. 2 由 0≤ x ≤2 得 k ∈[0,4]. 所以 x 2 ? y 2 的范围是:0≤ x 2 ? y 2 ≤4. 方法二:数形结合法(转化为解几何问题) :

由 3x2 ? 2 y 2 ? 6x 得 ? x ? 1? ?
2

y2 ? 1, 即表示如图所示椭圆, 其一个顶点在坐标原点. x 2 ? y 2 3 2

的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方.由图可知最小值是 0,距离最大的点是以原 点为圆心的圆与椭圆相切的切点 .设圆方程为 x2 ? y 2 ? k ,代入椭圆中消 y 得 x 2 ? 6 x ? 2k ? 0 . 由判别式 ? ? 36 ? 8k ? 0 得 k ? 4 ,所以 x 2 ? y 2 的范围是: 0 ? x2 ? y 2 ? 4 . 方法三: 三角换元法,对已知式和待求式都可以进行三角换元(转化为三角问题) :

? x ? 1 ? cos ? y2 ? ? 1 ,设 ? 由 3x ? 2 y ? 6x 得 ? x ? 1? ? ,则 6 3 sin ? ?y ? ? 2 2 3 3 1 x 2 ? y 2 ? 1 ? 2 cos ? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? ? 2 cos ? ? cos 2 ? 2 2 2 1 5 ? ? cos 2 ? ? 2 cos ? ? ? ? 0, 4? 2 2
2 2
2

所以 x 2 ? y 2 的范围是: 0 ? x2 ? y 2 ? 4 . 【点评】本题运用多种方法进行解答,实现了多种角度的转化,联系了多个知识点,有 助于提高发散思维能力.而且各种方法的运用,分别将代数问题转化为了其它问题,属于问题 转换题型,正是体现了熟悉化原则,将不熟悉的知识转化为自己熟悉的知识. 【例 2】设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1、Sn、Sn+2 成等差数列,则

q=___________.
【答案】-2 【解】 S 2 ? a1 ? a1q , S1 ? a1 , S3 ? a1 ? a1q ? a1q2 ∵ S 2 ? S3 ? 2S1 ∴ 2a1 ? 2a1q ? a1q 2 ? 2a1 (a1≠0) ∴ q ? ?2 或 q ? 0 (舍去). 【点评】 由于该题为填空题,我们不防用特殊情况来求 q 的值.如: S2 , S1 , S3 成等差,求 也是特殊化方法的使用, 正是转 q 的值.这样就避免了一般性的复杂运算.既体现简单化原则, 化与化归的思想方法的典型体现。 【例 4】对满足 p ? 2 的所有实数 p ,求使不等式 x ? px ? 1 ? 2 x ? p 恒成立的 x 取值范围. 【解】 原不等式化为 ( x ? 1) p ? ( x ? 1) 2 ? 0 ,令 f ( p) ? ( x ? 1) p ? ( x ? 1) 2 ,它是关于 p 的

? f (?2) ? ( x ? 1)(x ? 3) ? 0 一次函数,定义域为 [?2,2] 。由依次函数的单调性知 ? ? f (2) ? ( x ? 1)(x ? 1) ? 0
解得: x ? ?1 或 x ? 3 【点评】 本题正是利用主元与参变量的关系,视参变量为主元(即变量与主元的角色换 位),简化问题在求解,正是转化与化归思想的典型体现.


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