fccjxxw.com
非常超级学习网 学习超级帮手
当前位置:首页 >> 数学 >>

课时作业(二十四)

课时作业(二十四)

一、选择题 1.从 A 处望 B 处的仰角为 α,从 B 处望 A 处的俯角为 β,则 α,β 之间的关系是( A.α>β B.α=β C.α+β=90° D.α+β=180° 答案 B

)

2.如图,在河岸 AC 测量河的宽度 BC,图中所标的数据 a,b,c,α,β 是可供测量的 数据.下面给出的四组数据中,对测量河宽较适宜的是( ) A.c 和 a B.c 和 b C.c 和 β D.b 和 α 答案 D 3.已知 A、B 两地的距离为 10 km,B、C 两地的距离为 20 km,现测得∠ABC=120° , 则 A、C 两地的距离为( ) A.10 km B. 3 km C.10 5 km D.10 7 km 答案 D 解析 AC= AB2+BC2-2AB· BC· cos120° 1 = 102+202+2×10×20× =10 7(km). 2 4.某人在山外一点测得山顶的仰角为 42° ,沿水平面退后 30 米,又测得山顶的仰角为 39° ,则山高为(sin42° ≈0.6691,sin39° ≈0.6293,sin3° ≈0.0523)( ) A.180 米 B.214 米 C.242 米 D.266 米 答案 C 解析

∵∠BCA=42° ,∠BDA=39° ,∴∠DBC=3° . DC BC 在△BDC 中,DC=30, = , sin3° sin39° 30· sin39° ∴BC= . sin3° 30· sin39° · sin42° 在 Rt△ABC 中,AB=BC· sin42° = =242. sin3° 5.在 200 m 高的山顶上,测得山下塔顶和塔底的俯角分别为 30° ,60° ,则塔高为( 400 400 3 A. m B. m 3 3 200 3 200 C. m D. m 3 3

)

答案 A 解析

在 Rt△BAC 中∠ABC=30° ,AB=200, AB 400 ∴BC= = 3, cos30° 3 ∵∠EBD=30° ,∠EBC=60° , ∴∠DBC=30° ,∠BDC=120° , DC BC 在△BDC 中, = , sin30° sin120° 400 1 3× 2 400 BC· sin30° 3 ∴DC= = = (m). sin120° 3 3 2 6.有一长为 1 千米的斜坡,它的倾斜角为 20° ,现要将倾斜角改为 10° ,则斜坡长为 ________千米.( ) A.1 B.2sin10° C.2cos10° D.cos20° 答案 C 解析

由题意知 DC=BC=1,∠BCD=160° , 2 2 2 ∴BD =DC +CB -2DC· CB· cos160° =1+1-2×1×1cos(180° -20° ) =2+2cos20° =4cos210° , ∴BD=2cos10° . 二、填空题 7.(2010· 潍坊质检)已知 A 船在灯塔 C 北偏东 80° 处,且 A 船到灯塔 C 的距离为 2 km, B 船在灯塔 C 北偏西 40° 处, A、 B 两船间的距离为 3 km, 则 B 船到灯塔 C 的距离为________km. 答案 6-1

解析 如图,由题意可得,∠ACB=120° ,AC=2,AB=3.设 BC=x,则由余弦定理可 得:AB2=BC2+AC2-2BC· ACcos120° ,即 32=x2+22-2×2xcos120° ,整理得 x2+2x=5, 解得 x= 6-1.

8. 如图, 某住宅小区的平面图呈圆心角为 120° 的扇形 AOB, C 是该小区的一个出入口, 且小区里有一条平行于 AO 的小路 CD.已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 分钟,从 D 沿着 DC 走到 C 用了 3 分钟.若此人步行的速度为每分钟 50 米,则该扇形的半径为________米. 答案 17500 解析 连接 OC,在△OCD 中,OD=100,CD=150,∠CDO=60° ,由余弦定理得: OC2=1002+1502-2· 100· 150· cos60° =17500. 9.(2011· 沧州七校联考)某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度 15° 的 看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60° 和 30° , 第一排和最后一排的距离为 10 6米(如图所示), 旗杆底部与第一排在一个水平面上. 若 国歌长度约为 50 秒,升旗手应以________(米/秒)的速度匀速升旗.

答案 0.6 解析 在△BCD 中,∠BDC=45° ,∠CBD=30° ,CD=10 6,由正弦定理,得 BC= CDsin45° =20 3; sin30° 3 在 Rt△ABC 中,AB=BCsin60° =20 3× =30(米). 2 AB 30 所以升旗速度 v= = =0.6(米/秒). t 50 三、解答题

10.如图,某货轮在 A 处看灯塔 B 在货轮的北偏东 75° ,距离为 12 6n mile,在 A 处看 灯塔 C 在货轮的北偏西 30° ,距离为 8 3n mile,货轮由 A 处向正北航行到 D 处时,再看灯 塔 B 在北偏东 120° . 求:(1)A 处与 D 处的距离; (2)灯塔 C 与 D 处的距离. 解析 (1)在△ABD 中,∠ADB=60° ,∴∠B=45° , AD AB 由正弦定理得 = , sin∠B sin∠ADB 2 12 6× 2 ABsin∠B 即 AD= = =24(n mile). sin∠ADB 3 2 (2)在△ACD 中,∵AC=8 3,∠CAD=30° , 2 2 2 由余弦定理得 CD =AD +AC -2AD· ACcos∠CAD=242+(8 3)2-2×24×8 3cos30° =192. 即 CD=8 3≈14(n mile). 因此 A 处与 D 处的距离为 24 n mile,灯塔 C 与 D 处的距离约为 14 n mile. 11.

如图,港口 B 在港口 O 正东方 120 海里处,小岛 C 在港口 O 北偏东 60° 方向、港口 B 北偏西 30° 方向上.一艘科学考察船从港口 O 出发,沿北偏东 30° 的 OA 方向以 20 海里/时 的速度驶离港口 O.一艘快船从港口 B 出发,以 60 海里/时的速度驶向小岛 C,在 C 岛装运 补给物资后给考察船送去,现两船同时出发,补给物资的装船时间要 1 小时,问快艇驶离港 口 B 后最少要经过多少时间才能和考察船相遇?

解析 设快艇驶离港口 B 后,最少要经过 x 小时,在 OA 上点 D 处与考察船相遇,连 结 CD,则快艇沿线段 BC、CD 航行. 在△OBC 中,∠BOC=30° ,∠CBO=60° , ∴∠BCO=90° .又 BO=120, ∴BC=60,OC=60 3. ∴快艇从港口 B 到小岛 C 需要 1 小时. 在△OCD 中,∠COD=30° ,OD=20x,CD=60(x-2). 由余弦定理,得 CD2=OD2+OC2-2OD· OC· cos∠COD. 2 2 2 2 ∴60 (x-2) =(20x) +(60 3) -2· 20x· 60 3· cos30° . 3 解得 x=3 或 x= .∵x>1,∴x=3. 8 答:快艇驶离港口 B 后最少要经过 3 小时才能和考察船相遇. 12.

(2010· 陕西卷)如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5(3+ 3)海里的两个观测点.现 位于 A 点北偏东 45° , B 点北偏西 60° 的 D 点有一艘轮船发出求救信号, 位于 B 点南偏西 60° 且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海里/小时,该救 援船到达 D 点需要多长时间? 答案 救援船到达 D 点需要 1 小时. 解析 由题意知 AB=5(3+ 3)海里, ∠DBA=90° -60° =30° ,∠DAB=90° -45° =45° , ∴∠ADB=180° -(45° +30° )=105° , DB AB 在△DAB 中,由正弦定理得 = , sin∠DAB sin∠ADB AB· sin∠DAB 5?3+ 3?· sin45° 5?3+ 3?· sin45° 5 3? 3+1? ∴ DB = = = = = sin105° sin∠ADB sin45° cos60° +cos45° sin60° 3+1 2 10 3(海里), 又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30° +(90° -60° )=60° ,BC=20 3(海里), 在△DBC 中,由余弦定理得

CD2=BD2+BC2-2BD· BC· cos∠DBC 1 =300+1200-2×10 3×20 3× =900, 2 30 ∴CD=30(海里),则需要的时间 t= =1(小时). 30 答:救援船到达 D 点需要 1 小时. 注:如果认定△DBC 为直角三角形,根据勾股定理正确求得 CD,同样给分.

1.

(南京第一次调研)如图,海岸线上有相距 5 海里的两座灯塔 A,B,灯塔 B 位于灯塔 A 的正南方向.海上停泊着两艘轮船,甲船位于灯塔 A 的北偏西 75° 方向,与 A 相距 3 2海里 的 D 处;乙船位于灯塔 B 的北偏西 60° 方向,与 B 相距 5 海里的 C 处.则两艘轮船之间的 距离为________海里. 答案 13 解析 连接 AC,∵AB=BC,∠ABC=60° ,∴AC=5;在△ACD 中,AD=3 2,AC= 5,∠DAC=45° ,由余弦定理得 CD= 13. 2.甲船在 A 处观察乙船在它的北偏东 60° 的 B 处,此时两船相距 a 海里,乙船正向北 行驶,若甲船的速度是乙船的 3倍,则甲船以什么方式前进才能追赶上乙船?此时乙船行 驶了多少海里? 解析

如图所示,AC 为甲船的航行路线,BC 为乙船的航行路线,设甲船取北偏东 θ 的方向去 追赶乙船,在 C 点处追上,若乙船行驶的速度是 v,则甲船行驶的速度是 3v,由于甲、乙 两船到达 C 点的时间相等,都为 t,则 BC=vt,AC= 3vt.∠ABC=120° . 由余弦定理可知 AC2=AB2+BC2-2AB· BC· cos120° , 2 2 2 2 2 即 3v t =a +v t +avt. 所以 2v2t2-avt-a2=0. a a 解得 t1=v,t2=- (舍去). 2v 所以 BC=a,∠CAB=30° ,θ=30° . 即甲船应取北偏东 30° 的方向去追赶乙船,此时乙船已行驶 a 海里. 3.(2010· 福建卷,文)某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上, 在小艇出发时, 轮船位于港口 O 北偏西 30° 且与该港口相距 20 海里的 A 处, 并正以 30 海里 /小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀 速行驶,经过 t 小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值; (3)是否存在 v,使得小艇以 v 海里/小时的航行速度行驶,总能有两种不同的航行方向

与轮船相遇?若存在,试确定 v 的取值范围;若不存在,请说明理由. 解析 (1)设相遇时小艇的航行距离为 S 海里,则 S= 900t2+400-2· 30t· 20· cos?90° -30° ? 2 = 900t -600t+400 1 = 900?t- ?2+300, 3 1 10 3 故当 t= 时,Smin=10 3,v= =30 3. 3 1 3 即小艇以 30 3海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小. (2)

设小艇与轮船在 B 处相遇,如图所示. 由题意可得:(vt)2=202+(30t)2-2· 20· 30t· cos(90° -30° ),化简得: 1 32 2 400 600 v = 2 - +900=400( - ) +675. t t t 4 1 1 1 由于 0<t≤ ,即 ≥2,所以当 =2 时,v 取得最小值 10 13, 2 t t 即小艇航行速度的最小值为 10 13海里/小时. 400 600 1 (3)由(2)知 v2= 2 - +900,设 =u(u>0), t t t 2 2 于是 400u -600u+900-v =0.(*) 小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇,等价于方程(*)应有两个不等正根,即: ?6002-1600?900-v2?>0, ? ? 解得 15 3<u<30. 2 ? ?900-v >0, 所以 v 的取值范围是(15 3,30). 4.

如图,某小区准备绿化一块直径为 BC 的半圆形空地,△ABC 外的地方种草,△ABC 的内接正方形 PQRS 为一水池,其余地方种花.若 BC=a,∠ABC=θ,设△ABC 的面积为 S1 S1,正方形 PQRS 的面积为 S2,将比值 称为“规划合理度”. S2 (1)试用 a,θ 表示 S1 和 S2. (2)当 a 为定值,θ=15° ,求“规划合理度”的值. 1 1 解析 (1)如题图,在 Rt△ABC 中,AC=asinθ,AB=acosθ,S1= a2sinθcosθ= a2sin2θ, 2 4 设正方形的边长为 x,则 BQ=xcotθ, RC=xtanθ,∴xcotθ+x+xtanθ=a. a asin2θ ∴x= = , cotθ+tanθ+1 2+sin2θ a asin2θ 2 S2=( )2=( ). cotθ+tanθ+1 2+sin2θ 1 1 (2)θ=15° 时,S1= a2sin30° = a2, 4 8

asin30° 2 a2 S1 25 S2=( ) = ,∴ = S2 8 2+sin30° 25


更多相关文章:

非常超级学习网 fccjxxw.com

copyright ©right 2010-2021。
非常超级学习网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图