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高考专题之《导数及其应用》知识点总结


导数及其应用专题
一、导数的概念和几何意义 1. 函数的平均变化率:函数 f (x) 在区间 [ x1, x2 ] 上的平均变化率为:
f ( x2 ) ? f ( x1 ) 。 x2 ? x1

2. 导数的定义:设函数 y ? f ( x ) 在区间 (a, b) 上有定义, x0 ? ( a, b) ,若 ? x 无限趋近于 0 时,比值
?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? 无限趋近于一个常数 A,则称函数 f (x) 在 x ? x0 处可导, ?x ?x

并称该常数 A 为函数 f (x) 在 x ? x0 处的导数,记作 f ?( x0 ) 。函数 f (x) 在 x ? x0 处的导数的实 质是在该点的瞬时变化率。 3. 求函数导数的基本步骤: (1)求函数的增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; (2)求平均变 化率:
f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ; (3)取极限,当 ? x 无限趋近与 0 时, 无限趋 ?x ?x

近与一个常数 A,则 f ?( x0 ) ? A . 4. 导数的几何意义: 函数 f (x) 在 x ? x0 处的导数就是曲线 y ? f ( x ) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率。由此, 可以利用导数求曲线的切线方程,具体求法分两步: (1)求出 y ? f ( x ) 在 x0 处的导数,即为曲线 y ? f ( x ) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率; (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为 y ? y0 ? f ?( x0 )( x ? x0 ) 。 当点 P( x0 , y0 ) 不在 y ? f ( x ) 上时,求经过点 P 的 y ? f ( x ) 的切线方程,可设切点坐标, 由切点坐标得到切线方程,再将 P 点的坐标代入确定切点。特别地,如果曲线 y ? f ( x ) 在点
( x0 , f ( x0 )) 处的切线平行与 y 轴,这时导数不存在,根据切线定义,可得切线方程为 x ? x0 。

5. 导数的物理意义: 质点做直线运动的位移 S 是时间 t 的函数 S (t ) ,则 V ? S ?(t ) 表示瞬时速度, a ? v?(t ) 表 示瞬时加速度。 二、导数的运算 1. 常见函数的导数: (1) (kx ? b)? ? k (k, b 为常数); ( 3) ( x ) ? ? 1 ; (5) ( x3 )? ? 3x 2 ; (2) C ? ? 0 (C 为常数); ( 4) ( x 2 ) ? ? 2 x ; (6) ( 1 )? ? ? 12 ; x x
1

( 7) ( x ) ? ? 1 ; 2 x (9) ( a x )? ? a x ln a( a ? 0, a ? 1) ; (11) (e x )? ? e x ; (13) (sin x)? ? cos x ; 2. 函数的和、差、积、商的导数: (1) [ f ( x ) ? g ( x)]? ? f ?( x ) ? g ?( x) ; (2) [Cf ( x )]? ? Cf ?( x) (C 为常数) ;

(8) ( x α )? ? αx α ?1 (α 为常数) ; (10) (log a x)? ? 1 log a e ? 1 (a ? 0, a ? 1) ; x x ln a (12) (ln x )? ? 1 ; x (14) (cos x )? ? ? sin x 。

(3) [ f ( x ) g ( x)]? ? f ?( x ) g ( x ) ? f ( x) g ?( x) ; f ( x) f ?( x ) g ( x ) ? f ( x) g ?( x) ( 4) [ ]? ? ( g ( x ) ? 0) 。 g ( x) g 2 ( x) 3. 简单复合函数的导数:
? ? ? ? 若 y ? f (u ), u ? ax ? b ,则 y ? x ? yu ? u x ,即 y x ? yu ? a 。

三、导数的应用 1. 求函数的单调性: 利用导数求函数单调性的基本方法:设函数 y ? f ( x ) 在区间 (a, b) 内可导, (1)如果恒 f ?( x) ? 0 ,则函数 y ? f ( x ) 在区间 (a, b) 上为增函数; (2)如果恒 f ?( x) ? 0 ,则函数 y ? f ( x ) 在区间 (a, b) 上为减函数; (3)如果恒 f ?( x) ? 0 ,则函数 y ? f ( x ) 在区间 (a, b) 上为常数函数。 利用导数求函数单调性的基本步骤:①求函数 y ? f ( x ) 的定义域;②求导数 f ?( x) ; ③解不等式 f ?( x) ? 0 ,解集在定义域内的不间断区间为增区间;④解不等式 f ?( x) ? 0 ,解集 在定义域内的不间断区间为减区间。 反过来, 也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题(如确定参数的取值范围) : 设函数 y ? f ( x ) 在区间 (a, b) 内可导, (1) 如果函数 y ? f ( x ) 在区间 (a, b) 上为增函数,则 f ?( x) ? 0 ( 其中使 f ?( x) ? 0 的 x 值不构 成区间); (2) 如果函数 y ? f ( x ) 在区间 (a, b) 上为减函数,则 f ?( x) ? 0 (其中使 f ?( x) ? 0 的 x 值不构 成区间); (3) 如果函数 y ? f ( x ) 在区间 (a, b) 上为常数函数,则 f ?( x) ? 0 恒成立。 2. 求函数的极值: 设函数 y ? f ( x ) 在 x0 及其附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点都有 f ( x) ? f ( x0 ) (或
f ( x) ? f ( x0 ) ) ,则称 f ( x0 ) 是函数 f ( x) 的极小值(或极大值) 。

可导函数的极值,可通过研究函数的单调性求得,基本步骤是:

2

(1)确定函数 f ( x) 的定义域; (2)求导数 f ?( x) ; (3)求方程 f ?( x) ? 0 的全部实根,
x1 ? x2 ? ? ? xn ,顺次将定义域分成若干个小区间,并列表:x 变化时, f ?( x) 和 f ( x) 值的

变化情况: x
( ??, x1 ) x1 ( x1 , x2 )



xn

( xn , ??)

f ?( x) f ( x)

正负 单调性

0

正负 单调性

0

正负 单调性

(4)检查 f ?( x) 的符号并由表格判断极值。 3. 求函数的最大值与最小值: 如果函数 f ( x) 在定义域 I 内存在 x0 , 使得对任意的 x ? I , 总有 f ( x) ? f ( x0 ) , 则称 f ( x0 ) 为函数在定义域上的最大值。 函数在定义域内的极值不一定唯一, 但在定义域内的最值是唯 一的。 求函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上的最大值和最小值的步骤: (1)求 f ( x) 在区间 (a, b) 上的极值; (2)将第一步中求得的极值与 f (a), f (b) 比较,得到 f ( x) 在区间 [a, b] 上的最大值与最 小值。 4. 解决不等式的有关问题: (1)不等式恒成立问题(绝对不等式问题)可考虑值域。

f ( x)( x ? A) 的值域是 [a, b] 时,
不等式 f ( x ) ? 0 恒成立的充要条件是 f ( x) max ? 0 ,即 b ? 0 ; 不等式 f ( x ) ? 0 恒成立的充要条件是 f ( x ) min ? 0 ,即 a ? 0 。

f ( x)( x ? A) 的值域是 (a, b) 时,
不等式 f ( x ) ? 0 恒成立的充要条件是 b ? 0 ; 不等式 f ( x ) ? 0 恒成立的充要条件是 a ? 0 。 (2)证明不等式 f ( x ) ? 0 可转化为证明 f ( x) max ? 0 ,或利用函数 f ( x) 的单调性,转化为 证明 f ( x) ? f ( x0 ) ? 0 。 5. 导数在实际生活中的应用: 实际生活求解最大(小)值问题,通常都可转化为函数的最值. 在利用导数来求函数最 值时,一定要注意,极值点唯一的单峰函数,极值点就是最值点,在解题时要加以说明。

3

专题练习
一、选择题 1.函数 f ( x) ? ( x ? 3)e x 的单调递增区间是 A. (??,2) 答案 解析 D B.(0,3) C.(1,4) D. (2,??) ( )

f ?( x) ? ( x ? 3)?e x ? ( x ? 3) ? e x ?? ? ( x ? 2)e x ,令 f ?( x ) ? 0 ,解得 x ? 2 ,故选 D
)

2. 已知直线 y=x+1 与曲线 y ? ln( x ? a ) 相切,则α的值为( A.1 答案 B B. 2 C.-1 D.-2

解:设切点 P ( x0 , y0 ) ,则 y0

? x0 ? 1, y0 ? ln( x0 ? a ) ,又? y ' |x ? x0 ?
选B

1 ?1 x0 ? a

? x0 ? a ? 1? y0 ? 0, x 0 ? ?1? a ? 2 .故答案

3.已知函数 f ( x ) 在 R 上满足 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x 2 ? 8 x ? 8 ,则曲线

y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是(
A. y ? 2 x ? 1 答案 解析 A B. y ? x

) D. y ? ?2 x ? 3

C. y ? 3 x ? 2

由 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x 2 ? 8 x ? 8 得几何

f (2 ? x) ? 2 f ( x) ? (2 ? x )2 ? 8(2 ? x ) ? 8 ,
即 2 f ( x) ? f (2 ? x ) ? x 2 ? 4 x ? 4 ,∴ f ( x) ? x 2 ∴ f / ( x) ? 2 x ,∴切线方程

y ? 1 ? 2( x ? 1) ,即 2 x ? y ? 1 ? 0 选 A
4.若存在过点 (1,0) 的直线与曲线 y ? x 3 和 y ? ax 2 ?

15 x ? 9 都相切,则 a 等于 4
( ) D. ?

A. ?1 或 答案 解析 A

25 64

B. ?1 或

21 4

C. ?

7 25 或4 64

7 或7 4

设过 (1, 0) 的直线与 y ? x3 相切于点 ( x0 , x0 3 ) ,所以切线方程为

4

y ? x0 3 ? 3 x0 2 ( x ? x0 )

3 , 2 15 25 当 x0 ? 0 时,由 y ? 0 与 y ? ax 2 ? x ? 9 相切可得 a ? ? , 4 64 3 27 27 15 2 当 x0 ? ? 时,由 y ? x? 与 y ? ax ? x ? 9 相切可得 a ? ?1 ,所以选 A . 2 4 4 4
即 y ? 3x0 2 x ? 2 x0 3 ,又 (1, 0) 在切线上,则 x0 ? 0 或 x0 ? ? 5.设函数 f ( x ) ? g ( x ) ? x 2 ,曲线 y ? g ( x ) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 ,则曲 线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处切线的斜率为 A. 4 答案 解析 力。 6.曲线 y ? A 由已知 g ?(1) ? 2 ,而 f ?( x) ? g ?( x ) ? 2 x ,所以 f ?(1) ? g ?(1) ? 2 ?1 ? 4 故选 A B. ? ( D. ? )

1 4

C. 2

1 2

x 在点 ?1,1? 处的切线方程为 ( 2x ?1
B. x ? y ? 2 ? 0

) D. x ? 4 y ? 5 ? 0

A. x ? y ? 2 ? 0 答案 解 B

C. x ? 4 y ? 5 ? 0

y ? |x ?1 ?

2x ?1 ? 2x 1 |x ?1 ? [? ] |x?1 ? ?1, 2 (2 x ? 1) (2 x ? 1) 2
故选 B.

故切线方程为 y ? 1 ? ?( x ? 1) ,即 x ? y ? 2 ? 0

7.若函数 y ? f ( x ) 的导函数 在区间 [a, b] 上是增函数, ... 则函数 y ? f ( x ) 在区间 [a, b] 上的图象可能是 y y y y ( )

o

a

b x

o

a

b x
B.

o

a

b x
C.

o

a

b x

A .

D.

解析

因为函数 y ? f ( x ) 的导函数 ...y ? f ?( x) 在区间 [a, b] 上是增函数,即在区间 [a, b]

5

上各点处的斜率 k 是递增的,由图易知选 A. 8.设函数 f ( x ) ?

注意 C 中 y ? ? k 为常数噢. ( )

1 x ? ln x( x ? 0), 则 y ? f ( x ) 3

1 e 1 B 在区间 ( ,1), (1, e) 内均无零点。 e 1 C 在区间 ( ,1) 内有零点,在区间 (1, e) 内无零点。 e 1 D 在区间 ( ,1) 内无零点,在区间 (1, e) 内有零点。 e
A 在区间 ( ,1), (1, e) 内均有零点。 【考点定位】本小考查导数的应用,基础题。 解析 由 题 得 f `( x ) ?

1 1 x?3 ? ? , 令 f `( x ) ? 0 得 x ? 3 ; 令 f `( x ) ? 0 得 3 x 3x

故知函数 f ( x ) 在区间 (0, 3) 上为减函数, 在区间 ( 3,?? ) 0 ? x ? 3 ;f `( x ) ? 0 得 x ? 3 , 为增函数,在点 x ? 3 处有极小值 1 ? ln 3 ? 0 ;又

f (1) ?

1 e 1 1 , f ?e ? ? ? 1 ? 0, f ( ) ? ? 1 ? 0 ,故选择 D。 3 3 e 3e

二、填空题 9.若函数 f ( x ) ?

x2 ? a 在 x ? 1 处取极值,则 a ? x ?1

解析

2 x( x ? 1) ? ( x 2 ? a) f’(x)= ( x ? 1) 2
3? a =0 ? a=3 4
2

f’(1)=

10.若曲线 f ? x ? ? ax ? Inx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是 解析 解析 由题意该函数的定义域 x ? 0 , 由f
?

.

1 。 因为存在垂直于 y 轴 x 1 的切线,故此时斜率为 0 ,问题转化为 x ? 0 范围内导函数 f ? ? x ? ? 2ax ? 存在零点。 x 1 解法 1 (图像法)再将之转化为 g ? x ? ? ?2ax 与 h ? x ? ? 存在交点。当 a ? 0 不符合题 x 意,当 a ? 0 时,如图 1,数形结合可得显然没有交点,当 a ? 0 如图 2,此时正好有一个

? x ? ? 2ax ?

交点,故有 a ? 0 应填 ? ??, 0 ? 或是 ?a | a ? 0? 。
6

解法 2 (分离变量法)上述也可等价于方程 2ax ?

1 ? 0 在 ? 0, ?? ? 内有解,显然可得 x

1 ? ? ??, 0 ? 2 x2 3 2 11.函数 f ( x) ? x ? 15 x ? 33 x ? 6 的单调减区间为 a??
解析 考查利用导数判断函数的单调性。

.

f ?( x ) ? 3x 2 ? 30 x ? 33 ? 3( x ? 11)( x ? 1) ,
由 ( x ? 11)( x ? 1) ? 0 得单调减区间为 (?1,11) 。亦可填写闭区间或半开半闭区间。 12.在平面直角坐标系 xoy 中,点 P 在曲线 C : y ? x3 ? 10 x ? 3 上,且在第二象限内,已知 曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2,则点 P 的坐标为 解析 考查导数的几何意义和计算能力。 .

y ? ? 3 x 2 ? 10 ? 2 ? x ? ?2 ,又点 P 在第二象限内,? x ? ?2 点 P 的坐标为(-2,15)
答案 : a ?1

【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考 查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答. 13.若曲线 f ( x ) ? ax ? ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 取值范围是_____________. 答案 解析
3

(??, 0)
由题意可知 f ( x) ? 2ax ?
' 2

1 ,又因为存在垂直于 y 轴的切线, x

所以 2ax 2 ?

1 1 ? 0 ? a ? ? 3 ( x ? 0) ? a ? (??, 0) 。 x 2x

7


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