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导数在研究函数中的应用---单调性(2)


斜桥中学“163.主题课堂”教学策略

高二数学备课组

导数在研究函数中的应用---单调性(2) 班级 姓名
教学目标:深入研究导数与单调性的关系 教学重、难点:导数在研究函数中的应用及参数对导数的符号的影响。 教学过程: 一、 复习回顾:求函数的单调区间的步骤。 二、 知识应用 例 1:求函数的单调区间: 2 (1)设 f(x)=x (2-x),则 f(x)的单调增区间是 (2)设函数 f ( x) ? xekx (k ? 0) .求函数 f ( x ) 的单调区间;

思考:函数

在区间 I 上的导数

,则

在这个区间 I 上为增函数。

反之,是否正确? 结论: 例如:求 f(x)=x ?的单调区间 错解:∵fˊ(x)=3x ?,fˊ(x) >0 ≒>x≠0. ∴单调区间为(-∞,0),(0,+∞) 分析:∵fˊ(x)=3x ?,∴f′(0)=0. 在 x≠0 时,fˊ(x) >0 恒成立。 由图像可知,在(0,0)处函数图象是连续的。在 R 上单调递增 再看 fˊ(x)=3x ?,在 R 上 fˊ(x) ≥0 恒成立。 例 2:已知函数 y ? f ( x) 在定义域 [?4, 6] 内可导,其图象如图, 记 y ? f ( x) 的导函数为 y ? f '( x) ,则不等式 f '( x) ? 0 的 解集为 .

例 3:若函数 y ? x 3 ? x 2 ? mx ? 1 是 R 上的单调增函数,则实数 m 的取值范围是 变式 1:若函数 y ? x 3 ? x 2 ? mx ? 1 有三个单调区间,则实数 m 的取值范围是 .

.

变式 2:若函数 y ? x 3 ? x 2 ? mx ? 1 在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 则实数 m 的值是 .

1 变式 3:若函数 y ? x 3 ? x 2 ? mx ? 1 在 (0, ) 上既不是单调递增函数也不是单调递减函 2
数,则整数 m 的值是 .

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.m

4 变式 4:若函数 y ? x 3 ? x 2 ? mx ? 1 的单调递减区间是 [?2, ] ,则则实数 m 的值 3
是 .

例 3 设函数 y ? f ( x) 在定义域内可导,y ? f ( x) 的图象如图 1 所示, 则导函数 y ? f ?( x) 可能为 y y y y y

O

x

O

x

O

x

O

x

O

x

① ③ ④ ② 1 变式 1:如果函数 y ? f ( x) 的导函数的图象如下图所示,给出下列判断: ①函数 y ? f ( x) 在区间 ( ?3, ? ) 内单调递增; ②函数 y ? f ( x) 在区间 ( ?



1 2

1 ,3) 内单调递减; 2

③函数 y ? f ( x) 在区间 (4,5) 内单调递增; ④函数 y ? f ( x) 的单调递增区间是 [?2, 2] [4, ??) 则上述判断中正确的是____________.

y
变式 2:已知函数 y ? xf ?( x) 的图象如右图所示 (其中 f ?( x ) 是函数 f ( x) 的导函数),下面四个图象 中 y ? f ( x ) 的图象大致是
1

x
1 2

-2

-1

O -1

y
2 2 1

y
4

y
4 2 1

y

O
-2
-1

x
1 2 -2 -1

O
1

1

x
2

2 1 -2 -1 O

x

-2

-2

-2

-2

-1

O

2

x









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高二数学备课组

) (1) 求函 数 f ( x) 的 单 调 区 间 ; (2) 若函 数 例 4 : 已 知 函 数 f ( x) ? a ln x? ax? 3( a? R.

y ? f ( x) 的图象在点 (2, f (2)) 处的切线的倾斜角为 45 ? ,对于任意的 t ? [1,2] ,函数

g ( x) ? x3 ? x2 [ f '( x) ?

m ] 在区间 (t ,3) 上总不是单调函数,求 m 的取值范围; 2

三、回顾小结 1.判断函数单调性的方法; 2.导数符号与函数单调性之间的关系; 3.利用导数确定函数的单调性的步骤. 四、课后练习 2 1.函数 y=8x -lnx 的单调递增区间是

.

2.已知 x ? R ,奇函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 [1, ??) 上单调,则字母 a, b, c 应满足的条件 是 .

1 3.已知函数 f ( x) ? x3 ? (4m ? 1) x2 ? (15m2 ? 2m ? 7) x ? 2 在 (-∞, +∞) 上是增函数, 3
则 m 的取值范围是 . 4.若函数 f ( x) ? 2 x2 ? ln x 在定义域内的一个子区间 (k ? 1, k ? 1) 内不是单调函数,则实数 k 的取值范围是

a ,设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) .求函数 F ( x ) 的单调区间; x 6.已知函数 f ( x) ? x3 ? (1 ? a) x2 ? a(a ? 2) x ? b(a, b ? R) . 若函数 f ( x) 在区间 (-1,1) 上不单调 , ...
5. 已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? 求 a 的取值范围.


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