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椭圆及其标准方程


椭圆及其标准方程
----- 向 华

教材分析
本节课前面研究了曲线与方程的对应关系,介绍了坐标法和解析几何的基本 思想,以及解析几何的基本问题,即曲线的已知条件求曲线方程;通过方程研究 曲线的性质。 本节研究通过求椭圆的标准方程,使学生掌握推导出这一类轨迹方程的一般 规律和化简的常用的方法。 教材是以椭圆为例,详细的说明在解析几何中怎样利用方程 研究曲线的范 围、对称性、顶点、离心率等几何性质。为今后的教学中,学生在学习双曲线和 抛物线时, 就可以练习使用这些方法,从而在掌握解析几何基本方法上得到锻炼 和提高。

学生情况分析
学生通过对圆锥曲线方程的学习,初步理解求曲线的基本思想和基本步骤, 但是学生的计算能力较弱, 特别是两个根式的化简,给学生推导椭圆的标准方程 带来一定的困难。

教学目标
1、知识与技能目标:理解椭圆定义、掌握标准方程及其推导。 2、过程与方法目标:通过椭圆概念的引入与椭圆方程的推导过程,培养学生 分析探索能力,熟练掌握解决解析几何问题的方法——坐标法。 3、情感、态度和价值观目标:通过椭圆的定义及标准方程的学习,渗透数形 结合的思想,启发学生研究问题,抓住问题的本质,严谨细致思考,规范得出答 案,体会运动变化,对立统一思想。

重点、难点
1.重点:感受建立曲线方程基本过程,掌握椭圆的标准方程及其推导方法。 2.难点:椭圆标准方程的推导(在椭圆方程的推导过程中,用到根式化简, 而这部分知识在初中没有做详细介绍)

教学方法:
“创设情境——自主探究——建立模型——拓展应用”模式来组织教学。

教学过程
教 学 环 节

教 学 内 容

师生互动 通过观察 多媒体课件,教师 提出问题:神州七 号的运行轨迹是什 么? 学生通过观察, 回到问题。

设计意图 借助多媒体生 动、直观的演示, 使学生明确学习椭 圆的重要性和必要 性。同时,激发他 们探求实际问题的 兴趣, 使他们主动、 积极地参与到教学 中来,同时也认识 到数学的重要性。 也为后来学生与老 师共同归纳概 以活动为载 体,让学生在“做” 中学数学,通过画 椭圆,经历知识的 形成过程,积累感 性经验。同时,我 力求改变单一、被 动的学习方式,让 学生成为学习的主 人,给他们提供一 个自主探索学习的 机会,让他们通过 观察、讨论,归纳 概括出椭圆的定 义,这样既获得了 知识,又培养了学 生抽象思维、归纳 概括的能力。 使学生完全成 了学习的主人,由 被动的接受变成主 动的获取。通过讨 论,让学生互相交 流,互相学习,培

创 利用多媒体演示:九大行星 设 的运行轨迹,神州七号的运行轨 情 迹,椭圆的生活中的实例 境 引 入 新 课

思考 1:在作图过程中,有哪些 物体的位置没变?有哪些量没有 变? 动 思考 2:若调节两图钉的相对位 手 置,所得到的图形有何变化? 实 验 指出绳长大于图钉间的距离是画 出椭圆的关键。 归 纳 椭圆的定义:平面内与两个定点 概 F1、F2 的距离之和是常数(大于 念 ∣F1F2∣)的点的轨迹。两个定 点 F1、F2 称为焦点,两焦点之间 的距离称为焦距,记为 2c。若设 M 为椭圆上的任意一点,则∣MF1 ∣+∣MF2∣=2a (1)建立直角坐标系

教师提出问 题: 给你两个图钉, 一根无弹性的细 绳,一张纸板,能 画出椭圆吗?让学 生自己动手画图, 使其探究性学习, 再提出以下问题。

教师提出了问 题就要解决问题, (2)写出动点 M 满足的集合 怎么推导椭圆的标 准方程呢?让学生 这里我启发学生根据椭圆的定 运用上节课所学求 义,写出动点 M 满足的集合,即: 曲线方程的方法

启 发 引 导 推 导 方 程

P={M |│MF1│+│MF2│| =2a} ---坐标法, 去推导 椭圆的方程 如果学生有困难,可以安排进行 小组讨论交流。 教师指导同学 们分组讨论,自主 (3)坐标化 探究用什么方法将 根式化简? 引导学生在设点的基础上,将前 面得到的关系式用坐标表示出 学生会提出两 来。 这里学生不会有太大的困难, 种方案:一、是直 绝大多数学生都能得到方程: 接将根式平方。 二、 是将其中一个根式 平移再平方。这时 教师让学生进行小 组讨论,对比、分 析这两种方法的优 (4)化简 缺点。教师引导, 发现以上同学们提 出的这两种方法都 当 时, 需要进行两次平 方,只是方法二计 , 算较方法一较简 单。此时教师启发 由(1)得 学生大胆设想,寻 找方法,能不能还 有其他的方法可以 避免两次平方,比 如分子有理化,这 样做可以使化简过 程更简单。 整理得 通过观察,学 生容易得出结论, 并理解了换元的合 理性。这样不仅使 方程具有了对称 性,而且使字母 b 也有了明确的几何 意义。 (2) 由(1)+(2)得

养他们的合作意识 和谦虚好学的品 质。在师生互动的 过程中,让学生体 会数学的严谨,使 他们的观察能力、 运算能力、推理能 力得到训练,渗透 数形结合的数学思 想。并感受椭圆方 程、 图形的对称美, 获得成功的喜悦!

之后,我指出:这个方程还不够 简洁对称,让学生观察图形:

提出问题:“你们能从图中找出 表示 a、c、 将方程简化为 的线段吗?

当 x=0 时, 点 M(0,

得 )此时点 教师提出问题 1、 如何推导焦点在 Y 轴上的椭圆的标 准方程呢?” 2、 在学生得出椭圆的 两种形式的标准方 程后, 请学生思考: 如何从椭圆的标准 方程判断椭圆焦点 的位置? 学生自主探究 得出结论。 我通过表格的 形式,让学生对两 种方程进行对比分 析,强化对椭圆方 程的理解。通过填 表, 进行对比总结, 不仅使学生加深了 对椭圆定义和标准 方程的理解,有助 于教学目标的实 现,而且使学生体 会和学习类比的思 想方法,为后边双 曲线、抛物线及其 它知识的学习打下 基础。

M 坐标符合上面方程。

拓 展 引 申

对 比 结论:含 、 的分式的分母谁 分 大,焦点就在那个轴上。 析

例 1:判断下列各椭圆的焦点位 置,并说出焦点坐标、焦距。

以学生自主学 习为主,教师简单 指导。

范 例 例 2 求适合下列条件的椭圆的 标准方程: 教 (1)两个焦点的坐标分别是(-4, 学 0)、(4,0) 椭圆上一点 P 到两焦点距离的和 等于 10; (2)两个焦点的坐标分别是(0, -2)、(0,2) 巩 固 练 习 并且椭圆经过点(-3/2,5/2)。 例 3 已知 B,C 是两个定点,∣BC ∣=8,且三角形 ABC 的周长等于 18, 求这个三角形定点 A 的轨迹。 二、巩固练习 1、课本练习,课本 42 页 2 题 2.课本练习,课本 43 页 1 题 一个定义(椭圆的定义) 归 纳 小 二种方法(待定系数系法、数形 结 结合思想方法) 布 1.必做题:1 教材练习 A 第二题 置 2、思考椭圆应具有哪些性质? 作 业 外切,且与圆 的动圆圆心的轨迹方程。 内切 2. 选做题: 求与圆 二类方程 (焦点在分别在 轴、 轴的上的两个标准方程)

数学概念是要 在运用中得以巩固 的,通过课件展示 例题使学生进一步 理解椭圆的定义, 掌握标准方程,使 知识内化为智能, 并在解题过程中感 受 "数形结合" 思 想的优越性

让学生归纳总 结,这节课学到了 什么知识?掌握了 什么方法?还有什 么问题?教师再概 括

归纳小结由学 生来完成,使他们 及时发现并纠正自 己学习中存在的问 题,培养学生学习 的主动性和良好的 学习习惯。 作业由易到难,分 必做题和选做题, 体现分层教学的思 想,提高学生的学 习积极性,使各层 次的学生都找到各 自的学习区,进一 步促进教学目标.

椭圆及其标准方程 板 一、椭圆的定义 书 图 设 二、标准方程 计 (1)、焦点在 X 轴 (2)、焦点在 Y 轴 例题 2 例题 1 三、标准方程的推导过程 四、典型例题

教学反思
本节课围绕“层层设问——>自主探索——>发现规律——>归纳总结”这一 主线展开,对教材内容进行优化组合,在教学过程中,学生通过观看视频,动手 实践,自己总结出椭圆定义,符合从感性上升为理性的认知规律,而且提升了抽 象概括的能力. 同时在进行推导椭圆的标准方程的过程中, 提高了利用坐标法解 决几何问题的能力及运算能力. 在整节课中,教师作为引导者,利用“神舟 7 号”围绕地球运行轨迹的演示,激发学生学习数学的兴趣,鼓励学生大胆探索, 勇于创新, 提高学生参与数学活动的兴趣和积极性,同时设置了不同层次的知识 面,以适应不同学生的认知过程.增强了学生的自信心。

评课记录表

开课者

向华

课题

椭圆及其标准方程

评课地点

数学组办公室

评课时间

2011.12.8

评课人

张启厚

雷道良

鲁邦杰

朱青

覃东升

田延斌

评课内容 张启厚:本 节 课 以 新 的 课 程 理 念 为 指 导 , 使 教 师 不 再 是 教 学 活 动 的 组 织 者,更成为学习活动的参与者。 雷道良:教师能面向全体学生,激发学生的深层思考和情感投入,鼓励学生大胆 质疑、独立思考,引导学生用自己的语言阐明自己的观点和想法。 鲁邦杰:教学是教师与学生交往互动的过程。教师能有意识地营造民主、平等、 和谐的课堂氛围。 朱 青:教师能按照课程标准和教学内容的体系进行有序教学,完成知识、技能 等基础性目标,同时还要注意学生发展性目标的实现。 覃东升:教师能合理组织学生自主学习、合作探究,对学生的即时评价具有发展 性和激励性。 田延斌: 教师能有效改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背和机械训练的现 状,倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手的学习方式。


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