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江西省南昌市 2015-2016 学年度第一学期期末试卷
(江西师大附中使用)高三理科数学分析 一、整体解读
试卷紧扣教材和考试说明,从考生熟悉的基础知识入手,多角度、多层次地考查了学生的数 学理性思维能力及对数学本质的理解能力,立足基础,先易后难,难易适中,强调应用,不 偏不怪,达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。试卷所涉及的知识内容都在考试大纲 的范围内, 几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容, 体现了 “重点知识重点考查” 的原则。 1.回归教材,注重基础 试卷遵循了考查基础知识为主体的原则, 尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及, 其中 应用题与抗战胜利 70 周年为背景,把爱国主义教育渗透到试题当中,使学生感受到了数学 的育才价值,所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际,操作性强。 2.适当设置题目难度与区分度 选择题第 12 题和填空题第 16 题以及解答题的第 21 题,都是综合性问题,难度较大,学生 不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力, 以及扎实深厚的数学基本功, 而且还要掌握必 须的数学思想与方法,否则在有限的时间内,很难完成。 3.布局合理,考查全面,着重数学方法和数学思想的考察 在选择题,填空题,解答题和三选一问题中,试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考 查。包括函数,三角函数,数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。 这些问题都是以知识为载体, 立意于能力, 让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题 的解答过程之中。

二、亮点试题分析
1. 【试卷原题】 11.已知 A, B, C 是单位圆上互不相同的三点, 且满足 AB ? AC , 则A BA C ? 的最小值为( )
? ?

?

?

1 4 1 B. ? 2 3 C. ? 4 D. ?1
A. ?

【考查方向】 本题主要考查了平面向量的线性运算及向量的数量积等知识, 是向量与三角的 典型综合题。解法较多,属于较难题,得分率较低。 【易错点】1.不能正确用 OA , OB , OC 表示其它向量。 2.找不出 OB 与 OA 的夹角和 OB 与 OC 的夹角的倍数关系。 【解题思路】1.把向量用 OA , OB , OC 表示出来。 2.把求最值问题转化为三角函数的最值求解。 【解析】设单位圆的圆心为 O,由 AB ? AC 得, (OB ? OA)2 ? (OC ? OA)2 ,因为
? ?

?

?

?

?

?

?

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?

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? OA ? OB ? OC ? 1 ,所以有, OB ? OA ? OC ? OA 则 ? ? ? ? ? ? AB ? AC ? (OB ? OA) ? (OC ? OA) ? ? ? ? ? ? ? ? OB ? OC ? OB ? OA ? OA ? OC ? OA2 ? ? ? ? ? OB ? OC ? 2OB ? OA ? 1 ? ? ? ? 设 OB 与 OA 的夹角为 ? ,则 OB 与 OC 的夹角为 2 ? ? ? 1 1 所以, AB ? AC ? cos 2? ? 2cos ? ? 1 ? 2(cos ? ? ) 2 ? 2 2 ? ? 1 即, AB ? AC 的最小值为 ? ,故选 B。 2
【举一反三】 【相似较难试题】 【2015 高考天津,理 14】在等腰梯形 ABCD 中,已知

AB / / DC , AB ? 2, BC ? 1, ?ABC ? 60? ,动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上,且, ??? ? ??? ? ???? 1 ???? ??? ? ??? ? BE ? ? BC , DF ? DC , 则 AE ? AF 的最小值为. 9?

【试题分析】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.运用向量的几何 运算求 AE , AF ,体现了数形结合的基本思想,再运用向量数量积的定义计算 AE ? AF ,体 现了数学定义的运用,再利用基本不等式求最小值,体现了数学知识的综合应用能力.是思 维能力与计算能力的综合体现. 【答案】

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

【解析】因为 DF ?

? 1 ???? ???? 1 ??? DC , DC ? AB , 9? 2 ??? ? ???? ???? 1 ???? ???? 1 ? 9? ???? 1 ? 9? ??? ? CF ? DF ? DC ? DC ? DC ? DC ? AB , 9? 9? 18?

29 18

????

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AE ? AB ? BE ? AB ? ? BC , ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ? 9? ??? ? 1 ? 9? ??? ? ??? ? AF ? AB ? BC ? CF ? AB ? BC ? AB ? AB ? BC , 18? 18? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? 1 ? 9? ??? ? ??? ? ? 1 ? 9? ??? ?2 ??? ?2 ? ? ??? ? 1 ? 9? ? ??? AE ? AF ? AB ? ? BC ? ? AB ? BC ? ? AB ? ? BC ? ? 1 ? ? ? AB ? BC ? 18? ? ? 18? ? 18? ?

?

?

2 1 17 2 1 17 29 1 ? 9? 19 ? 9? ? ?? ?2 ? ?? ? ?4?? ? ? 2 ? 1 ? cos120? ? 9? 2 18 9? 2 18 18 18? 18 ??? ? ??? ? 2 1 2 29 当且仅当 . ? ? 即 ? ? 时 AE ? AF 的最小值为 9? 2 3 18 2. 【试卷原题】20. (本小题满分 12 分)已知抛物线 C 的焦点 F ?1,0 ? ,其准线与 x 轴的
?
交点为 K ,过点 K 的直线 l 与 C 交于 A, B 两点,点 A 关于 x 轴的对称点为 D . (Ⅰ)证明:点 F 在直线 BD 上; (Ⅱ)设 FA? FB ?
? ?

8 ,求 ?BDK 内切圆 M 的方程. 9

【考查方向】本题主要考查抛物线的标准方程和性质,直线与抛物线的位置关系,圆的标准 方程,韦达定理,点到直线距离公式等知识,考查了解析几何设而不求和化归与转化的数学 思想方法,是直线与圆锥曲线的综合问题,属于较难题。 【易错点】1.设直线 l 的方程为 y ? m( x ? 1) ,致使解法不严密。 2.不能正确运用韦达定理,设而不求,使得运算繁琐,最后得不到正确答案。 【解题思路】1.设出点的坐标,列出方程。 2.利用韦达定理,设而不求,简化运算过程。 3.根据圆的性质,巧用点到直线的距离公式求解。 【解析】 (Ⅰ)由题可知 K ? ?1,0 ? ,抛物线的方程为 y 2 ? 4 x 则可设直线 l 的方程为 x ? my ? 1 , A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , D ? x1, ? y1 ? , 故?

? x ? my ? 1 ? y1 ? y2 ? 4m 整理得 y 2 ? 4my ? 4 ? 0 ,故 ? 2 ? y ? 4x ? y1 y2 ? 4
2 ? y2 ? y1 y2 4 ? x ? ? x ? x2 ? 即 y ? y2 ? ? ? x2 ? x1 y2 ? y1 ? 4 ?

则直线 BD 的方程为 y ? y2 ? 令 y ? 0 ,得 x ?

y1 y2 ? 1 ,所以 F ?1,0? 在直线 BD 上. 4 ? y1 ? y2 ? 4m 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 ? ,所以 x1 ? x2 ? ? my1 ?1? ? ? my2 ?1? ? 4m ? 2 , ? y1 y2 ? 4

x1x2 ? ? my1 ?1?? my1 ?1? ? 1
? ?

又 FA ? ? x1 ? 1, y1 ? , FB ? ? x2 ? 1, y2 ?
2

?

?

故 FA ? FB ? ? x1 ? 1?? x2 ? 1? ? y1 y2 ? x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? ? 5 ? 8 ? 4m ,
2 则 8 ? 4m ?

8 4 ,? m ? ? ,故直线 l 的方程为 3x ? 4 y ? 3 ? 0 或 3x ? 4 y ? 3 ? 0 9 3

4 7 , 3 故直线 BD 的方程 3x ? 7 y ? 3 ? 0 或 3x ? 7 y ? 3 ? 0 ,又 KF 为 ?BKD 的平分线, 3 t ? 1 3 t ?1 , 故可设圆心 M ?t ,0?? ?1 ? t ? 1? , M ? t,0? 到直线 l 及 BD 的距离分别为 5 4 y2 ? y1 ? ?

? y2 ? y1 ?

2

? 4 y1 y2 ? ? 16m2 ? 16 ? ?

-------------10 分 由

3 t ?1 5

?

3 t ?1 4

得t ?

3 t ?1 2 1 ? 或 t ? 9 (舍去).故圆 M 的半径为 r ? 9 5 3
2

1? 4 ? 所以圆 M 的方程为 ? x ? ? ? y 2 ? 9? 9 ?
【举一反三】 【相似较难试题】 【2014 高考全国,22】 已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,直线 5 y=4 与 y 轴的交点为 P,与 C 的交点为 Q,且|QF|= |PQ|. 4 (1)求 C 的方程; (2) 过 F 的直线 l 与 C 相交于 A, B 两点, 若 AB 的垂直平分线 l′与 C 相交于 M, N 两点, 且 A,M,B,N 四点在同一圆上,求 l 的方程. 【试题分析】本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定 理,弦长公式的应用,解法及所涉及的知识和上题基本相同. 【答案】 (1)y2=4x. (2)x-y-1=0 或 x+y-1=0. 8 【解析】 (1)设 Q(x0,4),代入 y2=2px,得 x0= , p 8 p p 8 所以|PQ|= ,|QF|= +x0= + . p 2 2 p p 8 5 8 由题设得 + = × ,解得 p=-2(舍去)或 p=2, 2 p 4 p 所以 C 的方程为 y2=4x. (2)依题意知 l 与坐标轴不垂直,故可设 l 的方程为 x=my+1(m≠0). 代入 y2=4x,得 y2-4my-4=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 y1+y2=4m,y1y2=-4. 故线段的 AB 的中点为 D(2m2+1,2m), |AB|= m2+1|y1-y2|=4(m2+1). 又直线 l ′的斜率为-m, 1 所以 l ′的方程为 x=- y+2m2+3. m 将上式代入 y2=4x,

4 并整理得 y2+ y-4(2m2+3)=0. m 设 M(x3,y3),N(x4,y4), 4 则 y3+y4=- ,y3y4=-4(2m2+3). m 故线段 MN 的中点为 E? |MN|=

?2

2? 2+3,- ?, + 2m 2 m? ?m

1 4(m2+1) 2m2+1 1+ 2|y3-y4|= . m m2

由于线段 MN 垂直平分线段 AB, 1 故 A,M,B,N 四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|= |MN|, 2 1 1 从而 |AB|2+|DE|2= |MN|2,即 4 4

? ?2 2 ?2 ? 2 4(m2+1)2+?2m+ ? +? 2+2? = m? ? ?m ?
4(m2+1)2(2m2+1) , m4 化简得 m2-1=0,解得 m=1 或 m=-1, 故所求直线 l 的方程为 x-y-1=0 或 x+y-1=0.

三、考卷比较
本试卷新课标全国卷Ⅰ相比较,基本相似,具体表现在以下方面: 1. 对学生的考查要求上完全一致。 即在考查基础知识的同时,注重考查能力的原则,确立以能力立意命题的指导思想,将 知识、能力和素质融为一体,全面检测考生的数学素养,既考查了考生对中学数学的基础知 识、基本技能的掌握程度,又考查了对数学思想方法和数学本质的理解水平,符合考试大纲 所提倡的“高考应有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度”的原则. 2. 试题结构形式大体相同,即选择题 12 个,每题 5 分,填空题 4 个,每题 5 分,解答 题 8 个(必做题 5 个) ,其中第 22,23,24 题是三选一题。题型分值完全一样。选择题、 填空题考查了复数、三角函数、简易逻辑、概率、解析几何、向量、框图、二项式定理、线 性规划等知识点,大部分属于常规题型,是学生在平时训练中常见的类型.解答题中仍涵盖 了数列,三角函数,立体何,解析几何,导数等重点内容。 3. 在考查范围上略有不同,如本试卷第 3 题,是一个积分题,尽管简单,但全国卷已经不 考查了。

四、本考试卷考点分析表(考点/知识点,难易程度、分值、解题方 式、易错点、是否区分度题)
题号 1 2 3 4 5 6 *考点 复数的基本概念、复数代数形式 的混合运算 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象 变换、函数的图象与图象变化 定积分、定积分的计算 条件语句、选择结构 裂项相消法求和、等差数列与等 比数列的综合 其它不等式的解法、不等式的综 合应用 棱柱、棱锥、棱台的体积、简单 7 空间图形的三视图、由三视图还 原实物图 求二项展开式的指定项或指定 8 项的系数、等差数列的基本运 算、数列与其它知识的综合问题 9 不等式恒成立问题、不等式与函 数的综合问题 双曲线的几何性质、直线与双曲 10 线的位置关系、圆锥曲线中的范 围、最值问题 向量在几何中的应用、平面向量 11 数量积的运算、向量的线性运算 性质及几何意义 指数函数综合题、指数函数单调 12 性的应用、指数型复合函数的性 质及应用 难 5 难 5 难 5 中 5 中 5 运用公式 计算 化归与转 化 综合法 数形结合 代数运算 演绎推理 数形结合 分析法 数形结合 综合法 分析法 90% 0.30 88% 0.35 85% 0.40 70% 0.50 70% 0.45 中 5 数形结合 85% 0.40 *试题难度 易 中 易 中 难 难 *分值 *解题方式 *易错率 5 5 5 5 5 5 直接计算 数形结合 正面解 正面解 归纳推理 数形结合 综合法 25% 65% 30% 55% 85% 80% 区分度 0.85 0.60 0.75 0.50 0.40 0.45

13

导数的几何意义 两角和与差的正弦函数、同角三



5

正面解

30%

0.70

14

角函数基本关系的运用、三角函 数的恒等变换及化简求值



5

正面解 化归与转

70%

0.40

15

古典概型的概率、点与圆的位置 关系、两条直线平行的判定



5

化 代数运算 数形结合 化归与转

85%

0.35

16

向量在几何中的应用、平面向量 的综合题、三角形中的几何计算



5

化 建坐标系 法

90%

0.30

等差数列与等比数列的综合、等 差数列的性质及应用、等比数列 17 的性质及应用、函数 y=Asin(ω x+φ )的应用、两角和与差的正 切函数 离散型随机变量的分布列的性 18 质、概率的应用、离散型随机变 量及其分布列、均值与方差 平面与平面垂直的判定与性质、 19 直线与平面垂直的判定与性质、 线面角和二面角的求法 抛物线的定义及应用、直线、圆 20 及圆锥曲线的交汇问题、圆方程 的综合应用 导数的运算、不等式恒成立问 21 题、函数的最值及其几何意义、 不等式与函数的综合问题 22 23 24 圆的切线的性质定理的证明、与 圆有关的比例线段 直线的参数方程、简单曲线的极 坐标方程 绝对值不等式、不等式的基本性 质 中 中 中 10 10 10 难 12 难 12 中 12 中 12 易 12

直接解法 数形结合 逻辑推理 30% 0.75

分析法 代数计算 数形结合 逻辑推理 数形结合 等价变换 代数运算 分析法 数形结合 演绎推理 数形结合 逻辑推理 数形结合 等价转化 分析法

70%

0.55

70%

0.45

83%

0.40

97%

0.26

70% 70% 70%

0.45 0.40 0.45


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