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一元二次方程实数根的分布


第一课时:一元二次方程实数根的分布
教学目标:使学生掌握一元二次方程实根分布问题的处理,加强求解一
元二次不等式及不等式组,初步训练学生的数形结合能力。

? 教学重点: 利用二次函数的图象, 把一元二次方程根的分布 ?? ? 图
转化

? ? 形问题 ?? ? 代数表达式(不等式组) ??? 参数取
转化
计算

值范围。

教学难点:图形问题转化成代数表达式(不等式组)并求解。
一、问题的提出

若方程 x 2 ? (m ? 2) x ? (m ? 5) ? 0 的两根均为正数, 求 实数 m 的取值范围. 变式 1:两根一正一负时情况怎样? 变式 2:两实根均大于 5 时情况又怎样? 变式 3: 一根大于 2, 另一根小于-1 时情况又怎样?

问题: 能否从二次函数图形角度去观察理解?若能试比较两种方法的 优劣. 方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的实根,如若从二次函数图形角度去观察 理解,其实质就是对应的二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的抛物线 与 x 轴交点的横坐标. 一元二次方程实根分布,实质上就是方程的根与某些确定的常数大小 关系比较. 二、一元二次方程实根分布
1

仿上完成下表
2 一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 实根分布图解

根的 分部

m ? x1 ? x2

x1 ? m ? x2 n ? x1 ? x2 ? m x1 ? n ? m ? x2

图 象
等价 的代 数不 等式 三、练习

1.m 为何实数时, 方程 x 2 ? (m ? 1) x ? 2m ? 0 的两根都 在-1 与 1 之间.
2 2、若方程 x ? (a ? 1) x ? (a ? 3) ? 0 的两根中,一

根小于 0,另一根大于 2,求 a 的取值范围.

四、小结
基本类型与相应方法:
2 设 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,则方程 f ( x) ? 0 的实根分布的基本类型及相

应方法如下表:
2

1.两实根都小于 k

? ??0 ? b ?k ? ?? 2a ? ?af (k ) ? 0
x

2.两实根都大于 k k

k
x

? ??0 ? b ?k ? ?? ? 2a ?af (k ) ? 0
??0 ? ? af (k ) ? 0 1 ? ? ? af ( k ) ? 0 2 ? b ? k1 ? ? ? k2 2a ?

3.两实根都在 (k1 , k 2 ) 内

k1

k2

x

4.两实根都在 (k1 , k 2 ) 外

??
k1 k2
x

? af ( k1 ) ? 0 ?af ( k 2 ) ? 0

5.两根中有且只有一根在

? f (k1 ) ? f (k 2 ) ? 0
k1 k2 x k1

(k1 , k 2 ) 内

k2 x

五作业:
1.关于 x 的一元二次方程 2ax ? 2 x ? 3a ? 2 ? 0 的一根大于 1,另一根小于 1.则 a
2

的值是 (A) a ? 0 或 a ? ?4 (B) a ? ?4 (C) a ? 0





(D) ?4 ? a ? 0

2 2 2.方程 7 x ? (k ? 13) x ? k ? k ? 2 ? 0(k 为常数)有两实根 ? , ? ,且 0 ? ? ? 1 ,

1 ? ? ? 2 ,那么 k 的取值范围是
(A) 3 ? k ? 4 (B) ?2 ? k ? ?1 (C) ?2 ? a ? ?1 或 3 ? k ? 4





(D)无解

3

2 3 . 设 m 是 整 数 , 且 方 程 3x ? m x ? 2 ? 0的 两 根 都 大 于 ?

m?

9 3 而小于 ,则 5 7

.

4.若关于 x 的方程 (1 ? m2 ) x2 ? 2mx ?1 ? 0 的所有根都是比 1 小的正实数,则实数

m 的取值范围是 m =
5. 方程 x2 ? (2m ?1) x ? (m ? 6) ? 0 的一根不大于-1,另一根不小于 1.试求: (1)参数 m 的取值范围; (2)方程两根的平方和的最大值和最小值.

第二课时
一复习
填空:

一元二次方程实数根分布的应用

根的 分部

m ? x1 ? x2

x1 ? m ? x2

n ? x1 ? x2 ? m x1 ? n ? m ? x2

图 象
等价 的代 数不 等式

二、例子
?a ? b ? c ? 例 1 已知实数 a 、 b 、 c 满足 ? a ? b ? c ? 1 ,求 a ? b 的取值范围. ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1 ?

解 由已知得 a ? b ? 1 ? c 且
ab ? (a ? b)2 ? (a 2 ? b2 ) (1 ? c)2 ? (1 ? c 2 ) ? ? c2 ? c . 2 2

4

所以 a , b 是一元二次方程 x2 ? (1 ? c) x ? (c2 ? c) ? 0 的两根. 由 a ? b ? c 问 题 可 转 化 为 方 程 x2 ? (1 ? c) x ? (c2 ? c) ? 0 的 二 根 都 大 于 c . 令
f ( x) ? x2 ? (1 ? c) x ? (c2 ? c) ,有

?1 ? c ? 2 ?c ? 即 ? f (c ) ? 0 ?? ? (c ? 1) 2 ? 4(c 2 ? c) ? 0 ? ?

?1 ? c ? 2c ? 2 ?3c ? 2c ? 0 , ?3c 2 ? 2c ? 1 ? 0 ?

1 4 求得 ? ? c ? 0 ,因此 a ? b ? (1, ) . 3 3

B 例 2 已知点 A(0, 4) 、 (4, 0) .若抛物线 y ? x2 ? mx ? m ? 1 与线段 AB (不

包括端点 A 及 B )有两个不同的交点,则 m 的取值范围是 . (1997 年上海市高中数学竞赛) x y 解: 显然直线 AB 的方程为 ? ? 1(0 ? x ? 4) 即 y ? 4 ? x , 代入抛物 4 4 线方程并整理得 x2 ? (1 ? m) x ? (m ? 3) ? 0 . 设 f ( x) ? x2 ? (1 ? m) x ? (m ? 3) ,问题转化函数 y ? f ( x) 的图象和 x 轴 在 0 到 4 之间有两个不同的交点, 即方程 x2 ? (1 ? m) x ? (m ? 3) ? 0 在 (0, 4) 上有两个不相等的实根. 所以

?? ? ( 1? m 2) ? 4 (? ? ) 0 m 3 ? ? 3 ? f ( 0 ) m? ? 0 ? ? f ( 4 ) 1? m ? ? m) ? 3 ? 6 4( 1? ? ?0 ? m ? 1 ? 4 . ? ? 2 17 解得 m 的取值范围是 3 ? m ? . 3

0

例 3 关于 x 的实系数二次方程 x 2 ? ax ? b ? 0 的两个实数根为 ? , ? ,证 明:①如果 | ? |? 2,| ? |? 2 ,那么 2 | a |? 4 ? b 且 | b |? 4 ;②如果 2 | a |? 4 ? b 且 | b |? 4 ,那么 | ? |? 2,| ? |? 2 .(1993 年全国高考题)
5

证明 ①设 f ( x) ? x2 ? ax ? b ,由已知,函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴在
?2 到 2 之间有两个不同的交点. 所以

?? ? a 2 ? 4b ? 0, ? ??2 ? ? a ? 2, ? 2 ? ? f (?2) ? 4 ? 2a ? b ? 0, ? ? f (2) ? 4 ? 2a ? b ? 0. ?
由(3)、(4)得 ?(4 ? b) ? 2a ? 4 ? b ,所以 2 | a |? 4 ? b .

(1) (2) (3) (4)

由(2),得 | a |? 4 ,结合(1)得 4b ? a 2 ? 16 ,所以 b ? 4 . 将(3)+(4)得
b ? ?4 ,因此 ?4 ? b ? 4 ,即 | b |? 4 .

②由于 2 | a |? 4 ? b 且 | b |? 4 ,可得 b ? 4, 2 | a |? 4 ? 4 ? 8 ,所以 | a |? 4 ,
?2 ? ? a a ? 2 . 即函数 f ( x) 的图象的对称轴 x ? ? 位于两条直线 x ? ?2 , 2 2 x ? 2 之间.

因为 f (?2) ? f (2) ? (4 ? 2a ? b) ? (4 ? 2a ? b) ? 2(4 ? b) ? 0 ,

f (?2) ? f (2) ? (4 ? 2a ? b)(4 ? 2a ? b) ? (4 ? b)2 ? 4a2 ? 0 .
所以 f (?2) ? 0, f (2)? 0. 因此函数 f ( x) 的图象与 x 轴的交点位于-2 和 2 之间,即 | ? |? 2,| ? |? 2 . 作业 1.已知抛物线 y ? x2 ? ( m ? 4) x ? 2(m ? 6), m为实数. m 为何值时,抛 物线与 x 轴的两个交点都位于点 (1, 0) 的右侧? 2.已知 a, b, c 都是正整数,且抛物线 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 与 x 轴有两个 不同的交点 A、B. 值. 若 A、B 到原点的距离都小于 1,求 a ? b ? c 的最小

第三课时 应用提高
6

3 x ? k 在 ?? 1,1?上有实根,求实数 k 的取值范围. 2 3 3 2 2 解法一: 方程 x ? x ? k 在 ?? 1,1?上有实根, 即方程 x ? x ? k ? 0 在 ?? 1,1? 2 2 3 2 上有实根, f ( x ) ? x ? x ? k , 设 则根据函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴的交点的横 2

例 1 若方程 x 2 ?

坐标等价于方程 f ( x) ? 0 的根. (1)两个实根都在 ?? 1,1?上,如图:

??0 ? ? f (?1) ? 0 ? 9 1 ?k?? ; 可得 ? f (1) ? 0 ,解得 ? 16 2 ? b ?? 1 ? ? ?1 2a ?
(2)只有一个实根在 ?? 1,1?上,如图: 可得 f (?1) ? f (1) ? 0 ,解得

-1

1

x

-1

1

x

?

1 5 ? k ? ,综合(1)与(2)可得 2 2

实数 k 的取值范围为 ?? , ? ? 16 2 ? 解法二:方程 x ?
2

?

9 5?

3 x ? k 在 ?? 1,1? 上 有 实 根 , 即 存 在 x ? ?? 1,1? , 使 得 等 式 2 3 3 k ? x 2 ? x 成立,要求 k 的取值范围,也即要求函数 k ? x 2 ? x, x ? ?? 1,1? 的值 2 2
9 3 3? 9 ? x ? ? x ? ? ? , 又因x ? ?? 1,1? ,则 ? ? k ? f (?1) , 16 2 4 ? 16 ?
2

域. 设 k ? f ( x) ? x 2 ? 可得 ?

9 5 ?k? . 16 2
2

3 3 x, 则 y ? k ,则方程 x 2 ? x ? k 在 ?? 1,1? 上有实根,等价 2 2 3 ? 3 ?y ? x2 ? x 2 于方程组 ? 2 在 ?? 1,1? 上有实数解,也即等价于抛物线 y ? x ? 2 x, 与 ? y?k ?
解法三:令 y ? x ? 直线 y ? k 在 ?? 1,1?上有公共点,如图所示
7

y

直观可得: ?

9 5 ?k? . 16 2

5 2
-1 o 1 x

?

9 16

Y 解法四:根据解法三的转化思想,也可将原方 程x ?
2

3 3 x ? k 化成 x 2 ? x ? k ,然后令 2 2 -1 O 1 x 3 9 y ? x 2 , y ? x ? k ,从而将原问题等价转化为 ? 16 2 3 2 抛物线 y ? x 与直线 y ? x ? k 在 ?? 1,1?上有公共 2 点时, “数形结合法”下去求参数 k 的取值范围. 3 根据图形直观可得:当直线 y ? x ? k 过点 (?1,1) , 2 3 3 截距 k 最大;当直线 y ? x ? k 与抛物线 y ? x ? k 相切时,截距 k 最小. 2 2 5 9 9 5 ?k? . 且 k 最大 ? , k 最小 ? ? .故参数的取值范围为 ? 2 16 16 2 a b c ? ? ? 0 ,其中 m 为正数.对于 2 已知实数 a 、 b 、 c 满足 m ? 2 m ?1 m

5 2

f ( x) ? ax2 ? bx ? c .
(1)若 a ? 0 ,求证: af (
m ) ? 0; m ?1

(2) 若 a ? 0 ,证明方程 f ( x) ? 0 在 (0,1) 内有实根. 证明 (1)由
af (
a b c am bm ? ? ? 0 ,求得 c ? ?( ? ) ,所以 m ? 2 m ?1 m m ? 2 m ?1

m m 2 m m 2 m 1 1 ) ? a[a( ) ? b( ) ? c] ? a 2 [( ) ? ] ? a 2 m2 [ ? 2 ] 2 m ?1 m ?1 m ?1 m ?1 m?2 (m ? 1) m ? 2m

又 由 (m ? 1)2 ? m2 ? 2m ? 0 , 因 此
af ( m ) .0 ? m ?1

1 1 ? 2 ?0 , 故 2 (m ? 1) m ? 2m

(2)要证明方程 f ( x) ? 0 在 (0,1) 内有实根,只须证明
8

? ?af ( 0 ) 0 , ?af ( 1 ) 0 , ? ? ? f ( 0 ? f ( ?) 0 ) 1 或 ?? ? 0, ? ?0 ? ? b ? 1. ? 2a ? m ? 1(m ? 0) , 结 合 第 (1) 题 但 两 者 都 不 易 证 明 . 由 0? m ?1 m af ( ) ? 0 ,对 a 进行讨论: m ?1 m ) ? 0 . 只要证明 f (0) ? c 和 f (1) ? a ? b ? c 中有 当 a ? 0 时,有 f ( m ?1 一个大于零即可.
若 c ? 0 ,则 f (0) ? 0 成立,问题得证; 若 c ? 0 ,由
a b c a(m ? 1) c(m ? 1) ? ? ? 0 求得 b ? ? ? ,所以 m ? 2 m ?1 m m?2 m a(m ? 1 ) c m ? 1 ) ( a c f (1) a?b?c ? a? ? ? ?c ? ? . m?2 m m?2 m

由 a ? 0, m ? 0, c ? 0 ,知 f (1) ? 0 ,命题得证. 故当 a ? 0 时,方程 f ( x) ? 0 在 (0,1) 内有实根. 同理可证,当 a ? 0 时,方程 f ( x) ? 0 在 (0,1) 内也有根.

9

10


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