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2013-2014学年度仁怀市第一中学第一学期期末(高二数学)综合检测试卷一参考答案


2013-2014 学年度仁怀市第一中学第一学期期末 (高二数学)综合检测试卷一参考答案
1. B 【 解 析 】 因 为 an ? n2 ? an 的 对 称 轴 为 n ? ?

?a 3 ? ,? a ? ?3 . 2 2

a ,因为此数列为递增数列,所以 2

2.C 【解析】因为所给等式左边的底数依次分别为 1,2;1,2,3;1,2,3,4; 右边的底数依次分别为 3,6,10, (注意:这里 3+3=6,6+4=10) , ∴由底数内在规律可知:第五个等式左边的底数为 1,2,3,4,5,6, 右边的底数为 10+5+6=21.又左边为立方和,右边为平方的形式, 3 3 3 3 3 3 2 故有 1 +2 +3 +4 +5 +6 =21 .故选 C. 3.B 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 , 0 ? a ?1 , 所 以 ,

1 1 的 ? 1 ? a , 不 等 式 ( x ? a) ( x? ) ? 0 解 集 为 a a

1 , {x | x ? 或 x? a} a 故选 B .
考点:一元二次不等式解法. 4.D 【解析】 试题分析:A、B、C 成等差数列,所以 B ? 60? .由

a cos B 及正弦定理得: ? b cos A

sin A cos B 3 ? ? sin 2 A ? sin 2 B ? .? 2 B ? 60? 或 120? . 所 以 B ? 30? 或 60? , sin B cos A 2
C ? 60? 或 90? .选 D
考点:1、等差数列;2、正弦定理;3、三角函数值的计算. 5.C 【解析】 试题分析:三个数 2, m,8 构成一个等比数列,所以 m ? 2 ? 8 ? 16 ? m ? ?4 ,当 m ? 4 时,
2

曲线为椭圆,离心率为 e ?

c 4?2 2 ? ? ,当 m ? ?4 时曲线为双曲线,此时离心率为 a 2 2

e?

c ? a

2 2?4 ? 3 ,所以离心率为 或 3 2 2

考点:等比数列与圆锥曲线方程性质

第 1 页 共 1 页

点评:本题中等比中项 m 有两个值,对应的曲线分别为椭圆和双曲线,椭圆中 a ? b ? c
2 2

2

双曲线中 c ? a ? b
2 2

2

6.C 【解析】

g , ? 试 题 分 析 : ?1 ? l o g an ? l o 3 an? 1? an 1? 3

an?, a? 是 公 比 为 3 的 等 比 数 列 , 由 3 ? n
3 5

a2 ? a 4 ? a 6 ? 9 可得 a5 ? a7 ? a9 ? (a2 ? a4 ? a6 ) ? 3 ? 3 ,

所以 log 1 (a5 ? a7 ? a9 ) ? log 1 35 ? ?5.
3

3

考点:本小题主要考查等比数列的判定,性质和应用. 点评: 判定一个数列是等比数列主要还是利用等比数列的定义, 而通项公式的灵活运用是简 单求解此题的关键. 7.A

? x? y?2?0 y ? 【解析】解:因为设实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 5 ? 0 ,则 u ? 表示为原点与区域内点连线的 x ? y?2?0 ?
斜率的范围,那么可知过点(4,2) (1,3)得到取值范围是 ? , 2 ? ,选 A 3 8.C 【解析】 试题分析:因为 a , b , c 成等比数列,所以 b 2 ? ac . 又 a 2 ? c 2 ? ac ? bc ,∴ b2 ? c 2 ? a 2 ? bc .

?1 ?

? ?

b 2 ? c 2 ? a 2 bc 1 ? ? ,那么 ?A ? 60? . 在 ? ABC 中,由余弦定理得: cos A ? 2bc 2bc 2
由正弦定理得 sin B ?

b sin A ,又因为 b 2 ? ac , ?A ? 60? , a

所以

c ac 1 2 3 . ? 2 ? ? b sin B b sin 60? sin 60? 3

考点:1、等比数列的性质;2、正弦定理和余弦定理的应用. 9.D 【解析】 试题分析:根据特称命题和全称命题的关系,可得命题 p : ?x0 ? R , x 0 ? 2 x0 ? 2 ? 0 的
2

否定为 ?x0 ? R, x0 ? 2 x0 ? 2 ? 0 ,选 D.
2

第 2 页 共 2 页

考点:特称命题和全称命题的关系 10.C 【解析】设 P 点坐标为(m,n),M 点坐标为(x,y);则有条件得:m+3=2x,n+0=2y,所以 m=2x-3,n=2y.又点 P 在圆 x ? y ? 1 上运动,所以 m2 ? n 2 ? 1,于是有
2 2

(2 x ? 3) 2 ? (2 y) 2 ? 1, ? (2 x ? 3) 2 ? 4 y 2 ? 1 。故选 C
11.A 【解析】 试题分析:∵当函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2 在区间 [3, ??) 内单调递增时,对称轴 x ? a ? 3 ,
2

∴“ a ? 3 ”是“函数 f ( x) ? x ? 2 ax ? 2在区间 [3, ?? ) 内单调递增”的充分不必要条
2

件. 考点:1.充分必要条件;2.二次函数的单调性. 12.B 【 解 析 】 方 程 ax 2 ? by 2 ? ab 可 化 为

x2 y2 ? ? 1 , 方 程 ax ? by ? c ? 0 可 化 为 b a

a c a c x ? ;由 A 可知 b ? 0, a ? 0 ,则直线 y ? ? x ? 应过第一、三象限,排除 b b b b a c A;由 B 可知 a ? 0, b ? 0 ,则直线 y ? ? x ? 应过第一、二、三象限.故选 B. b b y??
13. 4 x ? 9 y - 13 ? 0 【解析】 试 题 分 析 : 设 A( x1 , x2 ), B( x2 , y 2 ) , 分 别 代 入 椭 圆

x2 y 2 ? ?1 的 方 程 中 , 可 得 : 9 4

x1 y ? 1 ? 1, ① 9 4
2 2 ( x ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y ? y 2 )( y1 ? y 2) x2 y ?? 1 ,因为点 M ? 2 ? 1, ②,由①-②可得, 1 9 4 9 4

2

2

是弦 AB 的中点,∴ x1 ? x2 ? 2, y1 ? y 2 ? 2 ,∴ (1,1) ,所以直线 AB 的方程为

y1 ? y 2 4 ? ? = k ,又因为直线过点 M x1 ? x 2 9

4 y ? 1 ? ? (x ? 1) ,即 4 x ? 9 y - 13 ? 0 . 9
考点:1、直线和椭圆的位置关系;2、直线的方程;3、弦的中点问题. 14. a ?

1 5

【解析】

第 3 页 共 3 页

试题分析:

1 1 1 1 x 1 ? x ? 0 ? x ? ? 2 ? x ? ? 3 ? 5? ? , ? 1 x x x ? 3x ? 1 x ? 1 ? 3 x? ?3 5 x x 1 1 1 的最大值为 ? a ? 1 5 5 x? ?3 x
2

考点:不等式恒成立及均值不等式 点评:利用均值不等式 a ? b ? 2 ab 求最值时需注意: a, b 都为正数,当乘积是定值时和 有最值,当和为定值时乘积有最值,最后要验证等号成立的条件是否满足 15. n 2 【解析】 试 题 分 析 : 令 m ? 1 , 由 am? n ? a m ? a n ? m n an?1 ? an ? a1 ? 2n , 又 a1 ? 1 , 所 以 得 2
an?1 ? an ? 2n ? 1 .因此

a2 ? a1 ? 3 a3 ? a2 ? 5 a4 ? a3 ? 7

????
an ? an?1 ? 2n ? 1(n ? 2)

上述 n ? 1 个式子累加得: an ? a1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? (2n ? 1) ?
2

n ?1 (3 ? 2n ? 1) ? n2 ? 1,(n ? 2) , 2
2

a1 ? 1 ,所以 an ? n , (n ? 2) ,又 a1 ? 1 满足该式.所以数列 ?an ? 的通项公式 an ? n .

考点:累加法求数列的通项公式、等差数列的求和公式 16. 3 【解析】

? 2 2 ? sin ?BAC ? sin(?BAD ? ) ? cos ?BAD ? 试题分析: 2 3 , ? 根据余弦定理可得
2 2 (3 2) 2 ? 32 ? BD 2 AB 2 ? AD 2 ? BD 2 ? ? ? BD ? 3 . cos ?BAD ? 3 2 AB ? AD 2?3 2 ?3 ,
考点:1.余弦定理;2.诱导公式
n 17. (I) an ? 2 ? 1 ; (II) Tn ?

n . n ?1

【解析】

第 4 页 共 4 页

试题分析: (I)先由已知变形得

an ?1 ? 1 ? 2 ? n ? N *? ,从而数列 {an ? 1} 是等比数列,进 an ? 1

而可求 an ; (Ⅱ)由(I)及已知可先得 特征选择裂项相消法求和.

1 1 1 1 ,再根据和式的结构 ? ? ? bn bn ?1 n(n ? 1) n n ? 1

试题解析: (I)证明: an ?1 ? 1 ? ? 2an ? 1? ? 1 ? 2 ? an ? 1? 2? 于是

an ?1 ? 1 ? 2 ? n ? N *? an ? 1

即数列 {an ? 1} 是以 2 为公比的等比数列. 因为 an ? 1 ? ? a1 ? 1? ? 2 所以 an ? 2 n ? 1
n ?1

3?

? 2n

6? 8?

(II) bn ? log 2 (an ? 1) ? log 2 [(2n ? 1) ? 1] ? n

1 1 1 1 ? ? ? bn bn ?1 n(n ? 1) n n ? 1
所以 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn

10?
1 ? 1 ? 1? ?1 1? ?1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? n ?1 ? 2? ? 2 3? ? n n ?1 ?

?

n 12? n ?1 2? . (2) ?ABC 的面积为 3 3 . 3

考点:1、数列通项公式的求法;2、数列前 n 项和的求法. 18. (1) B ? 【解析】 试题分析: (1)应用正弦定理,将 3c sin B ? b cosC ? 2c ? a 化为 3 sin B ? cos B ? 2 , 即得

? 2? . sin( B ? ) ? 1, B ? 6 3
(2)根据 a ? c ? 2 6 , b ? 2 3 ,应用余弦定理可得到 ac ? 12 ,利用三角形面积公式得 到 ?ABC 的面积为 3 3 . 试题解析: (1)由正弦定理: 3 sin B ? cos B ? 2 3分

第 5 页 共 5 页

? 2? . sin( B ? ) ? 1, B ? 6 3

6分

(2)因为, a ? c ? 2 6 , b ? 2 3 ,所以,应用余弦定理可得 ac ? 12 ,

?ABC 的面积为 3 3 .
考点:正弦定理、余弦定理的应用,三角形面积公式. 19. (1) 2 ? x ? 3 (2) 1 ? a ? 2 【解析】 试题分析:解: (1)当 a =1 时, p : 1 ? x ? 3 2 分

q : 2 ? x ? 3 4 分∵ p ? q 为真
∴ x 满足 ?

?2 ? x ? 3 ,即 2 ? x ? 3 6 分 ?1 ? x ? 3

(2)由 ?p 是 ?q 的充分不必要条件知, q 是 p 的充分不必要条件 8 分 由 p 知,即 A= ? x | a ? x ? 3a, a ? 0? 由 q 知,B= ? x | 2 ? x ? 3? 10 分 ∴B ? A 所以, a ? 2 且 3 ? 3a 即实数 a 的取值范围是 1 ? a ? 2 12 分 考点:充分条件,命题真假 点评:解决的关键是能利用集合的关系来判定充分条件,以及结合复合命题的真值得到 x 的范围。属于基础题。

y2 1 ? 1; 20. (1) x ? (2) ? . 4 2
2

【解析】 试题分析: (1)根据椭圆的定义,可判断点的轨迹为椭圆,再根据椭圆的基本量,容易写出 椭圆的方程,求曲线的方程一般可设动点坐标为 ( x, y ) ,然后去探求动点坐标满足的方程, 但如果根据特殊曲线的定义,先行判断出曲线的形状(如椭圆,圆,抛物线等),则可直接写 出其方程; (2)一般地,涉及直线与二次曲线相交的问题,则可联立方程组,或解出交点坐 标,或设而不求,利用一元二次方程根与系数的关系建立关系求出参数的值(取值范围),本

, 题可设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,根据 OA ? OB ,及 A(x1, y1), B( x 2 y 2) 满足椭圆的方程,利用
一元二次方程根与系数的关系消去坐标即得. 试题解析:(1)设 P( x, y ) ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0, ? 3), (0, 3) 为焦点, 长半轴为 2 的椭圆, 2分

??? ?

??? ?

第 6 页 共 6 页

它的短半轴 b ?

2 2 ? ( 3) 2 ? 1 ,
2

4分

故曲线 C 的方程为 x ?

y2 ? 1. 4

6分

? 2 y2 ? 1, ?x ? (2)证明:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,其坐标满足 ? 消去 y 并整理,得 4 ? y ? kx ? 1. ?

(k 2 ? 4) x 2 ? 2kx ? 3 ? 0
故 x1 ? x2 ? ?

8分 10 分

??? ??? ? ? OA ? OB 即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,而 y1 y2 ? (kx1 ? 1) ? (kx2 ? 1) ? k 2 x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ,
于是 x1 x2 ? y1 y2 ? ? 解得 k ? ?

2k 3 . , x1 x2 ? ? 2 k ?4 k ?4
2

3 3k 2 2k 2 ? 2 ? 2 ?1 ? 0 , k2 ? 4 k ? 4 k ? 4
13 分

1 2

考点:椭圆的方程,直线与椭圆的位置关系. 21. (1) an ? 2 ? ( )
2

1 3

n ?1

(2) Tn ? n ? 7n ? 3 ? 【解析】

1 3n?1

试题分析: (1) S1 , 2 S 2 ,3S3 成等差数列 ∴ 4S 2 ? S1 ? 3S3

4(2 ? 2q) ? 2 ? ?(2 ? 2q ? 2q 2 )

q?0

∴q ?

1 3
6分

∴ an ? 2 ? ( )

1 3

n ?1

(II) bn ? an ? ?6 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 8 ∴ bn ? (2n ? 8) ? an

?an ? 的前 n 项和为 Sn ?

2(1 ?

1 ) 3n ? 3 ? 1 1 3n ?1 1? 3

第 7 页 共 7 页

n(?6 ? 2n ? 8) ? n 2 ? 7n 2 1 2 ∴数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ? n ? 7n ? 3 ? n ?1 12 分 3 ? 数列 ?2n ? 8? 的前 n 项和为 Sn ?
考点:等差数列和等比数列 点评:主要是考查了等差数列和等比数列的通项公式以及求和的运用,属于中档题。 22. (I) 【解析】 试题分析: 找出题中的相等关系, (I) 列出

x2 3 (II) . ? y2 ? 1 ; 2 4

( x ? 3) 2 ? y 2 3 ? 化简即得曲线 C 的方程; 4 2 |x? | 3

(II)先用弦长公式得 AB ,由点 O 到直线 AB 距离公式得 ?AOB 的高,列出 ?AOB 面 积表达式,最后选择合适的方法求 ?AOB 面积的最大值. 试题解析: (I)设 d 是点 M 到直线 l : x ?

4 的距离,根据题意,点 M 的轨迹就是集合 3

P ? {M |

| MF | 3 ? } d 2

1?

由此得

( x ? 3) 2 ? y 2 3 ? 4 2 |x? | 3
2 2

2?

将上式两边平方,并化简得 x ? 4 y ? 4 4?

x2 ? y2 ? 1 即 4
所以曲线 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 4

5?

? x2 2 ? ? y ? 1, 2 2 (II)由 ? 4 得 ( my ? 1) ? 4 y ? 4 , ? x ? my ? 1, ?
即 (m ? 4) y ? 2my ? 3 ? 0 . 6?
2 2

记 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,

第 8 页 共 8 页

则 y1 ? y2 ? ?

2m 3 . , y1 ? y2 ? ? 2 2 m ?4 m ?4
2 2

7?
2m 2 3 ) ? 4( ? 2 ) 2 m ?4 m ?4

2 于是 | AB |? 1 ? m ? ( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 ? 1 ? m ? ( ?

?

4 1 ? m2 ? m 2 ? 3 9? 2 m ?4
1 m2 ? 1
, 10?

又原点 O 到直线 AB 的距离 d ?

所 以 S ?AOB ?

1 2 m2 ? 3 ? | AB | ?d ? ? 2 4 ? m2

?

m2 ? 3 ?

?

2 1 m2 ? 3

?

2 3? 1 3

?

3 (当 2

m ? 0 时取等号)
所以 ?AOB 面积的最大值为

3 . 12? 2

考点:1、曲线方程求法;2、直线与圆锥曲线位置关系;3、解析几何最值问题.

第 9 页 共 9 页


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