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2014年高三模拟考试文科数学(4)


2014 年高三模拟考试文科数学(4)
一、选择题: 1. 0 ? x ? 1 是 0 ? x ? 1 的
2

(A)充分但不必要条件 (B)必要但不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 2. 一容量为 20 的样本,其频率分布直方图如右, 则样本在 [30,60 ) 上的概率为 (A)0.75 (C)0.8 (B)0.65 (D)0.9

3. 如右图,一个空间几何体正视图与左视图为全等的 等边三角形,俯视图为一个半径为 1 的圆及其圆心, 那么这个几何体的全面积为 (A) ? (B) 3? (C) 2? (D) ? ? 3
正视图 左视图

x 4.函数 f ( x) ? ? a x ( a ? 1) 的图象的大致形状是 | x| y y y

俯视图

y

O

(A)

x

O (B)
(B)

x

O (C)
(C)

x

O

(D)

x

(A)

(D)

5.点(3,1)和点 (?4, 6) 在直线 3x ? 2 y ? a ? 0 两侧,则 a 的范围是 (A) a ? ?7或a ? 24 (B) ?7 ? a ? 24 (C) a ? ?7或a ? 24 (D) ?24 ? a ? 7 6. y ? sin x ? 2sin x cos x ? 3cos x 的最小正周期和最小值为
2 2

(A) ? ,0 (C) ? , 2 ? 2

(B)2 ? ,0 (D)2 ? , 2 ? 2
2 2

7.直线 l : x ? 3 y ? 0 与圆 C : x ? y ? 4 y ? 0 交于 A、B 二点,则 ?ABC 的面积为

(A)3

(B)

3 3

(C) 2 3

(D) 3

8. 在下面的程序框图中,输出的数 s ?
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开始
输入 x=1,s=0

(A)25 (B)30 (C)55 x=x+1 s=s+x2


(D)91

x≤5 否 输出 s

结束

(0, ) ? ,则 OBOC 、 9.点A(3,, 0) B(0,, 3) C (cos ?,sin? ),O(0,0) ,若 | OA ?OC | ? 13 ,? ?
夹角为 (A)

??? ? ????

? ? ? ?? ? ? ?

? 2

(B)

? 4

(C)

? 3

(D)

? 6

10.对任意实数 a、b ,定义运算 为: a ? b ? ? “?” 值域是( (A) [0, ??) 二、填空题: 11. y ? x cos x 在 x ? ) (B) (??,0]

?a , a ? b ,则 f ( x) ? [log 1 (3x ? 2)] ? (log 2 x) 的 ?b , a ? b 2

(C) (log 2

2 ,1) 3

(D) (log 2

2 , ??) 3

?
3

处的导数值是___________.

12.已知 f (x)是定义在实数集 R 上的函数,且满足 f ( x ? 2) ? ? 则 f (2007)=___________. 13.已知等式 cos ? ? cos 2? ?

1 1 , f (1) ? ? , 8 f ( x)

sin 4? sin 8? , cos ? ? cos 2? ? cos 4? ? ,……,请你 4sin ? 8sin ?

写出一个具有一般性的等式,使你写出的等式包含了已知等式(不要求证明) ,那么这个 等式是:____________________________________________. 选做题:从以下 2 个小题中选做 1 题(只能做其中 1 题,做 2 个的,按得分最低的一道记分) . 14. (几何证明选讲选做题)从不在⊙O 上的一点 A 作直线交⊙O 于 B、C 两点,且 AB· AC=60, OA=8,则⊙O 的半径等于____________.

高三数学(文科)第

2 4 页) 页(共

2 ? ?x ? t 15. (坐标系与参数方程选做题)点 P(-3,0)到曲线 ? (其中参数t ? R) 上的点的最短距离为 ? y ? 2 t ?

__________. 三、解答题: 16. (本小题满分 12 分)一个口袋中装有大小相同的 2 个白球和 3 个黑球.(1)若从口袋中随机地摸 出一个球,求恰好是白球的概率;(2)若从口袋中一次随机地摸出两个球,求恰好都是白球的概率. 17. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,三边长分别为 AB ? 7, BC ? 5, CA ? 6 .

A?C A?C ? cos 2 )sin 2 B 2 2 的值. cos A cos B cos C 18. (本小题满分 14 分) 如图, 在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 (sin ??? ? ??? ? (1)求 BA?BC 的值; (2)求
2

D1 A1 E B1

C1

中,E 、F 分别为 DD1 、DB 的中点. (1) 求证:EF //平面 BC1 D1 ; (2)求证: EF ? B1C ; (3)求三棱锥 VB1 ? EFC 的体积.

D F A B

C

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? 2bx 2 ? 3cx (a, b, c ? R)

2 的图象关于原点对称,且当 x ? 1时, f ( x)取极小值- . (1)求 a,b,c 的值; 3

, 1 ? 时,图象上是否存在两点,使得在这两点处的切线互相垂直?证明你的结论. (2)当 x ? ?? 1
3 ,椭圆上任意一点到 2 两个焦点距离之和为 4.(1)求椭圆标准方程;(2)设椭圆长轴的左端点为 A , P 是椭圆上且位于第一 ??? ? ??? ? ??? ?2 象限的任意一点, AB // OP ,点 B 在椭圆上,R 为直线 AB 与 y 轴的交点,证明: AB?AR ? 2OP .
20. (本小题满分 14 分)已知中心在原点、焦点在 x 轴上的椭圆的离心率是 21.(本小题满分 14 分)已知数列 ?a n ?的每一项都是正数,满足 a1 ? 2, 且 a n ?1 ? a n a n ?1 ? 2a n ? 0 ;
2 2

等差数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn , b2 ? 3 , T5 ? 25 . (1)求数列 ?a n ?、 ?bn ? 的通项公式; (2)比较

b b b 1 1 1 ? ? ? ? 与 2 的大小; (3)若 1 ? 2 ? ? ? n ? c 恒成立,求整数 c 的最小值. a1 a 2 an T1 T2 Tn

高三数学(文科)第

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2014 年高三模拟考试文科数学(4) 参考答案及评分标准
题号 答案 1 A 2 B 3 B 4 B 5 C 6 B 7 C 8 D 9 D 10 B

第二部分

非选择题(共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 个小题,其中第 11-13 题为必做题,每题 5 分,共 15 分;第 14-15 题为选 做题,从中选做 1 题,每题 5 分,共 5 分。

sin 2n ? 1 3 n ?1 11. ? (n 换成其它字母也对) ? 12.8 13. cos ? ? cos 2? ? cos 2 ? ? n 2 6 2 sin ?
选做题:从以下两个小题中选做一题(只能做其中一题,做两个的,按得分最低的一道记分) . 14. (几何证明选讲选做题)2 或 2 31 15. (坐标系与参数方程选做题)3 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步聚或推证过程. 16. (本小题满分 12 分)一个口袋中装有大小相同的 2 个白球和 3 个黑球.(1)若从口袋中随机地摸 出一个球,求恰好是白球的概率;(2)若从口袋中一次随机地摸出两个球,求恰好都是白球的概率. 解: (1)用 a、b、c、d、e 分别表示五个球,其中 a、b 表示两个白球,c、d、e 表示三个黑球.现 从口袋中随机地摸出一个球,其基本事件有以下五种: {a},{b},{c},{d},{e};…(2 分) 设恰好是白球的事件为 A,其中 A 包括两个基本事件:{a},{b}.…(4 分) A 事件的概率 P(A)=

2 .…(5 分) 5 2 .…(6 分) 5

答:若从口袋中随机地摸出一个球,恰好是白球的概率为

(2)若从口袋中一次随机地摸出两个球,其基本事件有以下十种: {a,b},{a,c},{a,d},{a,e},{b,c},{b,d},{b,d},{c,d},{c,e},{d,e}; …(8 分) 设恰好都是白球的事件为 B,它包括的基本事件有一个:{a,b}.…(10 分) B 事件的概率 P(B)=

1 .…(11 分) 10 1 .…(12 分) 10

答:若从口袋中一次随机地摸出两个球,恰好都是白球的概率为

17. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,三边长分别为 AB ? 7, BC ? 5, CA ? 6 .

(sin ??? ? ??? ? (1)求 BA?BC 的值; (2)求
??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

2

A?C A?C ? cos 2 )sin 2 B 2 2 的值. cos A cos B cos C
…(1 分)

cos B 解: (1) BA?BC ? BA ?BC ?

高三数学(文科)第

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cos B ?

AB 2 ? BC 2 ? AC 2 49 ? 25 ? 36 19 …(3 分) ? ? 2 AB?BC 2?7?5 35

??? ? ??? ? 19 ? BA?BC ? 7 ? 5 ? cos B ? 7 ? 5 ? ? 19 …(5 分) 35
(2).? B 为三角形内角, B ? (0, ? ),sin B ? 0

?s i n B?

? 1

c 2oB s?

5 4? 1 6 ? 35

12 6 …(6 分) 35

A?C A?C ? cos 2 ) 2 2 ??????? 7' ?原式 ? cos A cos B cos C 1 ? cos( A ? C ) 1 ? cos( A ? C ) 2sin B[ ? )] 2 2 ? ???????9' cos A cos C sin B[? cos( A ? C ) ? cos( A ? C )] = …(10 分) cos A cos C sin B(cos A cos C ? sin A sin C ? cos A cos C ? sin A sin C ) ?? cos A cos C 2sin B cos B(sin 2
? ?2sin B …(11 分) ? ?
24 6 …(12 分) 35

18.(本小题满分 14 分) 如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,

E 、 F 分别为 DD1 、 DB 的中点. (1)求证: EF //平面 BC1 D1 ;
(2)求证: EF ? B1C ; (3)求三棱锥 VB1 ? EFC 的体积. 解: (1)连接 B1 D ,已知 E 、 F 分别为 DD1 、 DB 的中点. EF 是三角形 BD1D 的中位线,?EF//BD1;…(3 分) 又 EF ? 面BD1C1 , BD1 ? 面BD1C1 ,?EF//面 BD1C1…(5 分) (2)连接 B1 D 、BC1,
A A1

D1 B1 E

C1

D F B

C

正方体中,D1C1?面 BCC1B1,BC1?面 BCC1B1,所以 D1C1? B1C…(6 分) 在正方形 BCCB 中,两对角线互相垂直,即 BC1?B1C,…(7 分) D1C1 、BC1?面 BC1D1,所以 B1C?面 BC1D1…(8 分) BD1?面 BC1D1,所以有 B1C? BD1,…(9 分) 在(1)已证:EF//BD1,所以 EF?B1C.…(10 分)
高三数学(文科)第 5 4 页) 页(共

(3)连接 B1D1,在各直角三角形中,计算得: EB1=3,EF= 3 ,FB1= 6 ,FC= 2 ,B1C= 2 2 , …(12 分)

?VB1 ? EFC ?

1 1 B1F ? FC ? EF ? ? 2 ? 3 ? 6 ? 1 …(14 分) 6 6

19. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ax3 ? 2bx 2 ? 3cx (a, b, c ? R) 的图象关于原点对称,且当

2 (1)求 a,b,c 的值; x ? 1时, f ( x)取极小值- . 3
(2)当 x ? ?? 1 , 1 ? 时,图象上是否存在两点,使得在这两点处的切线互相垂直?证明你的结论. 解: (1)依题意,对任意实数 x 都有: f (? x) ? ? f ( x) , 可得: f (0) ? 0 ,b=0;…(2 分) ? f ( x) ? ax ? 3cx, f ( x) ? 3ax ? 3c …(3 分)
3 / 2

又当 x ? 1时, f ( x)取极小值- 2 , 3 所以: f ?(1) ? 3a ? 3c ? 0 , f (1) ? a ? 3c ? ? 解得: a ?

2 .…(5 分) 3

1 1 1 1 , c ? ? ,故 a ? , b ? 0, c ? ? .…(6 分) 3 3 3 3

(2)当 x ? ?? 1 , 1 ? 时,图象上不存在两点,使得在这两点处的切线互相垂直. 假设当 x ? ?? 1 , 1 ? 时,图象存在两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,使得在这两点处的切线互相垂直.设这 两条切线的斜率分别为 k 1 和 k 2 ,则有 k1k 2 ? ?1 .…(8 分) 则由 f ( x) ? x ? 1知这两点处的切线的斜率分别为: k1 ? x1 ? 1, k2 ? x2 ? 1 ,且
/ 2
2 2

k1k2 ? ( x12 ? 1)( x2 2 ? 1) ? ?1?? (?) …(10 分)

? x1 , x2 ? ? ?1, 1 ? , ? x12 ? 1 ? 0, x2 2 ? 1 ? 0,
这与(*)相矛盾,故假设不成立.…(13 分)

? ( x12 ? 1)( x2 2 ? 1) ? 0

, 1 ? 时,图象上不存在两点,使得在这两点处的切线互相垂直.…(14 分) 所以当 x ? ?? 1
20. (本小题满分 14 分)已知中心在原点、焦点在 x 轴上的椭圆的离心率是

3 ,椭圆上任意一点到 2

两个焦点距离之和为 4.(1)求椭圆标准方程;(2)设椭圆长轴的左端点为 A , P 是 椭圆上且位于第一象限的任意一点, AB // OP ,点 B 在椭圆上,R 为直线 AB 与 y 轴的交点,证明:

??? ? ??? ? ??? ?2 AB?AR ? 2OP .

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解: (1)根据题设,可设椭圆标准方程为:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) …(1分) a 2 b2

则离心率 e ?

c 3 2 ? , c ? a 2 ? b 2 (c ? 0) ,由椭圆定义,得 2a ? 4 …(2分) a 2

解得 a ? 2 , b ? 1, c ? 3 …(3分)

x2 所以椭圆标准方程为: ? y 2 ? 1 …(4分) 4
(2)由题意得 A(?2, 0) ,设 P( x1 , y1 ) , B( x1 , y1 ) , R (0, y3 ) ,其中 x1 ? 0, y1 ? 0 ,

点P和点B都在椭圆上,则有

x12 ? y12 ? 1 , (1) 4
2 x2 2 ? y2 ?1 4

(2) …(5 分)

由 AB // OP ,有 kOP ?

y1 ? 0 y ?0 y y2 ? k AB ? 2 ,即 1 ? , (3)…(6分) x1 ? 0 x2 ? (?2) x1 x2 ? 2

由 x1 ? 0, y1 ? 0 可知 x2 ? ?2 . AB直线方程为: y ? 0 ? k AB [ x ? (?2)], 即y ?

y2 ? ( x ? 2) x2 ? 2

把 R (0, y3 ) 代入,得 y3 ?

2 y2 x2 ? 2
??? ?

…(7分)

所以有 AB ? ( x2 ? 2, y2 ) , OP ? ( x2 , y2 ) , AR ? (2,

??? ?

??? ?

2 y2 ), x2 ? 2

可得: AB ?AR ? 2( x2 ? 2) ?

??? ? ??? ?

2 2 y2 x2 ? 2

(4)…(8分)

??? ?2 2 OP ? 2( x12 ? y12 )
由(1) , (2) , (3)得: x1 ? x2 ? 2
2

(5)…(9分) (6)…(10分)
2

由(1) , (5)得: 2 OP ? 2( x1 ? y1 ) ? 2 ?
2

??? ?2

3 2 x1 2

(7)…(11分)

由(2) , (4)得: AB ?AR ? 2( x2 ? 2) ?

??? ? ??? ?

2 2 y2 3 ? 5 ? x2 x2 ? 2 2

(8)…(12分)

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2 由(7) , (6)得: 2 OP ? 2( x1 ? y12 ) ? 2 ?

??? ?2

3 2 3 x1 ? 5 ? x2 2 2

(9)…(13分)

由(8) , (9)可证得: AB?AR ? 2OP .…(14分) 21.(本小题满分 14 分)已知数列 ?a n ?的每一项都是正数,满足 a1 ? 2, 且 a n ?1 ? a n a n ?1 ? 2a n ? 0 ;
2 2

??? ? ??? ?

??? ?2

等差数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn , b2 ? 3 , T5 ? 25 . (1)求数列 ?a n ?、 ?bn ? 的通项公式; (2)比较

1 1 1 ? ? ? ? 与 2 的大小; T1 T2 Tn

(3)若

b b1 b2 ? ? ? ? n ? c 恒成立,求整数 c 的最小值. a1 a 2 an
2 2

(1)由 a n ?1 ? a n a n ?1 ? 2a n ? 0 有, (a n ?1 ? 2a n )( a n ?1 ? a n ) ? 0 ,…(2分) 由于数列 ?a n ?的每一项都是正数,? a n ?1 ? 2a n ,? a n ? 2 …(3分)
n

设 bn ? b1 ? (n ? 1)d ,由已知有 b1 ? d ? 3,5b1 ? 解得 b1 ? 1, d ? 2 ? bn ? 2n ? 1 …(5 分) (2)当 n ? 1时,

5? 4 d ? 25 ,…(4分) 2

1 1 1 ? ??? ? 2 …(6分) T1 T2 Tn

当 n ? 2 时,

1 1 1 1 ? ? ? …(8分) 2 (n ? 1)n n ? 1 n n

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? 1? ? ? ? ??? ? ? 2 ? ? 2 …(10分) T1 T2 Tn 1 2 2 3 n ?1 n n
b b1 b2 1 3 5 2n ? 1 ? ??? n ? ? 2 ? 3 ??? …(11分) a1 a 2 an 2 2 2 2n

(3)记 Pn ?

1 1 3 2n ? 3 2n ? 1 Pn ? 2 ? 3 ? ? ? ? n?1 2 2 2 22 2 2n ? 3 两式相减得 Pn ? 3 ? n …(12分) 2 1 37 ? Pn 递增, ? Pn ? 3, P4 ? ? 2,?最小的整数 c ? 3 …(14分) 2 16
所以

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