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2012高三第二次月考试卷1


民本中学 2012 学年高三第二次月考 数学试卷
姓名________________ 班级_______________ 学号___________________ 座位号________________ (考试时间:120 分钟 满分:150 分 命题人:殷小凤) 一、填空题(共 56 分,每题 4 分) 1、已知集合 M={ y y ? x ? 2 x ? 3, x ? R },集合 N={ y y ? 2 ? 3 },则 M ? N ?
2

2、不等式 ax ? b ? 0 解集为(1, +∞), 则不等式

x?2 ? 0 的解集为 ax ? b

3、集合 A ? x x ? 3 x ? 2 ? 0 , B ? x x ? ax ? 4 ? 0 ,若 A ? B ? B ,则实数 a 的取值范围
2 2

?

?

?

?

.

4、方程 log3 ( x 2 ? 4 x ? 5) ? log 3 ( x ? 1) 的解是 x ? ____________.
5 、已知全集 U ? R, A ? ? x | x 2 ? 2 x ? 0? , B ? ? x | log 2 x ? 1≥ 0? , 则 A ? (CU B) ? .

6、函数 y ? f (x) 的反函数为 y ? log 2 ( x ? 1) ? 1( x ? 0) ,则 f (x) ? _______ .
7 、 已 知 幂 函 数 y ? f ( x) 存 在 反 函 数 , 若 其 反 函 数 的 图 像 经 过 点 ( ,9) , 则 幂 函 数

1 3

f ( x) =
8、函数 f ( x ) ? ?



? 2 ?x ? 4x ?4 x ? x 2 ?

x?0 x?0

,则不等式 f ( x) ? ?5 的解集是



9、设函数 f (x) 的定义域为 R,且 f (x) 是以 3 为周期的奇函数, f (1) ? 1, f (2) ? log a 2 ( a ? 0,且a ? 1) , 则实数 a 的取值范围是 10、函数 y ? log a ( x ? 3) ? 1 , (a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 上,当 m, n ? 0 时,
1 2 ? 的最小值等于 m n

11、已知函数 f ( x) ?| x 2 ? 2ax ? a | ( x ?R ) ,给出下列四个命题: ① 当且仅当 a ? 0 时, f ( x) 是偶函数; 0② 函数 f ( x) 一定存在零点; ③ 函数在区间 (??, a] 上单调递减; ④ 当 0 ? a ? 1 时,函数 f ( x) 的最小值为 a ? a 2 . 那么所有真命题的序号是 . 12、 a, b ? R , a ? b 且 ab ? 1,则

a2 ? b2 的最小值等于 a?b
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13、 设定义域为 R 的函数 f ( x) ? ? 数为___ .

? | lg x |, x ? 0 , 若关于 x 的函数 y ? 2 f 2 ( x) ? 3 f ( x) ? 1 的零点的个 2 ?? x ? 2 x, x ? 0

14、问题“求方程 3x ? 4x ? 5x 的解”有如下的思路:方程 3x ? 4x ? 5x 可变 为 ( ) x ? ( ) x ? 1 ,考察函数

3 5

4 5

f (x) ? (3) x ? (4) x 可知, f (2) ? 1 ,且函数 f (x) 在 R 上单调递减,∴原方程 有唯一解 x ? 2 . 5 5
仿照此解法可得到不等式: x ? (2 x ? 3) ? (2 x ? 3) ? x 的解是
6 3 2



二、选择题(共 20 分,每题 5 分) 15、 a ? 3(a ? R) 成立的一个必要非充分条件是( A )

a?3

B

a ?2

C

a2 ? 9

D

0?a?2


16、已知 a 、 b ? 0 ,则下列不等式中不一定成立的是??????????????(
a b ? ≥2 b a 2ab C. ≥ ab a?b
A.

17、下列函数中既是奇函数,又在区间 ? ?1,1? 上单调递减的是( A、 f ? x ? ? sin x C、 f ? x ? ? lg B、 f ? x ? ? ? x ? 1 D、 f ? x ? ?

1 1 B. (a ? b) ? ( ? ) ≥ 4 a b 1 D. a ? b ? ≥2 2 ab


2? x 2? x

1 x ? 2 ? 2? x ? 2

1 ? ? 2 x, 0 ? x ? 2 ? 18、已知函数 f ( x) ? ? ,且 f1 (x) ? f (x) , f 2 ( x) ? f ( f1 ( x)) .则满足方程 f 2 ( x) ? x 的根 1 ? 2 ? 2 x, ? x ? 1 ? ? 2
的个数 为( A、0 个 ) B、2 个 C、4 个 D、6 个

三、解答题. 19、 (本题 12 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 8 分)
7 ? ? ? ?1? , Q ? ? x | a ? 1 ? x ? 2a ? 15? . 已知集合 S ? ? x | x?5 ? ?

(1)求集合 S ; (2)若 S ? Q ,求实数 a 的取值范围.

第 2 页 共 7 页

20、 (本题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x) ?

?3x ? a . 3x ?1 ? b
x

(1)当 a ? b ? 1 时,求满足 f ( x) ? 3 的 x 的取值范围; 姓名________________ 班级_______________ 学号___________________ 座位号________________ (2)若 y ? f ? x ? 的定义域为 R,又是奇函数,求 y ? f ? x ? 的解析式,判断其在 R 上的单调性并加 以证明.

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,每小题满分各 7 分. 如图,两铁路线垂直相交于站 A,若已知 AB=100 千米,甲火车从 A 站出发,沿 AC 方向以 50 千米/ 小时的速度行驶, 同时乙火车从 B 站出发, BA 方向以 v 千米/小时的速度行驶, A 站即停止前行 沿 至 (甲 车仍继续行驶) (两车的车长忽略不计). (1)求甲、乙两车的最近距离(用含 v 的式子表示) ; B (2)若甲、乙两车开始行驶到甲,乙两车相距最近时所用时间为

t 0 小时,问 v 为何值时 t 0 最大?
A C

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22、 (本题满分 16 分,第(1)小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分) 定 义 : 对 函 数 y ? f (x) , 对 给 定 的 正 整 数 k , 若 在 其 定 义 域 内 存 在 实 数 x 0 , 使 得

f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) ? f (k ) ,则称函数 f (x) 为“ k 性质函数” 。

1 是否为“ k 性质函数”?说明理由; x a (2) 若函数 f ( x) ? lg 2 为“2 性质函数” ,求实数 a 的取值范围; x ?1
(1) 判断函数 f ( x) ? (3) 已知函数 y ? 2 与 y ? ?x 的图像有公共点,求证: f ( x) ? 2 ? x 为“1 性质函数” 。
x x 2

23、本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 6 分 ,第 3 小题满分 7 分 已知:函数 g ( x) ? ax ? 2ax ? 1 ? b (a ? 0, b ? 1) ,在区间 [2,
2

3] 上有最大值 4,最小值 1,设函数

f ( x) ?

g ( x) . x

(1)求 a 、 b 的值及函数 f (x) 的解析式; (2)若不等式 f (2 ) ? k ? 2 ? 0 在 x ? [? 1, 1] 时恒成立,求实数 k 的取值范围;
x x

(3)如果关于 x 的方程 f ( 2 ? 1 ) ? t ? (
x

4 2 ?1
x

? 3) ? 0 有三个相异的实数根,求实数 t 的取值范围.

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第二次月考答案
一、填空题. 1、 1,5]; [?
? 1 2

2、 ??,?1) ? [2,??); (

3、(?4,4];

4、 ; 6

1 5、 0, ); ( 2

6、2 x ?1 ? 1 ( x ? 1)

7、 x



8、 (?1,??); 14、 (??,?1) ? (3,??).

9、

1 ? a ? 1; 2

10、8 ;

11、①④

12、 2 2 ;

13、7 个; 二、选择题. 15――18
A

C

C

C

19 、 (1) S ? (?2,5) ; 20、 (1) x ? ?1;

(2) ? 5 ? a ? ?3 . (2) a ? 1, b ? 3 ,定义证明其在 R 上单调递减.

21、 [解](1)设两车距离为 d ,则

d 2 ? (100 ? vt)2 ? (50t)2 ? (v2 ? 2500)t 2 ? 200vt ? 10000(0 ? t ? 100) v 100v ? 100 ,∴当 t ? 100v 时, d ? 5000 0? 2 min v2 ? 2500 v ? 2500 v v 2 ? 2500 5000 千米; 即两车的最近距离是 2 v ? 2500 100v ? 100 ? 1 , (2)当两车相距最近时, t0 ? 2 v ? 2500 v ? 2500 v 此时 v ? 50 千米/小时.

(3 分)

(7 分) (3 分) (5 分)

即当车速 v ? 50 千米/小时,两车相距最近所用时间 t 0 最大,最大值是1 小时.(7 分)

22、解: (1)若存在 x 0 满足条件,则

1 1 1 2 ? ? 即 x0 ? kx0 ? k 2 ? 0 ,2 分 x0 ? k x0 k

? ? ? k 2 ? 4k 2 ? ?3k 2 ? 0 ,?方程无实数根,与假设矛盾。? f ( x) ?

“k 性质函数” 。 (2)由 条件得: lg

…………………………….

1 不能为 x 4分

a a a ? lg 2 ? lg ,…………………. 5 分 2 5 ( x0 ? 2) ? 1 x0 ? 1



a a2 ? ( a ? 0) ,化简得 2 2 ( x0 ? 2) 2 ? 1 5( x0 ? 1)

2 (a ? 5) x0 ? 4ax0 ? 5a ? 5 ? 0 ,……………………………. 7 分

当 a ? 5 时, x0 ? ?1 ;……………………………. 8 分
第 5 页 共 7 页

当 a ? 5 时,由 ? ? 0 ,
16 a 2 ? 20(a ? 5)( a ? 1) ? 0 即 a 2 ? 30a ? 25 ? 0 ,?15 ? 10 2 ? a ? 15 ? 10 2 。
[来源:学_科_网]

综上, a ? [15 ? 10 2 ,15 ? 10 2 ] 。

10 分

(3)由条件存在 m 使 2 m ? ?m ,即 2 m ? m ? 0 。…………………….11 分
2 ? f ( x0 ? 1) ? 2 x0 ?1 ? ( x0 ? 1) 2 , f ( x0 ) ? f (1) ? 2 x0 ? x0 ? 3 , 2 2 ? f ( x0 ? 1) ? f ( x0 ) ? f (1) ? 2 ? 2 x0 ? x0 ? 2 x0 ? 1 ? 2 x0 ? x0 ? 3

12 分 14 分

? 2 x0 ? 2 x0 ? 2 ? 2[2 x0 ?1 ? ( x0 ? 1)] ,…………………………….

令 x0 ? m ? 1 ,则 f ( x0 ? 1) ? f ( x0 ) ? f (1) ? 2(2 m ? m) ? 0 ,………………………. 15 分
? f ( x0 ? 1) ? f ( x0 ) ? f (1) ,? f ( x) ? 2 x ? x 2 为“1 性质函数” 。
23、 (18 分) (1) g ( x) ? ax ? 2ax ? 1 ? b ,由题意得:
2

16 分

?a ? 0 ?a ? 1 ? 得? , 或 1? ? g (2) ? 1 ? b ? 1 ?b ? 0 ? g (3) ? 3a ? b ? 1 ? 4 ?

?a ? 0 ?a ? ?1 ? 得? (舍去) 2? ? g ( 2) ? 1 ? b ? 4 ?b ? 3 ? 1 ? g (3) ? 3a ? b ? 1 ? 1 ?

? a ? 1 , b ? 0 ????4 分
1 ? 2 ????5 分 x 1 2 1 1 x x (2)不 等式 f (2 ) ? k ? 2 ? 0 ,即 2 x ? x ? 2 ? k ? 2 x ,? k ? ( x ) ? 2 ? ( x ) ? 1 ??9 分 2 2 2 1 1 2 2 设 t ? x ? [ , 2] ,? k ? (t ? 1) ,? (t ? 1) min ? 0 ,? k ? 0 ????11 分 2 2
g ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 , f ( x ) ? x ?
(3) f ( 2 ? 1 ) ? t ? (
x

4 2 ?1
x

? 3) ? 0 ,即 2 x ? 1 ?

1 2 ?1
x

?

4t 2 ?1
x

? 3t ? 2 ? 0 .

2 令 u ? 2 ? 1 ? 0 ,则 u ? (3t ? 2)u ? (4t ? 1) ? 0 (?) ????13 分
x

记方程 (?) 的根为 u1 、 u 2 ,当 0 ? u1 ? 1 ? u 2 时,原方程有三个相异实根, 记 ? (u ) ? u ? (3t ? 2)u ? (4t ? 1) ,由题可知,
2

? ?? (0) ? 4t ? 1 ? 0 ?? (0) ? 4t ? 1 ? 0 ? 或 ?? (1) ? t ? 0 .????1 6 分 ? ?? (1) ? t ? 0 ? 3t ? 2 ?0 ? ?1 2 ?
第 6 页 共 7 页

??

1 ? t ? 0 时满足题设.????18 分 4

第 7 页 共 7 页


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