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2015-2016学年云南省昆明市第三中学高二下学期期中考试文科数学试卷 word版


2015—2016学年下学期高二期中考试

文科数学试题
一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求. 1.已知集合 A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则 A∩B 等于( A.{0} B.{-1,0} C.{0,1} ) D.{-1,0,1} 2.设 z 是复数,则下列命题中的假命题是( A.若 z2≥0,则 z 是实数 C.若 z 是虚数,则 z2≥0 A.对任意 x∈R,都有 x2<0 C.存在 x0∈R,使得 x2 0≥0 4.函数 f ( x) ? 4? | x | ? lg A. (2, 3) C. (2, 3) ? (3, 4] )

B.若 z2<0,则 z 是虚数 D.若 z 是纯虚数,则 z2<0 ) B.不存在 x∈R,使得 x2<0 D.存在 x0∈R,使得 x2 0<0 )

3.命题?对任意 x∈R,都有 x2≥0?的否定为(

x2 ? 5x ? 6 的定义域为( x?3 B. (2, 4]

D. (?1, 3) ? (3, 6]

5. 若双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该 双曲线的离心率为 ( A. 5 B.5 ) C. 2 D.2

x2 y2 a b

6. 一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、侧视图 如图所示,则其俯视图为( )

5π π 7. 如图,若依次输入的 x 分别为 、 ,相应输出的 y 6 6 分别为 y1、y2,则 y1、y2 的大小关系是 ( A.y1=y2 B.y1>y2 )

C.y1<y2

D.无法确定 π π )在( ,π)上单调递减,则 ω 的取值 4 2

8. 已知 ω>0,函数 f(x)=sin(ωx+ 范围是( ) 1 3 B.[ , ] 2 4

1 5 A.[ , ] 2 4

1 C.(0, ] 2

D.(0,2]

9. 已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1),B(1,3),顶点 C 在第一象限,若点(x,y) 在△ABC 内部,则 z=-x+y 的取值范围是( A.(1- 3,2) C.( 3-1,2) B.( -1, 2) D.(0,1+ 3)
2

)

10. 已知点P是抛物线 y 2 ? 4 x 上的动点,点M, N分别是圆 C : ? x ? 6 ? ? y 2 ? 1 的直 ???? ? ???? 径的两个端点,则 PM ? PN 的最小值是( ) A. 20 B.19 C.36 D.35 11. 设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0 与圆(x-1)2+(y-1)2=1 相 切,则 m+n 的取值范围是( A.[1- 3,1+ 3] C.[2-2 2,2+2 2] ) B.(-∞,1- 3]∪[1+ 3,+∞) D.(-∞,2-2 2]∪[2+2 2,+∞)

12. 已知 a, b ? R 且 a ? b ,若 ae a ? beb (e为自然对数的底数) ,则下列正确的是 ( ) A. ln a ? ln b ? b ? a C. ln ? ?a ? ? ln ? ?b ? ? b ? a B. ln a ? ln b ? a ? b D. ln ? ?a ? ? ln ? ?b ? ? a ? b

二、填空题:共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.在 2012 年 3 月 15 日那天,南昌市物价部门对本市 5 家商场某商品的一天销 售量及其价格进行了调查,5 家商场的售价 x 元和销售量 y 件之间的一组数 据如表所示: 价格 x 销售量 y 9 11 9.5 10 10 8 10.5 6 11 5

通过散点图,可知销售量 y 与价格 x 之间有较好的线性相关关系,其回归直

? 等于 ? ? ?3.2 x ? a ? ,则 a 线的方程是 y



14 .已知△ABC 的三边长成公比为 2 的等比数列,则其最大角的余弦值为 ________; 15.已知在三棱锥 P ? ABC 中,PA ? 平面 ABC , AB ? AC ? PA ? 2 ,且在 ?ABC 中, ?BAC ? 1200 ,则三棱锥 P ? ABC 的外接球的体积为________.

16. 在 ?ABC 中,a,b,c 分别是内角 A,B,C 所对的边,已知 B ? 则 a ? c 的取值范围是

?
3

,b ? 3 ,

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤 17. (本小题满分 12 分) 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,n∈N*,a3=5,S10=100. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=2an+2n,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

18. (本小题满分 12 分) 据统计,2015 年?双 11?天猫总成交金额突破 912 亿元.某购物网站为优 化营销策略, 对在 11 月 11 日当天在该网站进行网购消费且消费金额不超过 1000 元的 1000 名网购者进行抽样分析,其中有女性 800 名,男性 200 名.采用根据性 别分层抽样的方法,从这 1000 名网购者中抽取 100 名进行分析,得到下表: (消 费金额单位:元) 女性消费情况:

男性消费情况:

(1)计算 x, y 的值;在抽出的 100 名且消费金额在 ?800,1000? (单位:元) 的网购者中随机选出两名发放网购红包, 求选出的两名网购者恰好是一男一女的 概率; (2)若消费金额不低于 600 元的网购者为 ?网购达人? ,低于 600 元的网购 者为?非网购达人? ,根据以上统计数据填写下面 2 ? 2 列联表,并回答能否在犯 0.010 错误的概率不超过 的前提下认为?是否为‘网购达人’与性别有关??

n(ad ? bc) 2 附: (k ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

19. (本小题满分12分) 已知平行四边形ABCD中,AB=4,E为AB的中点,且△ADE是等边三角形,沿

DE 把△ADE 折起至A1 DE 的位置,使得A1 C=4.
(1)F 是线段A1 C的中点,求证:BF //平面A1 DE ; (2)求证:A
1

D⊥CE ;

(3)求点A1到平面BCDE的距离.
A1 F D C D C

A

E

B

E

B

20.(本小题满分 12 分)
2 2 已知 A、B 分别是椭圆 C : x 2 ? y 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右顶点,离心率为 1 ,右焦

a

b

2

点与抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 重合. (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 P 是椭圆 C 上异于 A、B 的动点,直线过点 A 且垂直于 x 轴,若 过 F 作直线 FQ 垂直于 AP,并交直线于点 Q,证明:Q、P、B 三点共线.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? x 2 ? a, x ? R 的图像在点 x ? 0 处的切线为 y ? bx . (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)当 x ? R 时,求证: f ( x) ? ? x 2 ? x ; (3)若 f ( x) ? kx 对任意的 x ? (0,??) 恒成立,求实数 k 的取值范围;

22.(本小题满分 10 分)

? x ? 4 ? 5cos t , 已知曲线 C1 的参数方程为 ? (为参数) , 以坐标原点为极点,x ? y ? 5 ? 5sin t ,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2 sin ? . (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).

2015—2016学年下学期高二期中考试 文科数学参考答案
一、 选择题 BCDCA CCAAB DC 二、 填空题
13.40 14.- 2 4 15.

20 5? 3

16. 3 ? a ? c ? 2

3

三、 解答题
17.解: (1)设等差数列{an}的公差为 d,

a1+2d=5, ? ? 由题意,得? 10×9 10a1+ d=100, ? 2 ?
所以 an=2n-1. (2)因为 bn= 2
an

解得?

?a1=1, ? ?d=2, ?

1 n +2n= ×4 +2n, 2

所以 Tn=b1+b2+…+bn 1 2 n = (4+4 +…+4 )+2(1+2+…+n) 2 4 =
n+1

-4 2 +n +n 6

2 2 n 2 = ×4 +n +n- . 3 3

18.解: (Ⅰ)依题意,女性应抽取 80 名,男性应抽取 20 名

? x ? 80 ? (5 ? 10 ? 15 ? 47) ? 3 y ? 20 ? (2 ? 3 ? 10 ? 2) ? 3
抽出的 100 名且消费金额在 ?800,1000? (单位:元)的网购者中有三位女性设为

A, B, C ;两位男性设为 a, b ,从 5 人中任选 2 人的基本事件有: ( A, B), ( A, C ), ( A, a), ( A, b) , ( B, C ), ( B, a), ( B, b) , (C , a), (C , b) , (a, b) 共 10 件

设?选出的两名网购者恰好是一男一女?为事件 A ,事件 A 包含的基本事件有:

( A, a ), ( A, b), ( B, a ), ( B, b), (C , a ), (C , b) 共 6 件

? P( A) ?

6 3 ? 10 5 (Ⅱ) 2 ? 2 列联表如下表所示

则k ?
2

n(ad ? bc) 2 100(50 ?15 ? 30 ? 5) 2 ? 9.091 ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 80 ? 20 ? 55 ? 45

? 9.091 ? 6.635
答:我们有 99%的把握认为?是否为‘网购达人’ ?与性别有关。

20.解: (1)抛物线的焦点 F(1,0),

1 ,∴a=2,∴ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 , 2 x2 y2 ∴椭圆方程为 ? ? 1 . ...............4 分 4 3
∵e ? (2)由(1)知直线 l 的方程为 x=-2, ∵点 P 异于 A,B,∴直线 AP 的斜率存在且不为 0, 设 AP 的方程为 y ? k ( x ? 2)(k ? 0) ,

? x2 y2 ? ? ? 1 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 12 ? 0 , 联立 ? 4 3 ? ? y ? k ( x ? 2)
? 16k 2 6 ? 8k 2 12k ,∴ , yP ? . x ? P 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k 2 1 1 又∵QF⊥AP, kQF ? ? ,∴直线 QF 的方程为 y ? ? ( x ? 1) , k k 12k 3 1 ? ? 2 3 3 ? y ? ? ( x ? 1) 联立 ? ,解得交点 Q (?2, ) , k PQ ? 3 ? 4k 2 k ? ? , k 6 ? 8 k k 4 k ? x ? ?2 ?2 ? 3 ? 4k 2 3 ?0 3 k BQ ? k ?? , ?2?2 4k 即 k BQ ? k PQ , xP ? x A ?
有公共点 Q,所以 Q,P,B 三点共线.....12 分 21.解: (1) f ( x) ? e x ? x 2 ? a, f ?( x) ? e x ? 2 x
? f (0) ? 1 ? a ? 0 ?a ? ?1 由已知 ? 解得 ? , ? f ?(0) ? 1 ? b ?b ? 1

故 f ( x) ? e x ? x 2 ? 1 (2)令 g ( x) ? f ( x) ? x 2 ? x ? e x ? x ? 1 , 由 g ?( x) ? e x ? 1 ? 0 得 x ? 0 当 x ? (??,0) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减; 当 x ? (0,??) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增 ∴ g ( x) min ? g (0) ? 0 ,从而 f ( x) ? ? x 2 ? x

(3) f ( x) ? kx 对任意的 x ? (0,??) 恒成立 ? 令 ? ( x) ? ∴ ? ?( x) ?
f ( x) ,x ? 0, x xf ?( x) ? f ( x)

f ( x) ? k 对任意的 x ? (0,??) 恒成立 x

x2 x2 由(2)可知当 x ? (0,??) 时, e x ? x ? 1 ? 0 恒成立 令 ? ' ( x ) ? 0 ,得 x ? 1 ; g ?( x) ? 0 得 0 ? x ? 1

?

x(e x ? 2 x) ? (e x ? x 2 ? 1)

?

( x ? 1)(e x ? x ? 1) x2

∴ ? ( x ) 的增区间为 (1,??) ,减区间为 (0,1) , ? ( x )min ? ? (1) ? e ? 2 ∴ k ? ? ( x )min ? ? (1) ? e ? 2 , ∴实数 k 的取值范围为 ( ?? , e ? 2) 22.解: (1)将 ?
2

? x ? 4 ? 5 cos t 2 2 消去参数,化为普通方程 ( x ? 4) ? ( y ? 5) ? 25 , ? y ? 5 ? 5 sin t
2

即 C1 : x ? y ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0 . 将?

? x ? ? cos ? 2 2 代入 x ? y ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0 得 y ? ? sin ? ?

? 2 ? 8? cos ? ? 10 ? sin ? ? 16 ? 0 .
(2) C 2 的普通方程为 x ? y ? 2 y ? 0 .
2 2

由?

2 2 ? ?x ? 1 ?x ? 0 ? x ? y ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0 ,解得 ? 或? . 2 2 y ? 1 y ? 2 ? x ? y ? 2 y ? 0 ? ? ?

所以 C1 与 C 2 交点的极坐标分别为 ( 2 ,

?

) , (2, ) 4 2

?


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