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数列专题复习综合检测题及答案①


高考数学数列专题复习综合检测
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.等差数列 A.

?an ?中, a5 ? 15 ,则 a2 ? a4 ? a6 ? a8 的值为(
B.



30

45

C.

60

D.

120


2.等比数列 A.

?an ?的前 4 项和为 240 ,第 2 项与第 4 项的和为 180 ,则数列 ?an ? 的首项为(
B.

2

4

C.

6

D.

8


3.设 Sn 为数列 A.

?an ?的前 n 项和, an ? 2n ? 49 ,则 Sn 达到最小值时, n 的值为(
B.

12

13

C.

24

D.

25


4.设 Sn 为数列 A.

?an ?的前 n 项和, an ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n?1 ,则 Sn 的值为(
B.

2n ? 1

2 n?1 ? 1

C.

2n ? n ? 2

D.

2 n?1 ? n ? 2


5.等比数列 A.

?an ?中, a1 ? a2 ? a3 ? 2 , a4 ? a5 ? a6 ? 4 ,则 a10 ? a11 ? a12 ? (
B.

32

16

C.

12

D.

8


6.数列

?an ?中, an ?
B.

1 n ? n ?1
97

,若前 n 项和 Sn C.

? 9 ,则项数 n 等于(
D.

99 7.某工厂去年的产值为 P ,计划在 5 年内每年比上一年产值增长 10 %,则从今年起 5 年内该工厂的
A. 总产值为( A. 11 1.1 (
5

96

98

) B. 11 1.1 (
4

? 1) P

? 1) P

C. 10(1.1

5

? 1) P

D. 10(1.1

4

? 1) P


8.已知 Sn 为等比数列 A.

?an ?的前 n 项和, a1 ? 2 ,若数列 ? ? an ?也是等比数列,则 Sn 等于( 1
3n
C.

2n

B.

2 n ?1 ? 2

D.

3n ? 1

二、填空题:(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9.已知 Sn 是数列 10.在等差数列

?an ?的前 n 项和, Sn ? n 2 ? 5n, 则 an ?

. .

?an ?中, an ? 0 ,且 a1 , a3 , a4 成等比数列,则其公比 q ?

11.已知 4 个实数 ? 9, a1 , a2 ,?1 成等差数列, 5 个实数 ? 9, b1 , b2 , b3 ,?1 成等比数列, 则 b2

? (a2 ? a1 )

.

12. 已 知 等 比 数 列

?an ?

中 ,

an ? 0, a1 , a99



x 2 ? 10x ? 16 ? 0

的 两 个 根 , 则

a40 ? a50 ? a60 ?

.

--1--

13..对正整数 n ,设曲线

y ? x n (1 ? x) 在 x ? 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 an ,则数列
.

? an ? ? ? 的前 n 项和 S n ? ? n ? 1?

三、解答题: .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
14. 已知等差数列

?an ?中, Sn 是其前 n 项和, a9 ? 7, S20 ? 155,求: a11 及 S10 .

15. 已知等比数列 求

?an ?各项为正数, Sn 是其前 n 项和,且 a1 ? a5 ? 34, a2 ? a4 ? 64 .

?an ?的公比 q 及 Sn .

16. (14 分)已知:公差不为零的等差数列 ⑴求数列 S1 , S 2 , S 4 的公比 q ; ⑵若 S 2

?an ?中, Sn 是其前 n 项和,且 S1 , S2 , S4 成等比数列.

? 4 ,求等差数列 ?an ? 的通项公式.

--2--

17.已知等差数列 ⑴求数列 ⑵若数列

?an ? 中, a2 ? ?20, a1 ? a9 ? ?28 .

?an ? 的通项公式;
?bn ? 满足 an ? log2 bn ,设 Tn ? b1b2 ?bn ,且 Tn ? 1 ,求 n 的值.

18.数列

?an ? 首项 a1 ? 1 ,前 n 项和 Sn 与 an 之间满足 an ?
?1? ? 是等差数列; ? Sn ?

2Sn 2 (n ? 2) . 2Sn ? 1

⑴求证:数列 ? ⑵求数列

?an ? 的通项公式;

--3--

19. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)试用含 a 的代数式表示 b ; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间;

1 3 x ? ax 2 ? bx, 且 f '(?1) ? 0 3

( Ⅲ ) 令 a ? ?1 , 设 函 数 f ( x ) 在 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 处 取 得 极 值 , 记 点

M ( x1 , f ( x1 )), N ( x2 , f ( x2 )) ,证明:线段 MN 与曲线 f ( x) 存在异于 M 、 N 的公共点;

--4--

1.【解析】C.

a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? 4a5 ? 60. S4 ? (a2 ? a4 ) ? 60 ? a1 ? a3 ? 60 ,? q ?
a2 ? a4 ? 3, a1 ? 6. a1 ? a3

2.【解析】C.

3. 【解析】C. S n ?

n( a1 ? a n ) ? ( n ? 24 ) 2 ? 24 2 ,? n ? 24 时, Sn 达到最小值. 2

4. 【解析】D. an ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n?1 ? 2n ? 1 ,? S n ? 2 n?1 ? n ? 2 5. 【解析】B. 由题意,得 q 3 ? 2 , a10 ? a11 ? a12 ? (a4 ? a5 ? a6 )q6 ? 16. 6. 【解析】D. a n ?
7.【解析】A. 8.【解析】A.

1 n ? n ?1

? n ? 1 ? n ,得 Sn ? n ? 1 ? 1 ? 9 ? n ? 99.

1 ?数列 ? ? an ?是等比数列,? (1 ? 2q) 2 ? 3(1 ? 2q2 ) ? q ? 1 , Sn ? 2n.
? 4 .利用 an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2).
1 . 2 ? a1 ? ? 1 ? ( ?9) 8 ? 4 ?1 3

9.【解析】 2n

10.【解析】 1 或

11.【解析】 ? 8 .? ? 9, a1 , a2 ,?1 成等差数列,? a 2

? ? 9, b1 , b2 , b3 ,?1 成等比数列,? b2 ? ?3 ( b2 ? ?3 不合)? b2 ? (a2 ? a1 ) ? ?8 .
12. 【解析】 64 . 13. 【解析】 2
n ?1

? 2. y ? x n (1 ? x) ? x n ? x n?1 , y ? ? nxn?1 ? (n ? 1) x n ,

y? x?2 ? ?(n ? 2) ? 2n?1 ,当 x ? 2 时, y ? ?2n ,切线: y ? 2n ? ?(n ? 2) ? 2n?1 ( x ? 2)
令x

? 0 ,得 an ? (n ? 1)2n ,?

an 2(1 ? 2 n ) ? 2 n ,? S n ? ? 2 n ?1 ? 2. n ?1 1? 2

14. 【解析】设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,则 ?
解得, a1

?a9 ? a1 ? 8d ? 7 ?S 20 ? 20a1 ? 190d ? 155

(4 分)

? 3, d ?

1 , 2

(8 分) (13 分)

? a11 ? 3 ? 10 ?

1 1 1 105 ? 8 , S10 ? 10 ? 3 ? ? 10 ? 9 ? ? . 2 2 2 2

--5--

15. 【解析】? 数列 ?an ? 是等比数列,? a2 ? a4 ? a1 ? a5 ? 64 ,
又? a1 由 an 当 a1

(2 分) (4 分)

? a5 ? 34, ? a1 ? 2, a5 ? 32 或 a1 ? 32, a5 ? 2 ,

? 0 ,当 a1 ? 2, a5 ? 32 时, q ? 2, Sn ? 2n ,
? 32, a5 ? 2 时, q ?
1 1 , S n ? ( ) n?4 2 2
,即 (2a1

(8 分) (12 分)

16.【解析】⑴设等差数列 分)

?an ?的公差为 d ,则 S22 ? S1 ? S4
?q ?

? d ) 2 ? a1 (4a1 ? 6d ) (2

(5 ? d ? 0 ,? d ? 2a1 , 分)

S 2 2a1 ? d ? ?4 S1 a1


(7 分)

⑵由⑴知, d

? 2a1 ,



S2 ? 4 ? 2a1 ? d ? 4

(9 分) (14 分)

由①②解得, a1

? 1, d ? 2 ,? an ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 .

17. 【解析】解:⑴设数列 ?an ? 的公差为 d ,则 ?


? a1 ? d ? ?20 ?a ? ?22 ?? 2 分,解得 ? 1 ?? 4 d ?2 ? 2a1 ? 8d ? ?28 ?

?an ? ?22 ? 2(n ?1) ? 2n ? 24??6 分
⑵?log2 bn

? 2n ? 24?bn ? 22n?24 ?? 8 分

?Tn ? b1b2 ?bn ? 22(1?2???n)?24n ? 2n( n?1)?24n ??10 分
令 n(n ? 1) ? 24n ? 0 ,得 n ∴当 n

? 23?? 12 分

? 23 时, Tn ? 1?? 13 分

--6--

18.

【 解 析 】 ⑴ 因 为

n?2

时 ,

an ? Sn ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1 ?

2Sn 2 2Sn ? 1



Sn?1 ? Sn ? 2Sn ? Sn?1
由题意

Sn ? 0 (n ? 2) ?

1 1 ? ? 2 ? n ? 2? Sn Sn ?1
(4 分)

又 S1

?1? 1 ? a1 ? 1 ? ? ? 是以 ? 1 为首项, 2 为公差的等差数列. S1 ? Sn ?

⑵由⑴有

1 1 ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 ? S n ? ?n ? N ? ? 2n ? 1 Sn

? n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ?

1 1 2 ? ?? 2n ? 1 2(n ? 1) ? 1 (2n ? 1)(2n ? 3)

又 a1

? S1 ? 1

(n ? 1) ?1 ? ? an ? ? 2 ?? (2n ? 1)(2n ? 3) (n ? 2) ?

(8 分)

(Ⅰ)依题意,得 f '( x) ? x2 ? 2ax ? b 由 f '(?1) ? 1 ? 2a ? b ? 0 得 b ? 2a ? 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ?
2

1 3 x ? ax 2 ? (2a ? 1) x 3

故 f '( x) ? x ? 2ax ? 2a ?1 ? ( x ? 1)( x ? 2a ?1) 令 f '*( x) ? 0 ,则 x ? ?1 或 x ? 1 ? 2a ①当 a ? 1 时, 1 ? 2a ? ?1 当 x 变化时, f '( x) 与 f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f '( x)
f ( x)

(??,1 ? 2a)
+ 单调递增

(?2a, ?1)
— 单调递减

(?1 ? ?)
+ 单调递增

由此得,函数 f ( x ) 的单调增区间为 (??,1 ? 2a) 和 (?1, ??) ,单调减区间为 (1 ? 2a, ?1) ②由 a ? 1 时, 1 ? 2a ? ?1 ,此时, f '( x) ? 0 恒成立,且仅在 x ? ?1 处 f '( x) ? 0 ,故函 数 f ( x ) 的单调区间为 R
--7--

③当 a ? 1 时,1 ? 2a ? ?1 ,同理可得函数 f ( x ) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (1 ? 2a, ??) , 单调减区间为 (?1,1 ? 2a) 综上:

a 和 当 a ? 1 时 , 函 数 f ( x ) 的 单 调 增 区 间 为 (? ?, 1 ? 2 ) (?1, ??) , 单 调 减 区 间 为 (1 ? 2a, ?1) ;
当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 的单调增区间为 R; 当 a ? 1 时, 函数 f ( x ) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (1 ? 2a, ??) , 单调减区间为 (?1,1 ? 2a) (Ⅲ)当 a ? ?1 时,得 f ( x) ?
3

1 3 x ? x 2 ? 3x 3

由 f '( x) ? x ? 2 x ? 3 ? 0 ,得 x1 ? ?1, x2 ? 3 由(Ⅱ)得 f ( x ) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (3, ??) ,单调减区间为 (?1,3) 所以函数 f ( x ) 在 x1 ? ?1.x2 ? 3 处取得极值。 故 M (?1, ).N (3, ?9) 所以直线 MN 的方程为 y ? ?

5 3

8 x ?1 3

1 2 ? 2 ? y ? 3 x ? x ? 3x ? 3 2 由? 得 x ? 3x ? x ? 3 ? 0 ? y ? ? 8 x ?1 ? 3 ?
令 F ( x) ? x ? 3x ? x ? 3
3 2

易得 F (0) ? 3 ? 0, F(2) ? ?3 ? 0 , F ( x) 的图像在 (0, 2) 内是一条连续不断的曲线, 而 故 F ( x) 在 (0, 2) 内存在零点 x0 ,这表明线段 MN 与曲线 f ( x ) 有异于 M , N 的公共点

--8--


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