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(江苏专用)2016高考数学二轮专题复习 第二部分 考前增分指导二模板3 实际应用问题课件 理


模板3 实际应用问题
【例3】 (满分14分)如图所示:一吊灯的下圆环直径为4 m,圆心 为 O ,通过细绳悬挂在天花板上,圆环呈水平状态,并且与天 花板的距离(即OB)为2 m,在圆环上设置三个等分点A1,A2,A3.

点C为OB上一点(不包含端点O、B),同时点C与点A1,A2,A3,
B 均用细绳相连接,且细绳 CA1 , CA2 , CA3 的长度相等 . 设细绳 的总长为y. (1)设∠CA1O=θ(rad),将y表示成θ的函数关系式; (2)请你设计θ,当角θ正弦值的大小是多少时,细 绳总长y最小,并指明此时BC应为多长.

[规范解答]



2 (1)在 Rt△COA1 中,CA1= ,CO=2tan θ,2′ cos θ

? 2(3-sin θ) π? 2 ?0<θ< ?.6′ y=3CA1+CB=3· + 2 - 2tan θ = + 2 4? cos θ cos θ ?

-cos2θ-(3-sin θ)(-sin θ) (2)y′=2 cos2θ 3sin θ-1 1 =2 cos2θ ,令 y′=0,则 sin θ=3,10′
? π? 1 1 当 sin θ>3时,y′>0;sin θ<3时,y′<0,∵y=sin θ 在?0,4?上是 ? ?

1 增函数,∴当角θ 满足 sin θ= 时,y 最小,最小为 4 2+2;此时 3
? BC=?2- ?

2? ? m.14′ 2?

[解题模板]

解决实际问题的一般步骤:
(1)阅读题目,理解题意; (2)设置变量,建立函数关系; (3)应用函数知识或数学方法解决问题; (4)检验,作答.

【训练 3】 如图,在 C 城周边已有两条公路 l1,l2 在点 O 处交汇. 已知 OC=( 2+ 6)km,∠AOB=75° ,∠AOC=45° ,现规划在 公路 l1,l2 上分别选择 A,B 两处为交汇点(异于点 O)直接修建一 条公路通过 C 城.设 OA=x km,OB=y km.

(1)求y关于x的函数关系式并指出它的定义域; (2)试确定点A,B的位置,使△OAB的面积最小.



(1)因为△AOC 的面积与△BOC 的面积之和等于△AOB 的面积, 1 1 1 所以 x( 2+ 6)sin 45° + y( 2+ 6)· sin 30° = xysin 75 ° , 2 2 2 6+ 2 2 1 即 x( 2+ 6)+ y( 2+ 6)= xy, 2 2 4 2 2x 所以 y= (x>2). x-2 6+ 2 3+1 3+1 1 x2 (2)△AOB 的面积 S=2xysin 75° = 8 xy= 2 × = 2 x-2 3+1 4 ( x -2 + +4)≥ 2 ×8=4( 3+1). x-2 当且仅当 x=4 时取等号,此时 y=4 2. 故 OA=4 km,OB=4 2 km 时, △OAB 面积的最小值为 4( 3+1) km2.


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