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重庆南开中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题 解析版


重庆南开中学 2014-2015 学年高一上学期期末考试数 学试
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第 I 卷(选择题

共 50 分)

一、选择题(每小题 5 分,10 小题,共 50 分,每小题只有一个选项符合要求)
1. sin 42 cos18 ? cos 42 sin18 ? ( A. ) C.

1 2

B.

3 2

2 2

D. ? )

3 2

2. 下列函数中既是奇函数,又在区间 ? ?1,1? 上是增函数的为( A. y ? ex ? e? x 3. 设 ? ? R ,则“ ? ? B. y ? x C. y ? sin x

D. y ? ? x3 )

?
2

”是“ f ( x) ? sin( x ? ? ), x ? R ”为偶函数的( B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

A. 充分不必要条件 C. 充要条件 4. 函数 y ? 3sin(2 x ? A. [k? ? C. [k? ?

?
3

) 的单调递减区间是(

) B. [ k? ? D. [ k? ? ) C. (3, 4) D. (e, ??) ) D. a ? b ? c )

?

, k? ? ], k ? Z 6 3 , k? ? 5? ], k ? Z 12

?

?
3

, k? ?

5? ], k ? Z 6

?
12

5? 11? , k? ? ], k ? Z 12 12

5. 函数 f ( x) ? ln x ? A. (1, 2)

2 的零点所在的区间是( x
B. (2,3)

6. 已知 a ? log0.3 4, b ? log4 3, c ? 0.3?2 ,则 a, b, c 的大小关系是( A. c ? a ? b 7. 已知 tan ?? ? ? ? ? B. b ? a ? c C. a ? c ? b

1 ?? 1 ?? ? ? , tan ? ? ? ? ? ? ,则 tan? ? ? ? ? ( 2 4? 3 4? ? ?
B.

A. 2

2

C. 1

D.

2 2

y
8. 若函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 的部分图像如下图所示, 为 了得到这个函数的图象,只要将 y ? 2sin x ? x ? R? 的图象 上的所有的点( )

O

? ? 12

11 ? 12

x

A. 纵坐标不变,横坐标缩短到原来的

? 个单位长度 6 1 ? C. 纵坐标不变,横坐标缩短到原来的 倍,再向左平移 个单位长度 2 12 ? D. 纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 2 倍,再向左平移 个单位长度 12
B. 纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 2 倍,再向左平移

1 ? 倍,再向左平移 个单位长度 2 6

9. 已 知 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 f ( x ? 1) 为 奇 函 数 . 若 f (2) ? 1 , 则

f (1) ? f (2) ? f (3) ? ??? ? f (2014) ? (
A. 1 B. 2014

) C. 0 D. ?2014

10. 已知 A, B, C 为锐角 ?ABC 的三个内角,且 sin A ? A sin B ,则下列结论正确的是 ( ) A. A ? C B. A ? C C. B ? C D. B ? C

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题:(本大题 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分)各题答案必须填写在 答题卡Ⅱ上相应位置(只填结果,不写过程)
11. 设函数 f ( x) ? ?

? x?7 ? x, ,则 f (4) ? ? ?2 f ( x ? 2), x ? 7

.

12. 函数 y ? loga (2x ? 3) ? 8 的图象恒过定点 A ,且点 A 在幂函数 f ( x ) 的图象上, 则

f (3) ?

.

13. 函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ?

?
2

) 的最小正周期是

.

14. 关于 x 的不等式 2a ? sin 2 x ? a cos x ? 2 的解集为全体实数,则实数 a 的取值范围为 . 15. 对于区间 [m, n] , 定义 n ? m 为区间 [m, n] 的长度, 若函数 f ( x) ? ax2 ? 2 x ? 1 (a ? 0) 在任意长度为 2 的闭区间上总存在两点 x1 , x 2 ,使 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 成立,则实数 a 的最 小值为 .

三、解答题:(本大题 6 个小题,共 75 分)各题解答必须答在答题卡Ⅱ上(必 须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程)
16. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 合 B ,求 A ? B .

1 2 x ? 3 ? 5 的定义域为集合 A ,函数 g ( x) ? log 2 [( ) x ? 1] 定义域为集 2

17. (本小题满分 13 分) 已知角 ? 的终边过点 P( x, ?1), ( x ? 0) ,且 cos ? ? (1)求 tan ? 的值; (2)求

5 x. 5

1 ? cos 2? 2 cos(? ? ) ? sin ? 4

?

的值.

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? log3 (ax2 ? x ? 1) ,其中 a ? R . (1)若 f ( x ) 的定义域为 R ,求实数 a 的取值范围; (2)当 a ? 1 时,若 g ( x) ? f ( x) ? log3 ( x ?1) ,求 g ( x) 的值域.

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 cos x sin( x ?

?
3

) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x .

(1)求函数 y ? f ( x) 图象的对称中心; (2)若 2 f ( x) ? m ? 1 ? 0 在 [

? 7?

, ] 有两个相异的实根,求 m 的取值范围. 6 12

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

4x ? k ? 2x ?1 . 4x ? 2x ?1

(1)当 k ? 2 时,求函数 f ( x ) 的最大值; (2)对定义域内的任意 x 都有 | f ( x) ? 1|? k 成立,求 k 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 已知关于 x 的函数 f n ( x) ? cos x ? cos ( x ?
n n

(1)求 f n (0) 和 f n ( ) ;

?

2? 4? ) ? cos n ( x ? ) ,其中 n ? N ? . 3 3

2

(2)求证:对任意 x ? R , f 2 ( x) 为定值; (3)对任意 x ? R ,是否存在最大的正整数 n ,使得函数 y ? f n ( x) 为定值?若存在,求出

n 的最大值;若不存在,请说明理由.

参考答案
一.选择题

BCADB
二.填空题 11. 8 2 三.解答题

DCCAD

12. 27

13.

?

14. (2, ??)

15. 1

16. 解:由 2x ?3 ? 5 ? 0 可得: x ? ?1 或 x ? 4 ,故 A ? (??,?1] ? [4,??).

由 ( ) ? 1 ? 0 可得: x ? 0 ,故 B ? (??,0).
x

1 2

∴ A ? B ? (??,?1].

17. 解:由条件知 cos ? ? (1) tan ? ?

5 x 解得: x ? ?2 ,故 P(?2,?1) . x? 5 1 ? x2

?1 1 ? . ?2 2

(2)∵ P(?2,?1) ,故 sin ? ? ?

5 , 5

∴ 原式 ?

2 sin 2 ? 2 sin 2 ? 5 ? ? 2 sin ? tan? ? ? . cos? 5 2 2 2( cos? ? sin ? ) ? sin ? 2 2

18. 解: (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? log3 (? x ? 1) ,显然定义域不是 R ,不合题意,舍去. 当 a ? 0 时,要使 f ( x ) 的定义域为 R ,则 ?

?a ? 0 1 ?a? . 4 ?? ? 1 ? 4a ? 0

(2)当 a ? 1 时, g ( x) ? log3 ( x2 ? x ? 1) ? log3 ( x ? 1) ,其定义域为 x ? (1,??) . ∴ g ( x) ? log3

x2 ? x ? 1 ( x ? 1). x ?1

x2 ? x ? 1 t 2 ? t ? 1 1 ? ? t ? ? 1 ? 3, 令 t ? x ? 1 ? 0 ,则 x ?1 t t
故 g ( x) ? log 3

x2 ? x ? 1 ? 1 ,即 g ( x) 的值域为 [1,??). x ?1

19. 解: (1) f ( x) ? 2 cos x( sin x ?

1 2

3 cos x) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x 2

? 2 sin x cos x ? 3 (cos 2 x ? sin 2 x) ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2 sin( 2 x ?
由 2x ?

?
3

).

?
3

? k? (k ? Z ) 得: x ?

k? ? k? ? ? ,故 f ( x) 的对称中心为 ( ? ,0)( k ? Z ). 2 6 2 6

(2)由 2 f ( x) ? m ? 1 ? 0 可得: f ( x) ?

? 7? ? 5 x ? [ , ] , 2 x ? ? [0, ? ] ,故 f ( x) ?[0, 2] . 6 12 3 6 m ?1 ? 2 时,原方程有两个相异的实根,故 3 ? m ? 5 . 结合函数图象,当 1 ? 2
4x ? 2 ? 2x ? 1 2x ? 1 ? . 4x ? 2x ? 1 4x ? 2x ? 1

m ?1 . 2

20. 解: (1)当 k ? 2 时, f ( x) ? 令 t ? 2 x ? 0, 则 f ( x) ? 1 ?

t 1 ?1? . 1 t ? t ?1 t ? ?1 t 1 4 4 1 1 由 t ? 0 知 t ? ? 2, 故 ? (0, ], 则 f ( x) ? (1, ]. 故 f ( x) max ? . 1 t 3 3 3 t ? ?1 t
2

(k ? 1)2 x (2)法一: f ( x) ? 1 ? k ? x ?k 4 ? 2x ? 1
当 k ? 1 时, (?) 式显然成立. 当 k ? 1 时, (?) ?

(?)

k 2x 对任意 x ? R 恒成立. ? x k ? 1 4 ? 2x ? 1

1 1 2x 1 k 1 ? ,故 而 x ? ? k ? 1 ? 3k ? ?3k ? k ? 1 ? 3k , 解得 k ? ,故 k ? x 4 4 4 ? 2 ?1 3 k ?1 3
且 k ? 1. 综上, k ?

1 . 4

法二: f ( x) ? 1 ? k ? 1 ? k ? f ( x) ? k ? 1
x x 令 u ? 4 ? 2 ? 1?[3,??), 则 f ( x ) ? 1 ?

(? ? )

k ?1 . u

当 k ? 1 时, f ( x) ? (1,

k?2 ]. 3

?k ? 2 ? k ? 1, 1 ? ) 式对任意的 x ? R 恒成立只需 ? 3 要使 (? ? 解得: k ? ? . ∴ k ? 1 . 2 ? ?1 ? k ? 1.
当 k ? 1 时, f ( x) ? 1, 显然成立. 当 k ? 1 时, f ( x) ? [

k?2 ,1). 3

?k ? 1 ? 1, 1 1 ? ) 式对任意的 x ? R 恒成立只需 ? k ? 2 要使 (? ? 解得: k ? . ∴ ? k ? 1 . 4 4 ? 1 ? k. ? ? 3
综上, k ?

1 . 4
1 2
n

? 3 3 f n ( ) ? (? ) n ? ( ) n . 2 2 2 2? 4? ) ? cos( x ? ) (2)对任意 x ? R f1 ( x) ? cos x ? cos( x ? 3 3 1 3 1 3 ? cos x ? cos x ? sin x ? cos x ? sin x ? 0 2 2 2 2 1 1 3 2 又 cos x ? (1 ? cos 2 x) ,故 f 2 ( x ) ? (3 ? f1 (2 x)) ? . 2 2 2 1 4 2 (3)由于 cos x ? (1 ? 2 cos 2 x ? cos 2 x) 4 1 9 故 f 4 ( x) ? (3 ? 2 f1 (2 x) ? f 2 (2 x)) ? ,即 n ? 4 时, y ? f n ( x) 为定值. 4 8 1 n 1 当 n 为 奇 数 , 且 n ? 3 时 , 由 ( 1 ) 得 : f n (0) ? 1 ? 2( ? ) ? 1 ? n ?1 ? 0 , 而 2 2 ? ? 3 3 f n ( ) ? (? )n ? ( )n ? 0 ,即 f n (0) ? f n ( ) .故 y ? f n ( x) 不可能为定值. 2 2 2 2 1 n 1 3 n 当 n 为偶数,且 n ? 6 时,由(1)得: f n (0) ? 1 ? 2( ? ) ? 1 ? n ?1 ? 1 .而 ( ) 关 2 2 2 ? 3 n 3 3 3 27 于 n 单 调 递 减 , 故 f n ( ) ? (? ) ? ( )n ? 2( )n ? 2( )6 ? ? 1. 即 2 2 2 2 2 32 ? f n (0) ? f n ( ) ,故 y ? f n ( x) 不可能为定值. 2 综上,存在最大的正整数 n ? 4 ,使得对任意的 x ? R , y ? f n ( x) 为定值.
21. 解: (1) f n (0) ? 1 ? 2(? ) ,


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