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高二数学导数在研究函数中的应用2


导数在研究函数中的应用
目标认知
学习目标:

1. 会从几何直观了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函 数的单调区间,对多项式函数一般不超过三次. 2. 了 解 函数 在 某点 ( 取 得 极 值的 必 要条 件 ( 导数 在 极 值点 两 端异 号 ) 和充 分 条件

) ;会用导数求函数的极大值、极小值,对多项式函数一般不超过三次.

3.会求闭区间上函数的最大值、最小值,对多项式函数一般不超过三次. 重点: 利用导数判断函数单调性;函数极值与最值的区别与联系.会求一些函数的(极)最大 值与(极)最小值 难点: 利用导数在解决函数问题时有关字母讨论的问题. 知识要点梳理
知识点一:函数的单调性

(一) 导数的符号与函数的单调性: 一般地,设函数 在这个区间上为增函数;若 则 在某个区间内有导数,则在这个区间上,若 ,则 在这个区间上为减函数;若恒有 ,则 ,

在这一区间上为常函数 . 反之,若 恒成立(但不恒等于 0) ;若

在某区间上单调递增,则在该区间上有

在某区间上单调递减,则在该区间上有

恒成立(但不恒等于 0) . 注意: 1. 若在某区间上有有限个点使 ,在其余点恒有 (或 ,则 )是 仍为增函 在(a,

数(减函数的情形完全类似).即在区间(a,b)内, b)内单调递增(或减)的充分不必要条件!例如:

而 f(x)在 R 上递增. 2. 学生易误认为只要有点使 ,则 f(x)在(a,b)上是常函数,要指出个别导数 , 这个函数 在

为零不影响函数的单调性, 同时要强调只有在这个区间内恒有 这个区间上才为常数函数. 3. 要关注导函数图象与原函数图象间关系. (二)利用导数求函数单调性的基本步骤: 1. 确定函数 的定义域; 2. 求导数 ;

3. 在定义域内解不等式

,解出相应的 x 的范围;

当 上为减函数. 4. 写出

时,

在相应区间上为增函数;





在相应区间

的单调区间.

知识点二:函数的极值

(一)函数的极值的定义 一般地,设函数 (1)若对于 ; (2)若对 作 附近的所有点,都有 . 附近的所有点,都有

在点 ,则

及其附近有定义, 是函数 的一个极大值,记作

,则

是函数

的一个极小值,记

极大值与极小值统称极值. 在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的 值,极值指的是函数值. 注意:由函数的极值定义可知: (1)在函数的极值定义中,一定要明确函数 y=f(x)在 x=x0 及其附近有定义,否则无从 比较. (2)函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的,是一个局部概念;在函数的 整个定义域内可能有多个极值,也可能无极值.由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点 的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小. (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小 值不一定是整个定义区间上的最小值. (4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点 .而使函数取得 最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点. (5)可导函数在某点取得极值,则该点的导数一定为零,反之不成立.即 导函数 在点 是可

取得极值的必要非充分条件.在函数取得极值处,如果曲线有切线的话, .但反过来不一定.如函数 y=x ,在 x=0 处,曲线的切线
3

则切线是水平 的,从而有 是水平的,但这点不是函数的极值点. (二)求函数极值的的基本步骤: ①确定函数的定义域; ④检查

②求导数



③求方程

的根;

在方程根左右的值的符号,如果左正右负,则 f(x)在这个根处取得极大值;

如果左负右 正,则 f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)
知识点三:函数的最大值与最小值

(一) 函数的最大值与最小值定理 若函数 在闭区间 上连续,则 在 上必有最大值和最小值;在开区



内连续的函数

不一定有最大值与最小值.如

.

(二)求函数最值的的基本步骤: 若函数 在闭区间 有定义,在开区间 在 内有导数,则求函数 内的导数 (2)求 在

上的最大值和最小值的步骤如下: (1)求函数 在 内的极值; (3)求 (4)将 在闭区间端点处的函数值 的各极值与 , ,



比较,其中最大者为所求最大值,最小者为所求最

小值. (三)最值理论的应用 解决有关函数最值的实际问题,导数的理论是有力的工具,基本解题思路为: (1)认知、立式:分析、认知实际问题中各个变量之间的联系,引入变量,建立适当的 函数关系; (2)探求最值:立足函数的定义域,探求函数的最值; (3)检验、作答:利用实际意义检查(2)的结果,并回答所提出的问题,特殊地,如 果所得函数在区间内只有一个点 满足 ,并且 在点 处有极大(小)值,而

所给实际问题又必有最大(小)值,那么上述极大(小)值便是最大(小)值. 规律方法指导 (1)利用导数讨论函数的单调区间,首先要确定函数的定义域 D,并且解决问题的过程 中始终立足于定义域 D.若由不等式 确定的 x 的取值集合为 A,由 确定的 x

的取值范围为 B,则应有 .如: . (2)最值与极值的区别与联系: ①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的(具有绝对性) ,是 整个定义域上的整体性概念,最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值;最小值 是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值 .函数的极大值与极小值是比较极值点附近两 侧的函数值而得出的(具有相对性) ,是局部的概念; ②极值可以有多个,最大(小)值若存在只有一个;极值只能在区间内取得,不能在 区间端点取得;最大(小)值可能是某个极大(小)值,也可能是区间端点处的函数值; ③有极值的函数不一定有最值,有最值的函数未必有极值,极值可能成为最值. ④若 在开区间 内可导,且有唯一的极大(小)值,则这一极大(小)值

即为最大(小)值. 典型例题 3 例 1.设 f(x)=ax +x 恰有三个单调区间,试确定 a 的取值范围,并求其单调区间。 2 解析:f'(x)=3ax +1,若 a≥0, f'(x)>0,对 x∈R 恒成立,此时 f(x)只有一个单调区间, 矛盾。

若 a<0,∵ f'(x)=

,此时 f(x)恰有三个单调区间。

∴ a<0 且单调减区间为

,单调增区间为

。 例 2.求函数 y=2e +e 的极值。 解析:y'=2e -e ,令 y'=0, 即 2e =1, x y' y ↘ 0 极小值 + ↗
x -x 2x x -x

列表:

∴ y 极小
3

。 的最大值和最小值。

例 3.求函数 f(x)=3x-x 在闭区间
2

解析:f'(x)=3-3x , 令 f'(x)=0,则 x1=-1,x2=1。 则 f(-1)=-2, f(1)=2,又 , ∴ [f(x)]max=2, [f(x)]min=-18。 2 例 4.如右图所示,在二次函数 f(x)=4x-x 的图象与 x 轴所围成图形中有 个内接矩形 ABCD,求这个矩形面积的最大值。 解析:设点 B 的坐标为(x,0)且 0<x<2, 2 ∵ f(x)=4x-x 图象的对称轴为 x=2, ∴点 C 的坐标为(4-x,0), 2 ∴ |BC|=4-2x, |BA|=f(x)=4x-x 。 2 2 3 2 2 ∴ 矩形面积为 y=(4-2x)(4x-x )=16x-12x +2x y'=16-24x+6x =2(3x -12x+8) 令 y'=0,解得 ∵ 极值点只有一个,当 ,∵ 0<x<2, ∴ 取 。 。 km 处的海岸渔站,如果

时,矩形面积的最大值

例 5.一艘渔艇停泊在距岸 9km 处,今需派人送信给距渔艇

送信人步行每小时 5km, 船速每小时 4km, 问应在何处登岸再步行可以使抵达渔站的时间最省? 解析:如图示设 A 点为渔艇处,BC 为海岸线,C 为渔站,且 AB=9km, 设 D 为海岸线上一点,CD=x,只需将时间 T 表示为 x 的函数, ∵ ,

由 A 到 C 的时间 T,则

(0≤x≤15)

(0≤x≤15) 正,

令 T'=0,解得 x=3,在 x=3 附近,T'由负到

因此在 x=3 处取得最小值,又 最小。 训练题: 2 1.函数 y=4x (x-2), x∈[-2,2]的最小值是_____。

,比较可知 T(3)

2.一个外直径为 10cm 的球,球壳厚度为
4 2

,则球壳体积的近似值为____。

3.函数 f(x)=x -5x +4 的极大值是______,极小值是_____。 参考答案:

1. –64

2. 19.63cm

3

3. 4;
2 2

4. 设高为 h,底边长为 a,则所用材料为 S=a +4ah,而 a h=256,a∈(0,+∞),



, a∈(0,+∞),

令 S'(a)=

, ∴ a=8。

显然当 0<a<8 时,S'(a)<0,当 a>8 时,S'(a)>0,因此当 a=8 时,S 最小,此时 h=4。 4.做一个容积为 256 升的方底无盖水箱,问高为多少时最省材料?


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