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高中数学联赛模拟题9


高中数学联赛模拟试题 9
一 试 一、选择题

2 1. 若对 x ? 1的一切 x , t ? 1 ? t ? 4 x 恒成立,则 t 的取值范围是(

?

?



? 13 ? 1 21 ? 1 ? ? ? 13 ? 1 ? B. ? ??, ? ? 2 , 2 ? ? ? ? ? ? ?2, ?? ? 2 ? ? ? ? ? ? 13 ? 1 ? ? ? 13 ? 1 ? ? 21 ? 1 , ?2 ? ?? , ?? ? C. ? D. ? ??, ? ? ? ? ? ? ? 2 2 ? ? 2 ? ? ? ? 2 2 x y ? ? 1 上任一点 P ,作椭圆 C 的右准线的垂线 PH ( H 为垂足) 2. 过椭圆 C : ,延 3 2 长 PH 到点 Q ,使 HQ ? ? PH ( ? ? 1 ) .当点 P 在椭圆 C 上运动时,点 Q 的轨迹
A. ? 的离心率的取值范围为( A. ?1, ?? ? ) C. ?

? 3 ? ,1? D. ? 0,1? ? ? 3 ? ? ?? ? ? 3. 已知向量 m ? ? sin B,1 ? cos B ? ,且与向量 n ? ? 2,0 ? 所成角为 ,其中 A, B, C 是 3 ?ABC 的内角,则角 B 的大小为( ) ? ? ? 2? A. B. C. D. 3 6 4 3 sin ?? x ? ? cos ?? x ? ? 2 1 5 4. 已知函数 f ? x ? ? , ? x ? ,则 f ? x ? 的最小值为( ) 4 4 x
B. 1, 3 ?

?

A. 3

B. 4

C.

a?b 4 ? ,则 a ? b 的值为( ) 2 a ? ab ? b 49 A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 6. 设 A ? ?t | 0 ? t ? 2? , t ? R? , B ? ?? x, y ? | x ? sin t , y ? 2sin t cos t, t ? A? ,
5. 已知 a , b 为正数,且
2

4 5 5

D.

4 3?2 6 3

C ? r ? ? ?? x, y ? | x 2 ? y 2 ? r 2 , r ? 0? ,则满足 B ? C ? r ? 的 r 的最小值为(



5 D.不存在 4 a b a ?1 b ?1 7. 所有的满足条件 a ? b ? a ? b ? a ? b 的正整数对 ? a, b ? 的个数为( A. 0 B. 1 C. 2 D.无数多个 ? 21000 ? ?1 ? ? 2 ? ? 4 ? 8. 若 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数,则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( ?3? ? 3 ? ? 3 ? ? 3 ?
A. B. 1 C.

3 4





21001 ? 2 ? 500 3 21001 ? 2 ? 250 C. 3
A. 二、解答题

21001 ? 2 ? 333 3 21001 ? 2 ? 200 D. 3
B.

9. 已知定义域为 R 的函数 f ? x ? 满足 f ? ?x ? ? ? f ? x ? 4? ,且当 x ? 2 时, f ? x ? 单调递 增.如果 x1 ? x2 ? 4 ,且 ? x1 ? 2?? x2 ? 2? ? 0 ,试判断 f ? x1 ? ? f ? x2 ? 的符号情况,并 给出证明. 10.已知数列 ?an ? ,?bn ? 满足 ?

知实数.求数列 ?an ? ,?bn ? 的通项公式. 一条相交,求实数 a 的取值范围.

?an ? an ?1 cos ? ? bn ?1 sin ? , 且 a1 ? 1, b1 ? tan ? ,其中 ? 为已 b ? a sin ? ? b cos ? , n ?1 n ?1 ? n

11.已知抛物线 y ? ax2 ,直线 l1 , l2 都过点 ?1, ?2? 且互相垂直.若抛物线与直线 l1 , l2 中至少


一.已知 ? ,



? , r ? 1 , ? , ? , r ? C ,求使得不等式

1 ? ? ? ? ? r ? ?? ? ? r ? r? ? ?? r ? ? ? ? ? ? ? r ? 恒成立的 ? 的最大值.
二.设 l ABC 表示所有内接于三角形 ABC 的长方形的对角线的最小值,对所有三角形

?ABC ,试求

l 2 ABC 的最大值. s?ABC

三.已知 a, b, c ? Z , p 为奇质数,若存在 x0 使得 f ? x0 ? i ? 都是平方数, 1 ? i ? 2 p ? 1,
2 这里 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c ,求证: p b ? 4 ac .

四.对给定的正整数 n , n ? 2 ,求最大的 N 满足以下条件:无论怎样将 1, 2,?, n 填入一
2

个 n ? n 表格,总存在同一行或同一列的两个数,它们的差 ? N .

模拟试题 9 参考答案
一、选择题 1. A. ?

? 13 ? 1 21 ? 1 ? ? 2 , 2 ? ? ? ?

t ?1 t ?1 ? x 对一切 x ? 1恒成立得 2 ?1, 2 t ?4 t ?4 ? 21 ? 1 ? 21 ? 1 21 ? 1 21 ? 1 2 ? t ? ?2 或 2 ? t ? ?t ? 解得 , 从而 ; ii) 若t ?4 ? 0 , 2 2 2 2 t ? 1 2 ? x 对一切 x ? 1恒成立得 则 t ? 2 符合题意;iii)若 t ? 4 ? 0 即 ?2 ? t ? 2 ,则由 2 t ?4 t ?1 ? 13 ? 1 13 ? 1 13 ? 1 ? ?1,解得 t ? ? t ? 2 .综上所述,t 的取值 或t ? ,从而 2 t ?4 2 2 2
2 详解:i)若 t ? 4 ? 0 即 t ? ?2 或 t ? 2 ,则由

? 13 ? 1 21 ? 1 ? ? 2 , 2 ? ?. ? ? ? 3 ? ,1? 2. C. ? ? 3 ? ? 详解:设 Q ? x, y ? ,由右准线方程为 x ? 3 知 H ? 3, y ? .因为 HQ ? ? PH ,所以
范围是 ?

HP PQ

?

? 3 ?1 ? ? ? ? x ? ?? ,由定比分点公式可得 P ? , y ? ,代入椭圆方程可得 1? ? ? ? ?
2

2 ? ? x ? 3 ?1 ? ? ?? ? ? y ? 1 即为点 Q 的轨迹方程,其离心率为 3? 2 2 2 ? 3 ? 3? ? 2 2 e? ? 1 ? 2 ? ? ,1? ?. 3? 3? ? 3 ?

3. D.

2? 3

详解:因为 m ? ? sin B,1 ? cos B ? , n ? ? 2,0 ? 所成角为

??

?

B B ? 2? ? 3 .又 0 ? B ? ? ,所以 ? , B ? . 2 2 3 3 4 5 4. C. 5 ?? ? 2 sin ? ? x ? ? ? 2 sin ?? x ? ? cos ?? x ? ? 2 1 5 4? ? ? 详解: f ? x ? ? , ? x ? .令 4 4 x x 5 ?? 1 ?1 3? ? g ? x ? ? 2 sin ? ? x ? ? , ? x ? ,则 g ? x ? ? 0 , g ? x ? 在 ? , ? 上单调递增, g ? x ? 4 4? 4 ?4 4? ? 3 ?3 5? ?1 3? 在 ? , ? 上单调递减, 且 y ? g ? x ? 的图象关于直线 x ? 对称. 于是, 对任意 x1 ? ? , ? , 4 ?4 4? ?4 4? ?3 5? 存在 x2 ? ? , ? ,使得 g ? x1 ? ? g ? x2 ? ,从而有 ?4 4? g ? x1 ? ? 2 g ? x2 ? ? 2 g ? x2 ? ? 2 ?3 5? f ? x1 ? ? ? ? ? f ? x2 ? ,而 f ? x ? 在 ? , ? 上单调递减, x x x ?4 4? tan
1 1 2

? 1 ? cos B ? 3 ,从而 ,所以 sin B 3

所以 f ? x ? 在 ? , ? 上的最小值为 f ? ? ? ?4 4? ?4? 5. D. 16
2 2

?1 5?

?5?

4 5 . 5
* 2

详解:令 a ? b ? 4k , a ? ab ? b ? 49k , k ? N ,则 ab ? 16k ? 49k ,从而 a , b 是方
2 2 程 x ? 4kx ? 16k ? 49k ? 0 的两正根.由 ? ? 0 解得 0 ? k ?

得 k ? 4 ,从而 a ? b ? 16 . 6. C.

49 ,所以 k ? 1, 2,3, 4 ,检验 12

5 4

详解:由题意,

r 2 ? x2 ? y 2 ? sin 2 t ? sin 2 2t ?

1 ? cos 2t 1 ? 25 ? ? 1 ? cos 2 2t ? ? ? cos 2t ? ? ? 对一切 2 4 ? 16 ?
2

2

5 1 ? 25 25 ? 0 ? t ? 2? , t ? R 恒成立,而 ? ? cos 2t ? ? ? ,所以 r 的最小值为 . ? 4 4 ? 16 16 ? 7. B. 1 a a ?1 b ?1 b ?1 b ?1 详解:显然 a ? b ? 1 .由条件得 a ? a ? b ? a ? b ? a ? b ? 1 ,从而有 ab ? bb ? b 即 bb ? ab ? b ,再结合条件及以上结果,可得 aa?1 ? bb?1 ? a ? b ? aa ? bb ? aa ? ab ? b ,整理得 a ? ab ? a a ? a a ?1 ? bb?1 ? a a ?1 ? ? a ? bb ?1 ? ? aa?1 ,从而 a2 ? a ? a ? a ?1? ? a ? ab ? aa?1 即

aa?3 ? 1 ,所以 2 ? a ? 3 .当 a ? 2 时, b ? 1 ,不符合题意;当 a ? 3 时, b ? 2 ( b ? 1 不 符合题意) .综上,满足本题的正整数对 ? a, b ? 只有 ? 3, 2 ? ,故只有 1 解.

21001 ? 2 ? 500 3 2 4 2 4 ?2? ?4? ? 2 4 ? 详解:因为 , ? Z 而 ? ? 1 ? Z , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ;同理有 3 3 3 3 ?3? ?3? ? 3 3 ? ? 8 ? ?16 ? ? 8 16 ? ? 32 ? ? 64 ? ? 32 64 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1,……所以 ? ? 3 ? ?3? ? 3 ? ? 3 3 ? ?3? ?3? ? 3
8. A.
2 ? 21000 ? ? 2 22 21001 ? 2 21000 ? ?2? ?2 ? ? ? ? ? ? ? 500 . ? ? ? ? ? -500 ? ? ? 3 ? ? ? ? 3 3 ? ?3? ? ?3? ? ? ?3 3

二、解答题

9. 解: f ? x1 ? ? f ? x2 ? 的符号为负号,证明如下: 由题设及对称性,不妨假设 x1 ? 2 ? x2 .由 x1 ? x2 ? 4 得 2 ? x2 ? 4 ? x1 .一方面,当

x ? 2 时,f ? x ? 单调递增, 所以 f ? x2 ? ? f ? 4 ? x1 ? ; 另一方面, 由 f ? ? x ? ? ? f ? x ? 4?

知 f ? 4 ? x1 ? ? ? f ? x1 ? , 所以有 f ? x2 ? ? f ? 4 ? x1 ? ? ? f ? x1 ? , 即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 . 10.解:设 zn ? an ? ibn , 则

所以 ?zn ? 是等比数列,

? a cos? ? bn?1 sin ? ? ? i ? an?1 sin ? ? bn?1 cos? ? ? cos? ? i sin ? , zn ? n?1 zn?1 an?1 ? ibn?1
n ?1

cos ? cos n? sin n? 即 an ? , bn ? . cos ? cos ? 11.解:显然,若函数 l1 , l2 与坐标轴平行,则抛物线与直线 l1 , l2 中至少一条总有交点. 1 设 l1 : y ? 2 ? k ? x ? 1? , l2 : y ? x ? ? ? x ? 1? .不失一般性,设 k ? 0 .联立直线 l1 与抛 k 1 2 2 物线方程可得 ax ? kx ? k ? 2 ? 0 , 其判别式为 ?1 ? k ? 4ak ? 8a ; 上述过程中用 ? k 1 1 1 4a 2 ? 8a . 替换 k ,即得 ax ? x ? ? 2 ? 0 ,其判别式为 ? 2 ? 2 ? k k k k

从而 zn ? ?1 ? i tan ? ? ? ? cos ? ? i sin ? ?

? cos? ? i sin ? ? ?

n

?

cos n? sin n? , ?i cos ? cos ?

由题意, ?1 ? 0 与 ?2 ? 0 中至少有一个成立.而

a ? 0 时,由 k ? 0 知 ?1 ? 0 必成立.现设 a ? 0 .

8ak 2 ? 4ak ? 1 ? 0 .令 f ? k ? ? k 2 ? 4ak ? 8a ,
则 y ?f k g ? k ? ? 8ak 2 ? 4ak ?1 , ?k ? ?y, g

由 ?1 ? 0 得 k ? 4ak ? 8a ? 0 ,由 ?2 ? 0 得
2

? ? 都是

关于 k 的二次函数,它们的图象为抛物线,开口向上, 对称轴都在 y 轴的右侧.注意到 f ? 0? ? ?8a ? 0 , 图象如图所示.

g ? 0? ? ?1 ? 0 ,可画出 y ? f ? k ? , y ? g ? k ? 的大致
由图知,存在 t ? 0 使得 f ? t ? ? 0 .当 k ? t 时 f ? t ? ? 0 即 ?1 ? 0 成立;当 0 ? k ? t 时
2 2

f ? t ? ? 0 即 ?1 ? 0 不成立,则必须有 ?2 ? 0 即 g ? k ? ? 0 成立,只需满足 g ? t ? ? 0 即
可. g ? t ? ? 0 等价于 8at ? 4at ? 1 ? 0 ,联立 f ? t ? ? 0 即 t ? 4at ? 8a ? 0 ,可得

?8a ? 1? ? t 2 ? 1? ? 0 ,推出 a ?

1 1 ,从而 0 ? a ? . 8 8 ? 1? 综上,实数 a 的取值范围是 ? ??, 0 ? ? ? 0, ? . ? 8?


一.解:题目等价于求 A ?


的最小值.

1 ? ? ? ? ? r ? ?? ? ? r ? r? ? ?? r

??? ?r 不妨设 1 ? ? ? ? ? r ,且 ? =a? , r ? b? , ? ? ? ? 1 ,则
1 ? ? 1 ? a ? b ? ? 2 b ? a ? ab ? ? 3 ab

A?

? ?1 ? a ? b ?
3?

?

1 ? ? 3 ? 1 ? a ? b ? a ? b ? ab ? ab ? 3?

?

1 ? ? 3 1 ? a ? b ? ? a ? b ? ab ? ? ab
2

?

1? ? 3 1 ? 1 1 ? 1? 1 ? ? ? ?? 2 ? ? ? ? ?? 2 ? 3? 3?? ? 3 ? 2? 2? ?

3 1 4 1 3 1 3 ? 1 ? ? 3 ? ? ? ? 2 ? 3 ,当且仅当 ? = ,a ? ? ? i 时 ? 取到最大 i ,b ? ? ? 4 2 2 2 2 2 ? 2? ?

值3

1 . 4
a ?h a ? x x y ? ? 1, 即y? ha a ha
a 2 ha 2 a 2 ? ha 2

二.解:第一步先固定 ?ABC ,长方形变动,来求出 l 2 ABC . 如图所示, 当长方形一边在 BC 上时, 设边长为 x, y , 则 所以对角线 la ? x ? y
2 2 2

?,

?a ?

2

? ha 2 ? x 2 ? 2a 2 ha x ? a 2 ha 2 ha 2

?

∴l

2 a min

?

a 2 ha 2 ? a 2 ? ha 2

b 2 hb 2 4s 2 4s 2 2 l ? ? ;同理, , b min 4s 2 4s 2 b 2 ? hb 2 2 2 b ? 2 a ? 2 b a

l

2

4s 2 , ?简记sABC ? s ? . c min 4s 2 2 c ? 2 c ? 2 4s 2 ? ? 2 4s 2 ? 2 2 当a ? b ? c时, ? a ? 2 ? ??b ? 2 ? ? a ?b a ? ? b ? ?

c 2 hc 2 ? 2 ? c ? hc 2

?

∴ l 2a min ? l 2b min ? l 2c min ,∴ 当a ? b ? c时,l

2 ABC

? 4s 2 ? 1 ? ? ? a 2b 2 ? ? 0 , ? ? 2 4s ? l 2 a min ? . 4s 2 2 a ? 2 a

4s ABC 的最大值.而 4s 2 ABC 2 a ? a2 2sin A sin B sin C 8R 2 sin A sin B sin C 4 s ABC ? ? 4 2 2 2 16 R sin A sin B sin C sin 2 A ? sin 2 B sin 2 C 4 s 2 ABC 2 2 2 4 R sin A ? a ? 4 R 2 sin 2 A a2 2 , ? sin A sin B sin C ? sin B sin C sin A sin B sin C cos ? B ? C ? ? cos ? B ? C ? 1 ? cos A 1 A 3 ∵ ? ? ? cot ? 因为A ? 600 ? , ? sin A 2sin A 2sin A 2 2 2 2 l 2 2 4 3 4 3 ∴ , ? ? ,即 ABC ? sin A sin B sin C 7 s 7 3 2 ? ABC ? ? sin B sin C sin A 2 3
∴综上所述,

l 2 ABC 第二步求 ? s?ABC

三. 证明: ① p ¤ a时,设f ? x0 ? i ? ? ti ,1 ? i ? 2 p ?1 , 如果对 1 ? i ? p都有p ¤ f ? x0 ? i ? ,
2

l 2 ABC 4 3 的最大值为 ,当且仅当 ?ABC 是正三角形时取到. 7 s?ABC
2

f ? x ? s1 ? ? f ? x ? s2 ? ? f ? x ? s3 ? ? mod p ?
∵ s1 ? s2 , s1 ? s3 ? p ∴ pい s1 ? s2 , p s1 ? s3

? p ?1 ? 则 ti 只能在1 , 2 ,?, ? ? 中取值. ? 2 ? ∴由抽屉原理知,一定存在 1 ? s1 ? s2 ? s3 ? p ,使
2 2 2

∴两两相减得 p ? s1 ? s2 ? ? ? a ? 2 x0 ? s1 ? s2 ? ? b ? ? , p ? s1 ? s3 ? ? ?a ? 2 x0 ? s1 ? s3 ? ? b ? ?

∴ p a ? 2 x0 ? s1 ? s2 ? ? b , p a ? 2 x0 ? s1 ? s3 ? ? b ,相减得 p a ? s2 ? s3 ? , p ¤ a 且

p ¤s2 ? s3 ,矛盾.
∴一定存在某个 k 使 p f ? x0 ? k ? ,1 ? k ? p ,又由 p ¤a 知a ? x0 ? j ? , j ? 1,2,?, p 构 成模 p 的完系. ∴存在一个 k 使 p a x0 ? k
?

?



?? a?x

0

? k ? ? b,1 ? k ? p

? (i) 若k ? k ,则使p 2a ? x0 ? k ? ? b

2 ∴p? ?2a ? x0 ? k ? ? b? ? ? 4af ? x0 ? k ? ? b ? 4ac, 结论成立。 2

(ii) 若k ? k ⅱ ,不妨设k ? k ,则1 ? k ? p ?1 ∵ p f ? x0 ? k ? , p f ? x0 ? k ? p ? 且f ? x0 ? k ? , f ? x0 ? k ? p ? 都是平方数
2 2 ∴ p f ? x0 ? k ? 且p f ? x0 ? k ? p ?



p f ? x0 ? k ? p ? ? f ? x0 ? k ? ? p ? ? a ? 2 x0 ? 2k ? p ? ? b ? ? , 即p a ? 2 x0 ? 2k ? p ? ? b .
2

∴ 也有p 2a ? x0 ? k ? ? b ,也上种情形相同也成立.
2 ② 当p a , 若p b , 则直接有p b ? 4ac 成立.

当p ¤b , 则存在 1 ? m ? p使b ? x ? m? ? c是模p的非二次剩余。
∴ tm2 ? f ? x ? m? ? b ? x ? m? ? c ? mod p ? , 矛盾
2 ∴ 综上所述,一定有p b ? 4ac .

四.解:一方面:设 1, 2,? , ?
2

? n2 ? ? ? 1 一共占据了 x 行 y 列,则 ?4?

? n2 ? n2 ? x ? y ? n2 xy ? ? ? ? 1 ? , ? xy ? , 4 4 4 ?4? ∴ x ? y ? n, 即x ? y ? n ? 1 .

? ? n ? 1?2 ? 2 ? ? n ? 1?2 ? 再设 n ? ? ?,n ? ? ? ? 1,?, n2 一共占据 a 行 b 列; 4 4 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 ? ? n ? 1? ? a ? b? n ? 1? ? ? ? ab ? ? 同理 , ? ?1 ? 4 4 4 ? ? ? ? ∴ a ? b ? n ? 1, 即a ? b ? n , ∴ a ? b ? x ? y ? 2n ? 1, 但是只有 n行n 列,
2

? ? n ? 1?2 ? ? n2 ? 2 ∴ 1, 2,? , ? ? ? 1, n ? ? ? ,? , n 2 中至少有两数在同一行或同一列, 4 4 ? ? ? ? ? ?
它们的差

? ? n ? 1?2 ? ? n2 ? ? n 2 ? ? n ? 1?2 ? n2 ? n n2 ? n 2 ?n ?? ?1 ? ?1, ? ? ? ? ?1 ? n ? ? ? ? 1 ? n2 ? 4 4 4 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 n ?n ?1. ∴ N max ? 2 另一方面,①当 n ? 2k 时,将 n ? n 表格平分成四个 k ? k 表格, 1 2 ? k
2

左上角的表格 A 填成

k ?1 ?

k ?2 ?

? 2k , ?

k 2 ? k ?1 k 2 ? k ? 2 ? k 2 2 然后将 A 中所有数加上 k 填入左下角的表格, 2 将 A 中所有数加上 2 k 填入右上角的表格,

将 A 中所有数加上 3k 填入右下角的表格, 那么此时同行或同列的两数之差

2

? ? k 2 ? 3k 2 ? ? ? k 2 ? k ? 1 ? k 2 ? ? 2k 2 ? k ? 1 ?
∴此时 N max ?

n2 ? n ? 1 , 2

n2 ? n ?1. 2 ②当 n ? 2k ? 1 时,还是会作出上种情形中一样的表格 A , 2 将 A 填入左上角 k ? k 表格,将 A 中所有数加上 k ? 2 后填入左下角 k ? k 表格, 2 将 A 中所有数加上 2k ? 2k ? 1 填入右上角 k ? k 表格, 2 将 A 中所有数加上 3k ? 4k ? 1 填入右下角 k ? k 表格, 现在只剩下第 k ? 1 行和第 k ? 1

列没填, 将第 k ? 1 行填成

k 2 ? k ? 1, k 2 ? k ? 2,?, k 2 ? 2k , 2k 2 ? 2k ? 1,3k 2 ? 2k ? 2,3k 2 ? 2k ? 3,?,3k 2 ? 4k ? 1 , 将第 k ? 1 列填成 2 k ? 1, k 2 ? 2,?, k 2 ? k , 2k 2 ? 2k ? 1,3k 2 ? 2k ? 2,3k 2 ? 2k ? 3,?,3k 2 ? 3k ?1 ,
那么此时同行或同列的两数之差

? ? 4k 2 ? 4k ? 1? ? ? 2k 2 ? k ? 1? ? 2k 2 ? 3k ?
∴综上所述, N max ?

n2 ? n ? 1 , 2

n2 ? n ?1. 2


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