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高一下学期期中联考数学试题


浙江省杭州地区七校 2012-2013 学年高一下学期期中联考数学试题
考生须知: 1.本卷满分 120 分,考试时间 100 分钟; 2.答题前,在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名;座位号写在指定位置; 3.所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效; 4.考试结束后,只需上交答题卷。 一.选择题(每小题 4 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的,请把正确答案的代号填在题后的括号内) 1、已知等差数列{an}中,a1+a3=a4=8,则 a6 的值是 A.10 B.12 C .8 D.16 ( a D. >1 b ) ( )

2、已知 a,b∈R,且 a>b,则下列不等式中恒成立的是 A.ab>a+b 1 1 B.( )a<( )b 2 2 C.lg(a-b)> 0

? x ? y ? ?1 ? 3、若设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为 ( ?y ? 2 ?
A.5 B.4 C.6 D.14
o
o



4、 在 ?ABC 中,内角 A 、B 、C 所对的边分别是 a、b、c ,已知 b ? 2 ,B ? 30 ,C ? 15 , 则a ? A. 2 2 B. 2 3 C. 6 ? 2 ( D. 4 ( D.4 ( D. 2 ? 2 2 ) ) )

5、公差不为零的等差数列 ? an ? 中, a2 , a3 , a6 成等比数列,则其公比为 A.1 B.2 C.3

6、已知正数 x、y 满足 xy ? 2 x ? 1, 则x ? y 的最小值是 A.1 B.3 C .4

7、某人要制作一个三角形,要求它的三条高的长度分别为 , , A.不能作出这样的三角形 C.作出一个直角三角形
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1 1 1 ,则此人能 3 5 7





B.作出一个锐角三角形 D.作出一个钝角三角形

7 8、在△ABC 中,已知 b2-bc-2c2=0,a= 6,cos A= ,则△ABC 的面积 S 为 ( 8 A. 15 2 B. 15 8 15 C. 5 D.6 3

)

9、数列 ?an ? 满足a1 ? 1, a2 ? 2, an ? 2 ? (1 ? cos 2 设 bn ?

n? n? )an ? sin 2 ,n? N* 2 2
( )

a2 n ?1 n?2 , Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn . 则 Sn ? n ? a2 n 2
B.2 C.1 D. 1 ?

A.0

n?2 . 2n ?1

10,在? ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的对边,a上的高为h,且a ? 3h, c b 则 ? 的最大值为 b c
A、 5

( )
B、13

C、 2

D、15

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分,把答案填在答题卷中的相应位置上) 11、等比数列{ an }的前 n 项和为 S n ,已知 S1 , 2 S 2 ,3S3 成等差数列,则等比数列{ an }的公比 为___ ▲ 。

12、已知集合 A ? x x ? x ? 2 ? 0 , B ? x x ? ax ? b ? 0 ,且 A ? B ? R,
2 2

?

?

?

?

A ? B ? ? x 2 ? x ? 3? ,则 a+b=





13 、在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , S 为 ?ABC 的面积,

a 2 ? b2 ? c 2 ? 4 S,则角 C ?




2

14、设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 m>1,且 am?1 ? am?1 ? am ? 1, S2 m?1 ? 39 , 则 m= ▲ 。

15、已知实数 a ? 0, b ? 0 ,且 ab ? 1 ,那么
2 2

a2 ? b2 的最大值为 a?b


1 2



16、已知 f ( x) ? m x , g ( x) ? mx 2 ? 2m ,若集合 {x | f ( x) ? g ( x), 则实数 m 的取值范围是 ▲ 。

? x ? 1} ? ?

17、各项均为正偶数的数列 a1 , a2 , a3 , a4 中,前三项依次成公差为 d (d ? 0) 的等差数列, 后三项依次成公比为 q 的等比数列,若 a4 ? a1 ? 88 ,则 q 的所有可能的值构成的集合 为 ▲ 。

三、解答题(本大题共 4 小题,其中第 18 题 12 分、第 19 题 12 分,第 20 题 13 分,第 21
第 2 页 共 7 页

题 15 分,总分为 52 分) 18、 (本题满分 12 分)设集合 A 为 f(x)=ln(-x -2x+8)的定义域,集合 B 为关于 x 的不 等式(ax2

1 )(x+4) ? 0 的解集,若 B ? CR A ,求实数 a 的取值范围。 a

19、 (本题满分 12 分) 设锐角△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , (1) 、求角 B 的大小; (2)若 a ? c ? 4 ,求 AC 边上中线长的最小值。

3a ? 2b sin A 。

20、 (本题满分 13 分)已知数列 {a n } 满足 a1 ? 3, an?1 ? 3an ? 3 ( n ? N *) ,数列 { bn } 满足
n

第 3 页 共 7 页

bn ? 3? n an .
(1)求证:数列 { bn } 是等差数列; (2)设 Sn ?

a a1 a2 a3 ? ? ? ? ? n ,求满足不等式 1 ? 3 4 5 n? 2 128

S n 1 的所有正整数 n 的值. ? S2 n 4

21、 (本题满分 15 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,公差 d 不等于 0,a1=1 且 a1,a2,a7 成等比数列。 (1) 、求{an}的前 n 项和 Sn;

(2) 、 设 bn

?

64bn 2Sn 2Tn ? 9bn ?1 ? 18> (n ? 1) , 数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证: (n+9)bn+1 2n ? 1

第 4 页 共 7 页

2012 学年第二学期期中杭州地区七校联考 高一年级数学学科参考答案
一、选择题(每题 4 分,共 10 题,合计 40 分) 题号 答案 1 B 2 B 3 C 4 A 5 C 6 C 7 D 8 A 9 B 10 B

二、填空题(每题 4 分,共 7 题,合计 28 分)

1 _____ 3 ? 13._____ _____ 4
11.____ 15._____-1________ 17、 . ____ 5 ,8 ___ 3 7

12.____ -5______ 14.__ 20__________ 16.___(-7,0) ____

? ?

三、解答题:本大题共 4 小题,共 52 分)

18、解:A=(-4,2),CR A ? (??, ?4] ? [2, ??) ?? 3分 1 1 (ax- )(x+4) ? 0的解集为:a ? 0时, B ? (??, ?4] ? [ 2 , ??);?? 3分 a a 1 a ? 0时, B ? [?4, 2 ], ?? 3分 a 要使B ? CR A, 则a的范围为(0, 2 ]?? 3分 2
3 ,又由于三角形 2

19、解:(1)由正弦定理,3sinA=2sinBsinA, ?sinB= 为锐角三角形, ? B=60? ??5分
(2)设 AC 边上的中点为 E ,由余弦定理得: BE ?
2

2( AB 2 ? BC 2 ) ? AC 2 4

?

a 2 ? c 2 ? ac , 4

…………3 分

(a ? c) 2 ? ac 16 ? ac ? ? ? 4 4

16 ? (

a?c 2 ) 2 ? 3 ,当 a ? c 时取到”=” 4

所以 AC 边上中线长的最小值为 3 . …… 4 分

第 5 页 共 7 页

也可以设 AC 边上的中点为 E , BE ?

1 1 ( BA ? BC ) , | BE | 2 ? | BA ? BC | 2 2 4

?

c 2 ? a 2 ? ac ,以下同上面解答方式。 4
?n

20. (1)证明:由 bn ? 3 an 得 an ? 3 bn ,则 an ?1 ? 3
n

n ?1

bn?1 。

代入 an ?1 ? 3an ? 3 中,得 3
n

n ?1

bn?1 ? 3n?1 bn ? 3n ,

1 。所以数列 ?bn ? 是等差数列。………………5 分 3 1 ?1 (2)解:因为数列 ?bn ? 是首项为 b1 ? 3 a1 ? 1 ,公差为 等差数列, 3 1 n?2 n n ?1 则 bn ? 1 ? (n ? 1) ? ,则 an ? 3 bn ? (n ? 2) ? 3 。………………2 分 3 3 a n ?1 从而有 n ? 3 , n?2
即得 bn ?1 ? bn ?

an a1 a2 a3 1 ? 3n 3n ? 1 2 n ?1 故 Sn ? 。…………3 分 ? ? ??? ? 1? 3 ? 3 ??? 3 ? ? 3 4 5 n?2 1? 3 2


Sn S 3n ? 1 1 1 1 1 1 1 ? 2n ? n ,由 ? n ? ,得 ? n ? 。 S2 n 3 ? 1 3 ? 1 128 S 2 n 4 128 3 ? 1 4
n

即 3 ? 3 ? 127 ,得 1 ? n ? 4 。 故满足不等式

S 1 1 ? n ? 的所有正整数 n 的值为 2,3,4。………………3 分 128 S 2 n 4

21、 (1)因为 a1,a2,a7 成等比数列,所以 a22=a1a7, 即(a1+d)2=a1(a1+6d) , 2 所以 d=4,S n=2n -n …… 5 分 2 (2)bn=2n;Tn=n +n,…… 4 分 2Tn-9bn-1+18=2(n-4)2+4 ? 4 (n=4 时等号成立)① …… 2 分
64bn 642n 64n ? ? 2 (n+9)bn+1 (n+9) ? 2(n+1) n ? 10n ? 9 64 64 ② …… 3 分 ? ?4 9 6 ? 10 n ? ? 10 n 9 当且仅当n= ,即n=3时取等号, n ?

第 6 页 共 7 页

又①②中等号不能同时取到,所以 2Tn

64bn ? 9bn ?1 ? 18> (n ? 1) …… 1 分 (n+9)bn+1

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